2022年中考数学压轴题及答案 .pdf

学习好资料欢迎下载2011 年中考数学压轴题及答案1、 （11 福州）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC的边长为2cm，点 A、C分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c 经过点 A、B和 D2(4,)3.（1）求抛物线的解析式. （2）如果点P由点 A 出发沿 AB 边以 2cm/ s的速度向点B 运动，同时点 Q 由点 B 出发沿 BC边以 1cm/s 的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设 S=PQ2(cm2) 试求出S与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；当 S取54时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由. （3）在抛物线的对称轴上求点M，使得 M 到 D、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标 . 2、 （11 德州）在直角坐标系xoy 中，已知点P是反比例函数）0(32xxy图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A（1）如图 1， P运动到与x 轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由（2）如图 2， P运动到与x 轴相交，设交点为B， C当四边形ABCP是菱形时：求出点A，B，C的坐标在过 A，B，C 三点的抛物线上是否存在点M，使 MBP 的面积是菱形ABCP面积的21若存在，试求出所有满足条件的M 点的坐标，若不存在，试说明理由3、 （11 义乌）已知二次函数的图象经过A（2，0） 、C(0， 12) 两点，且对称轴为直线x=4. 设顶点为点P，与 x 轴的另一交点为点B. （1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）如图 1，在直线y=2x 上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，点 M 是线段 OP上的一个动点（O、P 两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点 O 运动，过点 M 作直线 MNx 轴，交 PB于点 N. 将 PMN 沿直线 MN 对折，得到 P1MN. 在动点 M 的运动过程中，设P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒. 求S关于 t 的函数关系式. （第 22 题）A P 2 3yxx y K O 图 1 图 1 A P 2 3yxx y K O O P C B A x y 图 1 图 2 M O A x P N C B y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习好资料欢迎下载图 1 图 2 图 3 x yM N x O C E A B F A B yC O x O y A C B ABCDl1l2l3l4h1h2h34、 （11 金华）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1 的正方形并排组成矩形OABC, 相邻两边 OA和 OC分别落在x轴和y轴的正半轴上 , 设抛物线2yaxbxc（a0）过矩形顶点B、C. （1）当 n=1 时，如果a=-1，试求 b 的值；（2）当 n=2 时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1 的正方形EFMN，使 EF在线段 CB上，如果M，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形OABC绕点 O 顺时针旋转，使得点B 落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O.试求当 n=3 时 a 的值；直接写出a关于n的关系式5、 （11 金华）如图，在平面直角坐标系中，点A（10， 0） ，以 OA 为直径在第一象限内作半圆C，点 B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长 AB 至点 D，使 DB=AB ，过点 D 作 x 轴垂线，分别交x 轴、直线 OB 于点 E、F，点 E 为垂足，连结CF（1）当 AOB=30 时，求弧AB 的长度；（2）当 DE=8 时，求线段EF 的长；（3）在点 B 运动过程中，是否存在以点E、C、F 为顶点的三角形与AOB 相似，若存在，请求出此时点 E 的坐标；若不存在，请说明理由6、 （11 安徽如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3( h1 0，h20，h30) ( 1) 求证： h1 h2；【证】( 2) 设正方形 ABCD的面积为S ，求证： S ( h1h2)2h12；【证】( 3) 若3 2h1h21，当 h1变化时，说明正方形ABCD的面积 S随 h1的变化情况7、 （11 广州）已知关于 x 的二次函数y=ax2+bx+c(a0) 的图象经过点C(0,1) ， 且与 x 轴交于不同的两点A、B，点 A的坐标是（ 1，0）（1）求 c 的值；（2）求 a 的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1 交于 C、D 两点，设 A、B、C、D 四点构成的四边形的对角线相交于点P，记 PCD的面积为S1， PAB的面积为S2，当 0a1 时，求证： S1- S2为常数，并求出该常数。