山东省实验中学2015届高三第一次(9月)诊断性考试数学(文)试题.pdf
山东省实验中学 2015 届高三第一次（9 月）诊断性考试数学（文）试题第 I 卷（共 50 分）一、选择题（本题包括10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题只有一个选项符合题意）1.设 i 是虚数单位，复数A.2B.2a i是纯虚数，则实数a 2i11C.D.222.已知集合A y y x 1,xR ,B x x 2，则下列结论正确的是A.3 AB.3 BC.A B BD.A B B3.已知函数fx AcosxA0,0,R， 则 “fx是奇函数” 是 “的A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2”4.已知等比数列an的前三项依次为a1,a1,a4,则an 3 2 3A.4B.4C.42325.右图给出的是计算入的条件是A.i 10C.i 11nnn1 2 D.43n11111 的值的一个框图， 其中菱形判断横应填24620B.i 10D.i 116.函数fx log2x A.0,1B.1,21的零点所在的区间为xC.2,3D.3,47.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界） ，则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为A.3B.3 34C.34D. 以上全错x2y28.已知双曲线C1:221a 0,b 0的离心率为 2，若抛物线C2:x2 2pyp 0ab的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为 2，则抛物线C2的方程为A.x 28 3y3OB.x 216 3y3ABCC.x28yD.x216yP满 足9. 已 知uu u ruuu ruu u ruurABAC)0，则 P 点轨迹一定通过三角形ABC 的O P O A(uu uuuu rrAB sinBAC sinCB.外心C.垂心D.重心是 三 角 形所 在 平 面 内 一 定 点 ， 动 点A.内心10.已知函数fx对任意x R， 都有fx6 fx 0,y fx1的图像关于1,0对称，且f2 4,则f2014A.0B.4C.8D.16第 II 卷（非选择题，共 100 分）二、填空题（本题包括5 小题，共 25 分）11.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为_m12.已知函数fx x ax4a R若函数y fx的图象在点P 1, f1处的切33线的倾斜角为4，则a _1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第 n 个等式为_.13.观察下列等式214.若点 P 在直线l1: x y3 0上， 过点 P 的直线l2与曲线C :x5 y 16只有一个2公共点 M，则PM的最小值为_.x y 115.已知x、y满足约束条件x y 1,若目标函数z axbya0, b0的最大值为2x y 27，则34的最小值为_.ab三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.rr16.（本小题满分 12 分）已知向量a sinx,cosx,b cosx, 3cosx 0，r r3函数fx ab的最小正周期为.2（I）求函数fx的单调增区间；、 c所 对 的 角 分 别 为A 、 B 、 C ， 且 满 足（ II ） 如 果 ABC的 三 边a、 bb2 c2 a23 ，求b cA.f的值17.（本小题满分 12 分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）(I) 求 x、y;(II)若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言，求这2 人都自高校 C 的概率。18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥中P-ABCD中，底面 ABCD 为菱形，BAD 60，Q 为 AD 的中点.（I）若 PA=PD，求证：平面PQB 平面 PAD；（ II ） 若 平 面PAD 平 面ABCD ， 且P A P DA 2 D，点 M 在线段 PC 上，且PM=2MC，求三棱锥 P-QBM的体积.19.（本小题满分 12 分）设数列an为等差数列，且a35,a59；数列bn的前 n 项和为Sn,且Snbn 2.（I）求数列an，bn的通项公式；（II）若cnoannN，Tn为数列cn的前 n 项和，求Tn.bnx2y220.（本小题满分 13 分）已知椭圆C :221a b 0，过焦点垂直于长轴的弦长为ab1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.（I）求椭圆的方程；（ II ） 过 点Q1,0的 直 线 l 交 椭 圆 于 A ， B 两 点 ， 交 直 线x 4于 点 E ，uuu ruu u r uuu ruuu rAQ QB， AE EB.判断是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由.21.（本小题满分 14 分）已知函数fx12x 2aln xa2x,aR.2（I）当a 1时，求函数fx图象在点1, f1处的切线方程；（II）当a 0时，讨论函数fx的单调性；（III）是否存在实数a，对任意的x1,x20,且x1 x2有若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由.fx2 fx1 a恒成立？x2 x1山东省实验中学 2012 级第一次诊断性考试（II）由b2c2 a23bc,b2c2a23bc,b2c2a23bc3又由cos A 8 分2bc2bc2 在ABC中，A fA sin269分63212 分 sin23317.解： （I）由题意可得，x2y，y 3.4 分，所以x 1183654（II）记从高校B抽取的 2 人为b1，b2，从高校C抽取的 3 人为c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有(b1，b2)， (b1，c1)， (b1，c2)， (b1，c3)， (b2，c1)，(b2，c2)， (b2，c3)， (c1，c2)， (c1，c3)， (c2，c3)共 10 种8 分设选中的 2 人都自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共 3 种10 分所以P(X) 3.103.12 分10故选中的 2 人都自高校C的概率为（II）平面PAD 平面ABCD,平面PAD 平面ABCD AD,PQ ADPQ 平 面A B C，BC 平 面A B C,PQ BC BQ,QB QP Q,BC 平面PQB,又PM 2MC，1 122VPQBMVM PQB332 -12 分P3 23319.解 (1) 数 列BC, 又DCBQAan为 等 差 数 列 , 所 以d 1(a5 a3) 2,又 因 为2a3 5,a11,an 2n12 分由Snbn 2,得Sn 2bnn=1 时，S1 2b1 b1,b11n 2时，bn Sn Sn1 2bn(2bn1)所以bn1bn14 分21bn是以1为首项，为公比的等比数列2n11bn 26 分2b2x21a 2 y2120. （1）由条件得 a，所以方程4 分4b 12b a（2）易知直线 l斜率存在，令l : y k(x1),A(x1, y1),B(x2, y2),E(4,y0)y k(x1)2222由x2 (14k )x 8k x4k 4 02 y 1 4 48k216 05 分8k24k24x1 x2 ,x1x26 分2214k14k由AQ QB (1 x1,y1) (x21,y2)即得 (x11)(x21)y1 y2x117 分x21(x14) (x14)由AE EB (4 x1, y0 y1) (x24, y2 y0)即y y (y y )2001得 x148 分x24 (x11)(x24)(x14)(x21)2x x 5(x1 x2)8 12(x21)(x24)(x21)(x24)将8k24k24x1 x2 ,x1x2代入2214k14k8k2840k28k2840k2832k2822214k14k14k 013 分有 (x21)(x24)(x21)(x24) 当a2，即 a2 时， 0 xa 时，f(x)0；2xa 时，f (x)0，f(x)在(0,2)，(a，)上单调递增，在(2，a)上单调递减9 分(3)假设存在这样的实数 a 满足条件，不妨设 x1f(x1)ax1成立，x2 x11令 g(x)f(x)ax x22aln x2x，2则函数 g(x)在(0，)上单调递增， g(x)x2a20，x即 2ax22x(x1)21 在(0，)上恒成立1 a ，故存在这样的实数 a 满足题意，21其范围为 ，2. 14 分
