2022年二次函数经典解题技巧 .pdf
学习必备欢迎下载龙文教育学科教师辅导讲义课题二次函数知识点总汇教学目标介绍一些些能加快速度的计算公式教学内容3 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k) ，对称轴是直线hx. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9. 抛物线cbxaxy2中，cba,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧 . （3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置 . 当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c） ：0c，抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay. 12. 直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载（2）与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2). （3）抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根. 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离 . （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根 . （ 5 ） 一 次 函 数0knkxy的 图 像l与 二 次 函 数02acbxaxy的 图 像G的 交 点 ， 由 方 程 组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . （6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB4442221221221216、点到坐标轴及原点的距离点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点 P(x,y) 到 x 轴的距离等y（2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于x（3）点 P(x,y)到原点的距离等于22yx5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数)0(kxky图像上任一点P 作 x 轴、 y 轴的垂线PM，PN ，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=xyxy。kSkxyxky,。考点三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx2时，abacy442最值。如果自变量的取值范围是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内，若在此范围内，则当x=ab2时，abacy442最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx范围内的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载2、函数平移规律（中考试题中，只占3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）3、直线斜率：1212tanxxyykb为直线在 y轴上的截距4、直线方程：一般两点斜截距1，一般一般 直线方程ax+by+c=0 2，两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:)(112121xxxxyyyy - 最最常用，记牢3，点斜知道一点与斜率)(11xxkyy4，斜截斜截式方程，简称斜截式: ykxb( k0)5 ，截距由直线在 x 轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：1byax记牢可大幅提高运算速度5、设两条直线分别为，1l：11yk xb2l：22yk xb若12/ll，则有1212/llkk且12bb。若12121llkk6、点P（x0，y0）到直线 y=kx+b( 即：kx-y+b=0) 的距离 : 1)1(2002200kbykxkbykxd对于点 P（x0，y0）到直线滴一般式方程ax+by+c=0 滴距离有2200abacbyxd常用记牢2、 如图，已知二次函数24yaxxc的图象与坐标轴交于点A（- 1， 0）和点B（0，- 5） （1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得 ABP 的周长最小请求出点 P的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载解： （1）根据题意，得.0405,) 1(4) 1(022caca2 分解得.5, 1ca3 分二次函数的表达式为542xxy 4 分（2）令 y=0，得二次函数542xxy的图象与 x 轴的另一个交点坐标C（5, 0）. 5 分由于 P 是对称轴2x上一点，连结 AB，由于2622OBOAAB，要使 ABP 的周长最小，只要PBPA最小.6 分由于点 A 与点 C关于对称轴2x对称， 连结 BC 交对称轴于点P， 则PBPA= BP+PC =BC， 根据两点之间， 线段最短，可得PBPA的最小值为 BC. 因而 BC 与对称轴2x的交点 P 就是所求的点 .8 分设直线 BC 的解析式为bkxy，根据题意，可得.50,5bkb解得.5, 1bk所以直线 BC 的解析式为5xy. 9 分因此直线 BC 与对称轴2x的交点坐标是方程组5, 2xyx的解，解得.3,2yx所求的点 P 的坐标为（ 2，-3）. 10分压轴题中求最值此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值。典型例题：1 如图，在梯形ABCD中，AD BC ，B90，BC 6，AD 3，DCB 30. 点E、F同时从 B 点出发，沿射线BC向右匀速移动 . 已知F点移动速度是E点移动速度的2 倍，以EF为一边在CB的上方作等边EFG设 E点移动距离为x（x0）. EFG的边长是 _（用含有x的代数式表示） ，当 x2 时，点 G的位置在 _；若EFG与梯形 ABCD 重叠部分面积是y，求当 0 x2时，y与x之间的函数关系式；当 2x6时，y与 x 之间的函数关系式；探求中得到的函数y 在 x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值. B E F C A D G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载解： x ，D 点 当 0 x2时，EFG在梯形 ABCD 内部，所以y43x2；分两种情况：. 当 2x3时，如图 1，点 E、点 F 在线段 BC上，EFG与梯形 ABCD 重叠部分为四边形EFNM ， FNC FCN 30, FNFC62x. GN 3x6. 由于在 RtNMG 中， G60，所以，此时y43x283（3x6）22392398372xx. . 当 3x6时，如图 2，点 E在线段 BC上，点 F 在射线 CH上，EFG与梯形 ABCD 重叠部分为 ECP ，EC 6x, y83（6x）2239233832xx. 当 0 x2时，y43x2在 x0 时， y 随 x 增大而增大，x2 时， y最大3；当 2x3时，y2392398372xx在 x718时， y最大739；当 3x6时，y239233832xx在 x6 时， y 随 x 增大而减小，x3 时， y最大839. 综上所述：当x718时， y最大739如图，直线643xy分别与 x 轴、 y 轴交于 A、B 两点；直线xy45与 AB 交于点 C，与过点 A 且平行于y 轴的直线交于点D.点 E 从点 A 出发，以每秒1 个单位的速度沿x 轴向左运动 .过点 E 作 x 轴的垂线，分别交直线AB、OD 于 P、Q 两点，以 PQ 为边向右作正方形PQMN.设正方形 PQMN 与 ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点 E 的运动时间为t（秒） . （1）求点 C 的坐标 . （2）当 0t0 时，直接写出点（4，29）在正方形PQMN 内部时 t 的取值范围 . 【参考公式：二次函数y=ax2+bx+c 图象的顶点坐标为（abacab44,22）.】解： （1）由题意，得.45,643xyxy解得.415, 3yxC（3,415）. B E F C A D G N M 图 1 B E C F A D G P H 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载（2）根据题意，得AE=t，OE=8-t. 点 Q 的纵坐标为45(8-t)，点 P的纵坐标为43t，PQ=45(8-t)-43t=10-2t. 当 MN 在 AD 上时， 10-2t=t， t=310. 当 0t310时， S=t(10-2t) ，即 S=-2t2+10t. 当310t5 时， S=(10-2t)2，即 S=4t2-40t+100. （3）当 0t310时，S=-2（t-25）2+225，t=25时，S 最大值 =225. 当310t5 时，S=4(t-5)2，t9100， S 的最大值为225. （4）4t6. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