第 24 题图O B D E C F x y A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习好资料欢迎下载8、 （11 广州）如图7， O中 AB是直径， C是 O上一点， ABC=450，等腰直角三角形DCE中 DCE是直角，点 D在线段 AC上。（1）证明： B、C、E三点共线；（2）若 M是线段 BE的中点， N是线段 AD的中点，证明：MN=2OM ；（3）将 DCE绕点 C逆时针旋转（00900）后，记为 D1CE1（图 8） ，若 M1是线段 BE1的中点， N1是线段 AD1的中点， M1N1=2OM1是否成立？若是，请证明：若不是，说明理由。9、 （11 舟山）已知直线3kxy（k 0）分别交 x 轴、y轴于 A、 B 两点，线段OA 上有一动点P 由原点 O 向点 A 运动，速度为每秒1 个单位长度，过点P作 x 轴的垂线交直线AB于点 C，设运动时间为t 秒（1）当1k时，线段OA上另有一动点Q 由点 A 向点 O 运动，它与点P以相同速度同时出发，当点 P到达点 A 时两点同时停止运动（如图1） 直接写出 t 1 秒时 C、 Q 两点的坐标； 若以 Q、C、 A为顶点的三角形与AOB相似 ，求 t 的值（2）当43k时，设以 C为顶点的抛物线nmxy2)(与直线 AB 的另一交点为D（如图 2） ，求 CD的长；设 COD的 OC边上的高为h，当 t 为何值时，h的值最大？10、 （11 济宁） 如图， 在平面直角坐标系中，顶点为 （4，1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧） . 已知A点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D， 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有怎样的位置关系，并给出证明；（3） 已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问： 当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积 . BAOPCxy11D（第 24 题图 2）（第 24 题图 1）BAOPCQxy11AxyBOCD( 第 23 题) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习好资料欢迎下载11（11 福州）已知 , 如图 11,二次函数223yaxaxa(0)a图象的顶点为H, 与 x轴交于A、B两点 (B在A点右侧), 点H、B关于直线l:333yx对称 . (1) 求A、B两点坐标 , 并证明点A在直线l上; (2) 求二次函数解析式; (3) 过点B作直线BKAH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点, 连接HN、NM、MK, 求HNNMMK和的最小值 . 12、 （11 泉州） 在直角坐标系xoy 中，已知点P是反比例函数）0(32xxy图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A（1）如图 1， P 运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由（2）如图 2， P运动到与x 轴相交，设交点为B，C当四边形ABCP是菱形时：求出点A，B，C的坐标在过 A，B，C 三点的抛物线上是否存在点M，使 MBP 的面积是菱形ABCP面积的21若存在，试求出所有满足条件的M 点的坐标，若不存在，试说明理由解答过程（第一题）解 : (1)据题意知 : A(0, 2), B(2, 2) ，D（4，32）, 则解得抛物线的解析式为: 231612xxy-4 分(2) 由图象知 : PB=22t, BQ= t, S=PQ2=PB2+BQ2=(22t)2 + t2 , 即 S=5t28t+4 (0 t 1) -6分假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q 为顶点的平行四边形. S=5t2 8t+4 (0 t 1), 当 S=45时, 5t28t+4=45,得 20t232t+11=0, 解得t =21，t =1011（不合题意，舍去）-7 分此时点P的坐标为（ 1， -2） ，Q 点的坐标为（ 2，23）若 R 点存在，分情况讨论: 【A】假设 R 在 BQ 的右边 , 这时 QRPB, 则， R的横坐标为3, R的纵坐标为23即 R (3, 23)，代入231612xxy, 左右两边相等，这时存在R(3, 23)满足题意 . 【B】假设R 在 BQ 的左边 , 这时PRQB, 则： R 的横坐标为1, 纵坐标为23即 (1, 23) 代入231612xxy, 左右两边不相等, R不在抛物线上 . 【C】假设 R在 PB的下方 , 这时 PRQB, 则： R(1，25)代入 , 231612xxy左右不相等 , R不在抛物线上.