2022年电大离散数学集合论部分期末复习辅导 .pdf

1 / 13 离散数学集合论部分期末复习辅导一、单项选择题1若集合 A a， a ，1，2 ，则下列表述正确的是 ( )Aa，aAB1，2ACaADA解 因为 a A，所以 aA2若集合 A=1，2 ，B=1，2，1，2 ，则下列表述正确的是 ( )AAB，且 A BBB A，且 A BCA B，且 A B DA B，且 A B解 因为 1 B，2 B，1，2B，A=1，2 所以 A B，且 A B3若集合 A2，a， a ，4，则下列表述正确的是 ( )Aa， a A BAC2AD a A 解 因为 a A，所以 a A4若集合 A a， a ，则下列表述正确的是 ( )AaAB aAC a，aA DA 解 因为 a A，所以 aA注：若请你判断是否存在两个集合A，B，使 A B，且 A B 同时成立，怎么做？答：存在。如 2题中的集合 A、B。或，设 A=a ，B=a，a 。注意 ：以上题型是重点，大家一定要掌握，还要灵活运用，譬如，将集合中的元素作一些调整，大家也应该会做例如，下题是 2018年 1 月份考试试卷的第1题：若集合 A a，1 ，则下列表述正确的是 ( )A1AB1A CaA DA 解 因为1 是集合 A 的一个元素，所以 1A5设集合 A=a ，则 A 的幂集为 ( )A a B a， a C，a D，a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页2 / 13 解 A = a 的所有子集为0 元子集 ，即空集：；1 元子集 ，即单元集 ：a所以 P(A) = ，a 6设集合 A = 1, a ，则 P(A) = ( )A1, a B ,1, a C,1, a, 1, a D1, a, 1, a 解 A = 1, a 的所有子集为0 元子集 ，即空集：；1 元子集 ，即单元集 ：1 ，a ；2 元子集 ：1, a所以 P(A) =,1, a, 1, a 注意： 若集合 A 有一个或有三个元素，那么P(A)怎么写呢？例如， 2018年 1 月份考试卷的第 6 题：设集合 A a，那么集合 A 的幂集是 ,a若 A是 n 元集，则幂集 P(A )有 2 n个元素 当 n=8 或 10 时，A 的幂集 的元素 有多少个 ？（应该是 256或 1024个）7若集合 A 的元素个数为 10，则其幂集的元素个数为（）A1024B10C100 D1 解 |A| = 10，所以|P(A)| = 210 = 1024 以下为 2018年 1 月份考试卷的第 1题：若集合 A 的元素个数为 10，则其幂集的元素个数为（）A10B100C1024D1 8设 A、B 是两个任意集合，侧A B ( )AA=BBAB CA B DB解 设 x A，则因为 A B，所以 x A B，从而 x B，故 A B9设集合 A=1,2,3,4 ，R是 A上的二元关系，其关系矩阵为MR0001100000011001精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页3 / 13 则 R 的关系表达式是 ( )A， B， C， D， 10集合 A=1, 2,3,4,5,6,7,8上的关系 R=|x+y=10且 x,yA，则 R的性质为（）A自反的B对称的C传递且对称的 D反自反且传递的解 R = ， 易见，若 R，则 R，所以 R是对称的答 B 另，因为 1 A，但R，所以 R不是自反的。因为 5 A，但 R，所以 R不是反自反的。因为R且 R，但 R，所以 R 不是传递的。要求大家能熟练地写出二元关系R的集合表达式，并能判别R具有的性质11集合 A=1, 2,3,4 上的关系 R=|x=y且 x,yA ，则 R的性质为（）A不是自反的 B不是对称的C传递的 D反自反解 R = ， IA是 A 上的恒等关系，是自反的、对称的、传递的。答 C 12如果 R1和 R2是 A 上的自反关系，则 R1R2，R1R2，R1- R2中自反关系有（）个A0 B2 C1 D3 解 对于任意 a A，由于 R1和 R2是 A 上的自反关系，所以R1， R2，从而 R1R2， R1R2， (R1-R2)故 R1R2，R1R2是 A 上的自反关系， R1-R2是 A上的反自反关系答 B 13设集合 A=1 , 2 , 3 , 4上的二元关系R=1, 1，2, 2，2, 3，4, 4，S=1, 1 ，2, 2，2, 3，3, 2，4, 4，则 S是 R的（）闭包A自反 B传递精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页4 / 13 C对称 D自反和传递解 R S，S是对称关系，且S去掉任意一个元素就不包含R或没有对称性，即S是包含 R的具有对称性的最小的关系，从而S是 R的对称闭包答 C 14设 A=1, 2,3,4,5,6,7,8，R是 A上的整除关系， B=2,4, 6，则集合 B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( )A8、2、8、2B8、1、6、1C6、2、6、2D无、 2、无、 2 解1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,R1,7,1,8,2,2,2,4,2,6,2,8,3,3,3,6,4,4,4,8,5,5,6,6,7,7,8,8关系 R的哈斯图如下：由图可见，集合 B=2,4, 6 无最大元，其最小元是2无上界，下界是2 和 1答 D 15设集合 A=1，2，3，4，5，偏序关系是 A 上的整除关系，则偏序集上的元素 5 是集合 A的（）A最大元 B最小元C极大元 D极小元解1,1 ,1,2,1,3,1,4,1,5,R2,2,2,4,3,3,4,4,5,5关系 R的哈斯图如下：由图可见，元素 5 是集合 A 的极大元答 C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页5 / 13 16设集合 A = 1, 2, 3, 4, 5上的偏序关系的哈斯图如右图所示，若A 的子集B = 3, 4, 5 ，则元素 3 为 B 的（）A下界 B最小上界C最大下界 D最小元答 B 17设A= a,b ，B=1,2 ， R1，R2，R3是 A 到 B 的二元关系，且R1=, ，R2=, ,，R3=, ，则（）不是从 A 到 B的函数AR1BR2C R3 DR1和 R3解 R2， R2，即 R2不满足函数定义的单值性，因而不是函数答 B 注意：函数 R1，R3的定义域、值域是什么？两个函数R1，R3是否能复合？解 Dom(R1)= a,b=A，Ran(R1)= 2 ；Dom(R3)= a,b=A，Ran(R3)= 1, 2= B因为 Ran(R1)Dom(R3)，所以函数 R1和 R3不能复合。18设 A=a，b，c，B=1，2，作 f：AB，则不同的函数个数为A2B3 C6D8 解 AB ， AB 的任一子集即为从A 到 B 的二元关系，在这些关系中满足函数定义的两个条件（单值性；定义域是A）的关系只能是 ， ，其中每个有序对的第二元素可取 1或 2，于是可知有 222 8 个不同的函数答 D 事实上， 8个不同的函数为：f1= a , 1，b , 1，c , 1 ，f2= a , 1，b , 1，c , 2 ，f3=a , 1，b , 2，c , 1，f4= a , 2，b , 1，c , 1 ，f5=a , 1，b , 2，c , 2，f6= a , 2，b , 1，c , 2 ，2 4 1 3 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页6 / 13 f7 =a, 2，b , 2，c , 1，f8 = a , 2，b , 2，c , 219设集合 A =1 , 2, 3 上的函数分别为：f = 1, 2，2, 1，3, 3 ，g = 1, 3 ，2, 2，3, 2，h = 1, 3 ，2, 1，3, 1，则 h =（）Af?g Bg?f Cf?fDg? g解 f? g 1, 3，2, 1，3, 1 hg? f 1, 2，2, 3，3, 2 f?f 1, 1，2, 2，3, 3 g? g 1, 2，2, 2，3, 2 答 A 20设函数 f：NN，f(n) n+1，下列表述正确的是（）Af 存在反函数 Bf 是双射的 Cf 是满射的 Df 是单射函数解 因为任意12,n nN ，12nn ，则1122()11()f nnnf n，所以 f 是单射对于0N，不存在nN，使( )10f nn，所以 f 不是满射从而 f 不是双射，也不存在反函数答 D 二、填空题1设集合1, 2, 3,1, 2AB，则 P(A)-P(B )=，A B=解(),1 ,2,3,1,2, 1,3,2,3, 1,2,3P A( ),1,2, 1,2P B答 3,1,3,2,3,1,2,3, 2设集合 A 有 10个元素，那么 A的幂集合 P(A)的元素个数为答 210 3设集合 A=0, 1, 2, 3 ，B=2, 3, 4, 5，R 是 A到 B的二元关系，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页7 / 13 ,BAyxByAxyxR且且则 R 的有序对集合为答 R，注意：如果将二元关系R改为,2yxByAxyxR且且或1,yxByAxyxR且且则 R 的有序对集合是什么呢？