综上所述 , 存点一点R(3, 23)满足题意 . -11分ABKHxyOl图 11ABKHxyOl备用图A P 2 3yxx y K O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习好资料欢迎下载（3） A 关于抛物线的对称轴的对称点为B,过 B、D 的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M 的坐标为（ 1，38）-14分（第二题）解： （1） P分别与两坐标轴相切， PA OA，PK OK PAO =OKP=90又 AOK=90， PAO =OKP =AOK=90四边形 OKPA是矩形又 OA=OK，四边形 OKPA是正方形2 分（2）连接PB，设点 P的横坐标为x，则其纵坐标为x32过点 P作 PGBC于 G四边形ABCP为菱形，BC=PA=PB=PC PBC为等边三角形在 RtPBG中， PBG =60， PB =PA =x，PG=x32sin PBG =PBPG，即2 332xx解之得： x=2（负值舍去） PG=3，PA =BC=24 分易知四边形OGPA是矩形， PA=OG=2， BG=CG =1，OB=OGBG=1，OC =OG+GC =3 A（0，3） ，B（1，0）C（ 3，0） 6 分设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c据题意得：09303abcabcc解之得： a=33， b=4 33， c=3二次函数关系式为：234 3333yxx9 分解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：023uvuv解之得： u=3， v=3 3直线 BP的解析式为：33 3yx过点 A作直线 AMPB，则可得直线AM 的解析式为：33yx解方程组：23334 3333yxyxx得：1103xy；2278 3xy过点 C作直线 CMPB，则可设直线CM 的解析式为：3yxt0=3 3t3 3t直线 CM 的解析式为：33 3yx解方程组：233 334 3333yxyxx得：1130 xy；2243xy综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（0，3） ， （3，0） ， （4，3） ， （7，8 3） 12 分解法二：12PABPBCPABCSSS，A（0，3） ，C（3，0）显然满足条件O A P 2 3yxx y B C 图 2 G M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习好资料欢迎下载延长 AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA 又 AMBC ，12PBMPBAPABCSSS点 M 的纵坐标为3又点 M 的横坐标为AM=PA +PM=2+2=4点 M（4，3）符合要求点（ 7，8 3）的求法同解法一综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（0，3） ， （3，0） ， （4，3） ， （7，8 3） 12 分解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA 又 AMBC ，12PBMPBAPABCSSS点 M 的纵坐标为3即234 33333xx解得：10 x（舍），24x点 M 的坐标为（ 4，3） 点（ 7，8 3）的求法同解法一综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（0，3） ， （3，0） ， （4，3） ， （7，8 3） 12 分（第三题）解： （1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c由题意得0241242cbacab解得1281cba二次函数的解析式为y= x28x+12 2 分点 P的坐标为（ 4， 4） 3 分（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形 . 理由如下：当 y=0 时， x2-8x+12=0 x1=2 ， x2=6 点 B 的坐标为（ 6，0）设直线 BP的解析式为y=kx+m则4406mkmk解得122mk直线 BP的解析式为y=2x12 直线 ODBP4 分顶点坐标P（4， 4） OP=42设 D(x，2x) 则 BD2=（2x）2+(6x)2当 BD=OP 时， （2x）2+(6x)2=32 解得： x1=52，x 2=26 分当 x2=2 时， OD=BP=52，四边形OPBD为平行四边形，舍去当 x=52时四边形OPBD为等腰梯形7 分当 D(52，54)时，四边形OPBD为等腰梯形 8 分（3）当 0t2 时，运动速度为每秒2个单位长度，运动时间为t 秒，则 MP=2tPH=t，MH=t，HN=21tMN=23tS =23tt21=43t2 10 分 当 2t4 时， P1G=2t 4，P1H=tMNOB EFP1MNP1211)(11HPGPSSMNPEFP22)42(431tttSEFPEFPS1=3t212t+12 S =43t2(3t212t+12)= 49t2+12t12 当 0t2 时， S=43t2 x P1M A O B C P N y Hx P1M A O B C P N G H E F y y yC B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习好资料欢迎下载（第四题） .