答 R 或 R， 4设集合 A=1, 2, 3, 4 ，B=6, 8, 12 ，A到 B 的二元关系R,2,ByAxxyyx那么1R6,3,8,45设集合 A=a,b,c,d，A 上的二元关系R=, , , ，则 R具有的性质是因为任意 x A，R，所以 R是反自反的答 反自反的6设集合 A=a,b,c,d，A 上的二元关系 R=, , , ，若在 R中再增加两个元素，则新得到的关系就具有对称性答 ，注意：第 5，6 题是重点，我们要熟练掌握，尤其是A 和 R的元素都减少的情况。如果6 题新得到的关系具有 自反性 ，那么应该增加哪两个元素呢？答 应增加，两个元素7如果 R1和 R2是 A 上的自反关系，则R1R2，R1R2，R1- R2中自反关系有个答 2（见：一、 9题）8设 A=1,2 上的二元关系为 R=|x A，y A,x+y=10，则 R的自反闭包为因为 R，所以 R的自反闭包 s(R)=IA=, 答,注意：如果二元关系改为R=|x A，y A,x+y10，则 R的自反闭包是什么呢？解 R , 是 A上的全关系，它的自反闭包是它自己。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页8 / 13 答 R或, 9设 R 是集合 A 上的等价关系，且1 , 2 , 3是 A中的元素，则 R中至少包含等元素答 ，因为等价关系一定是自反的、对称的、传递的，由二元关系R是自反的，所以它至少包含, , 等元素注：如果给定二元关系R，你能否判断 R 是否是等价关系？10 设集 合 A=1, 2 ， B= a, b ， 那么集合A 到 B 的 双 射 函数 是1,2,fab，1,2,gba想一想： 集合 A到 B 的不同函数的个数有几个？答 有 4个，除上述两个双射函数外，还有1,2,haa，1,2,ibb（参考：一、 14题）三、判断说明题 （判断下列各题，并说明理由）1若集合 A = 1，2，3上的二元关系 R=，则(1) R是自反的关系； (2) R是对称的关系解 （1）错误因为 3 A，但 R（2）错误因为 R，但 R2如果 R1和 R2是 A 上的自反关系，判断结论：“11R 、R1R2、R1 R2是自反的”是否成立？并说明理由解成立因为 R1 和 R2 是 A 上的自反关系，所以任意aA，有12, ,a aRa aR，从而有11,a aR（逆关系定义），12,a aRR，12, a aRR故11R、R1R2、R1R2 是自反的3若偏序集的哈斯图如图一所示，则集合A 的最大元为a，最小元不存在解 不正确。可见 a 大于等于 A 中的元素 b、c、d、e、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页9 / 13 f，但与元素g、h 没有关系，所以a 不是 A 的最大元。没有一个元素小于等于A 中的所有元素，所以 A 没有最小元。注：本题中，极大元为a、g，极小元为 e、f、h注意：题目修改为：若偏序集 的哈斯图如右图所示，则集合A 的最大元为a，极小元 不存在解 结论不成立。A的最大元为 a，极小元 为 b、c问：是否存在一个元素a，它既是偏序集 的最大元，也是 的最小元？4设集合 A=1,2,3,4 ，B=2, 4, 6, 8 ，判断下列关系 f 是否构成函数 f：BA，并说明理由(1) f=, ；(2)f=, ；(3) f=, 解 （1）关系 f 不构成函数因为 Dom(f)=1, 2, 4 A，不满足函数定义的条件（2）关系 f 不构成函数因为 Dom(f)=1, 2, 3 A，不满足函数定义的条件（3）关系 f 构成函数因为 任意 a Dom(f)，都存在唯一的b Ran(f)，使 f； Dom(f)=A即关系 f 满足函数定义的两个条件，所以关系f 构成函数四、计算题1设4,2,5, 2, 1,4, 1,5, 4,3,2,1CBAE，求：(1) (AB)C； (2) (A B)- (B A)；(3) P(A)P(C)； (4) A B解 （1）()1 1,3,51,3,5ABC；（2）()()1,2,4,512,4,5ABBA；（3）()(),1,4, 1,4,2,4,2,4P AP C 1, 1,4；（4）()()()()2,4,5ABABABABBA2设 A=1,2,1,2，B=1,2,1,2 ，试计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页10 / 13 （1）（A