( 本题 10 分 ) （1）由题意可知，抛物线对称轴为直线x=12，122ba,得 b= 1；2 分（2）设所求抛物线解析式为21yaxbx，由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点 M（12，2）14211121.42abab，解得4,38.3ab所求抛物线解析式为248133yxx； 4 分（3）当 n=3 时， OC=1，BC=3，设所求抛物线解析式为2yaxbx，过 C作 CDOB于点 D，则 RtOCD RtCBD ，13ODOCCDBC, 设 OD=t，则 CD=3t，222ODCDOC，222(3 )1tt，1101010t, C（1010，31010） , 又 B（10，0） ，把 B 、 C坐标代入抛物线解析式，得01010311010.101010abab，解得 :a=103； 2 分21nan. 2 分（第五题）（1）连结 BC, A（10，0）, OA=10 ,CA=5, AOB=30 , ACB=2AOB=60, 弧 AB 的长 =35180560; 4 分（2）连结 OD,OA 是 C 直径 , OBA=90 , 又 AB=BD,OB 是 AD 的垂直平分线, OD=OA=10, 在 RtODE 中，OE=22DEOD681022, AE=AOOE= 10-6=4, 由 AOB=ADE=90- OAB， OEF =DEA ，得 OEF DEA,OEEFDEAE, 即684EF， EF=3； 4 分（3）设 OE=x，当交点E 在 O，C 之间时，由以点E、C、F 为顶点的三角形与 AOB 相似，有 ECF=BOA 或 ECF=OAB，当 ECF=BOA 时，此时 OCF 为等腰三角形，点E 为 OC 中点，即OE=25，E1（25，0） ；当 ECF=OAB 时，有 CE=5- x, AE=10-x，CFAB, 有 CF=12AB, ECF EAD,ADCFAECE, 即51104xx, 解得：310 x, E2（310， 0）;当交点E 在点 C 的右侧时， ECF BOA，要使 ECF 与 BAO 相似，只能使ECF=BAO，连结 BE，BE 为 RtADE 斜边上的中线，BE=AB=BD, BEA=BAO, BEA=ECF,CFBE,OEOCBECF, ECF=BAO, FEC=DEA=Rt， CEF AED,CFCEADAE, 而 AD=2BE, 2OCCEOEAE,x y O A B C D x yO C E A B M N F O B D E C F x y A D y O B D F C E A x y O B D F C E A x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习好资料欢迎下载即55210 xxx, 解得417551x, 417552x0（舍去），E3（41755， 0）;当交点 E 在点 O 的左侧时， BOA=EOF ECF . 要使 ECF 与 BAO 相似，只能使ECF= BAO连结 BE，得 BE=AD21=AB， BEA=BAO ECF=BEA,CF BE, OEOCBECF, 又 ECF=BAO, FEC= DEA=Rt， CEF AED,ADCFAECE，而 AD=2BE, 2OCCEOEAE,5+5210+xxx, 解得417551x, 417552x0（舍去） , 点 E 在 x 轴负半轴上 , E4（41755，0）, 综上所述：存在以点E、C、F 为顶点的三角形与AOB 相似 , 此时点 E 坐标为：1E（25，0） 、2E（310，0） 、3E（41755，0） 、4E（41755，0） 4 分（第六题）【解】（1）过 A点作 AFl3分别交 l2、l3于点 E、F，过 C点作 CH l2分别交 l2、l3于点 H、G ，证 ABE CDG 即可. （2）易证 ABE BCH CDG DAF,且两直角边长分别为h1、h1+h2, 四边形EFGH 是边长为h2的正方形，所以2122122212122211)(22214hhhhhhhhhhhS. (3) 由题意，得12321hh所以5452451452312112121211hhhhhhS又0231011hh解得 0h132当 0 h152时， S随 h1的增大而减小；当 h1=52时， S取得最小值54；当52h132时， S随 h1的增大而增大 .（第七题）解：(1)将点 C（ 0，1）代入2yaxbxc得1c（2）由 (1)知21yaxbx，将点 A（1，0）代入得10ab， 1ba 二次函数为211yaxax二次函数为211yaxax的图像与x 轴交于不同的两点0，而222214214211aaaaaaaaa的取值范围是0a且1a(3)证明：01a 对称轴为11122aaxaa11212aaABaa把1y代入211yaxax得210axax，解得1210,axxa1aCDa12PCDPABACDCABSSSSSSO B D F C E A x y xyPDBCOAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习好资料欢迎下载1122CDOCABOC111111222aaa 1 12SS为常数，这个常数为1。（第八题）（1）证明：AB是 O 的直径 ACB=90 DCE=90 ACB DCE=180 B、C、E三点共线。