B）；（2）（AB）；（3）AB解 （1） 1,2AB；（2）1,2AB；（3）1,1,1,2,1, 1,2,AB2,1,2,2,2, 1,2,1,1 ,1,2,1,1,2,2,1,2,2,2,1,23设 A=1，2，3，4，5，R=|x A，y A且 x+y 4，S=|x A，y A 且 x+y0，试求 R，S，R S，S R，R-1，S-1，r(S)，s(R)解1,1 ,1,2 , 1,3 ,2,1 ,2,2 ,3,1 R，SRS，SR，11,1 , 1,2, 1,3,2,1 ,2,2,3,1 RR，1S，( )1,1 ,2,2,3,3,4,4,5,5 AAr SSII，1( )s RRRR1,1 ,1,2,1,3,2,1 ,2,2,3,1 4设 A=1,2,3,4,5,6,7,8，R是 A上的整除关系， B=2,4, 6 (1) 写出关系 R的表示式； (2 )画出关系 R的哈斯图；(3) 求出集合 B的最大元、最小元解 （1）1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,R1,7,1,8,2,2,2,4,2,6,2,8,3,3,3,6,4,4,4,8,5,5,6,6,7,7,8,8（2）关系 R 的哈斯图如下：（3）集合 B=2,4, 6无最大元，其最小元是2五、证明题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页11 / 13 1试证明集合等式： A (BC)=(AB) (AC)证明 任意()xABC，则xA，或xBC若xA，则, xAB xAC，从而()()xABAC；若xBC，则, xBxC，, xAB xAC，从而()()xABAC所以()()()ABCABAC任意()()xABAC，则xABxAC且由xAB知，xA或xB若xA，则()xABC；若xA，则必有xB，由xAC知，也有xC，从而xBC，进而()xABC所以()()()ABACABC故()()()ABCABAC2试证明集合等式 A (B C)=(A B) (AC)证明 任意()xABC，则xA且xBC即xA且（xBxC或）即xA且xB，从而xAB，或xA且xC，从而xAC于是有()()xABAC，所以()()()ABCABAC任意()()xABAC，则xABxAC或若xAB，则xAxB且，从而xAxBC且，()xABC；若xAC，则xAxC且，从而xAxBC且，()xABC所以()()()ABACABC故()()()ABCABAC注意：第 1、2题是重点，这样的证明方法我们要熟练掌握3对任意三个集合 A, B 和 C，试证明：若 AB = AC，且 A，则 B=C证明 若 B，则 ACAB，由于 A，所以 C，从而 BC若 B，则AB，任意bB，存在aA，使,a bAB，由于AB = AC，所以,a bAC，从而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页12 / 13 bC，故BCACAB，C任意cC，存在aA，使,a cAC，由于AB = AC，所以,a cAB，从而cB，故CB所以BC注意： 这个题 09 秋学期的复习时重点强调了，但2018 年 1 月份考卷中的证明题：设A，B 是任意集合，试证明：若A A=B B，则 A=B许多同学不会做，是不应该的事实上这道题并不难：证明：若 A，则 BBAA，所以 B，从而 AB若 A ，则 AABB，任意 x A，则 A A，因为 A A=B B，故 B B，则有 x B，所以 A B任意设 x B，则 B B，因为 A A=B B，故 A A，则有 x A，所以 B A故得 A=B大家可以看到，这两个题的证明方法是不仅类似，而且1 月份考题更容易4试证明：若 R与 S是集合 A上的自反关系，则R S也是集合 A 上的自反关系证明 任意 a A，因 R 与 S是集合 A 上的自反关系，所以 R， S从而R S ，故，R S 也是集合 A 上的自反关系注意：如果把该题的“自反关系”改为“对称关系”，应该怎么证明呢？请大家想一想即试证明：若 R与 S是集合 A 上的对称关系，则R S也是集合 A 上的对称关系（本题是11年 7月试卷）证明 任意 a，b A，如果 R S ，则R， S因为 R 与 S是集合 A 上的对称关系，所以 R，S从而R S 故，R S 也是集合 A 上的对称关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页13 / 13 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页