(2)证明：连接ON、 AE、BD，延长 BD 交 AE于点 F ABC=45 ， ACB=90 BC=AC ，又 ACB=DCE=90 ， DC=EC BCD ACE BD=AE ， DBC= CAE DBC AEC= CAE AEC=90 BFAE AO=OB，AN=ND ON=12BD，ONBD AO=OB ，EM=MB OM=12AE ，OMAE OM=ON，OMON OMN=45，又cosOMN=OMMN2MNOM(3) 1112M NOM成立，证明同（2） 。（第九题）（第十题）（1）解：设抛物线为2(4)1ya x. 抛物线经过点A（0， 3） ，23(04)1a.14a. 抛物线为2211(4)12344yxxx. 3 分(2) 答：l与C相交 . 4 分证明：当21(4)104x时，12x，26x. B为（ 2，0） ，C为（ 6，0）.223213AB. 设C与BD相切于点E，连接CE，则90BECAOB. 90ABD，90CBEABO. 又90BAOABO，BAOCBE.AOBBEC. CEBCOBAB.62213CE.8213CE.6 分抛物线的对称轴l为4x，C点到l的距离为2. 抛物线的对称轴l与C相交 .7 分FN1M1DOBCAE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习好资料欢迎下载(3) 解：如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q. 可求出AC的解析式为132yx.8 分设P点的坐标为（m，21234mm） ，则Q点的坐标为（m，132m）. 2211133(23)2442PQmmmmm. 22113327()6(3)24244PACPAQPCQSSSmmm, 当3m时，PAC的面积最大为274. 此时，P点的坐标为（ 3，34） .10 分（第十一题）解:(1) 依题意 ,得2230axaxa(0)a解得13x,21xB点在A点右侧A点坐标为 (3 0),B点坐标为 (10),直线l:333yx当3x时,3( 3)303y点A在直线l上(2) 点H、B关于过A点的直线l:333yx对称4AHAB过顶点H作HCAB交AB于C点则122ACAB,2 3HC顶点( 1,2 3)H代入二次函数解析式,解得32a二次函数解析式为233 3322yxx(3) 直线AH的解析式为33 3yx直线BK的解析式为33yx由33333yxyx解得32 3xy即(3,23)K, 则4BK点H、B关于直线AK对称HNMN的最小值是MB,2 3KDKE过点K作直线AH的对称点 Q , 连接 QK , 交直线AH于E则 QMMK ,2 3QEEK, AEQKBMMK的最小值是BQ , 即 BQ 的长是HNNMMK的最小值BKAH90BKQHEQ由勾股定理得8QBHNNMMK的最小值为8（不同解法参照给分）（第十二题）解： （1） P分别与两坐标轴相切， PA OA，PKOK PAO=OKP=90又 AOK=90，PAO = OKP =AOK=90四边形 OKPA是矩形又 OA=OK，四边形 OKPA是正方形2 分（2）连接PB ，设点 P的横坐标为x，则其纵坐标为x32过点 P作 PGBC于 G四边形ABCP为菱形，BC =PA =PB=PC PBC为等边三角形在 Rt PBG中， PBG=60， PB=PA=x，PG=x32AxyBOhtCD( 第 23 题) EPQABKHxyC OABKHNMDEQxyOlO A P 2 3yxx y B C 图 2 G M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习好资料欢迎下载sinPBG=PBPG，即2 332xx解之得： x=2（负值舍去） PG=3，PA =BC=24 分易知四边形OGPA是矩形， PA=OG=2， BG=CG =1，OB=OGBG=1，OC =OG+GC =3 A（0，3） ，B（1，0）C（ 3，0） 6 分设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c据题意得：09303abcabcc解之得： a=33， b=4 33， c=3二次函数关系式为：234 3333yxx9 分解法一：设直线BP的解析式为： y=ux+v，据题意得：023uvuv解之得： u=3， v=3 3直线 BP的解析式为：33 3yx过点 A 作直线 AM PB ，则可得直线AM 的解析式为：33yx解方程组：23334 3333yxyxx得：1103xy；2278 3xy过点 C作直线 CMPB，则可设直线CM 的解析式为：3yxt0=3 3t3 3t直线 CM 的解析式为：33 3yx解方程组：233 334 3333yxyxx得：1130 xy；2243xy综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（0，3） ， （3，0） ， （4，3） ， （7，8 3） 12 分解法二：12PABPBCPABCSSS，A（0，3） ，C（3，0）显然满足条件延长 AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA 又 AMBC，12PBMPBAPABCSSS点 M 的纵坐标为3又点 M 的横坐标为AM=PA +PM=2+2=4点 M（4，3）符合要求点（ 7，8 3）的求法同解法一综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（0，3） ， （3，0） ， （4，3） ， （7，8 3） 12 分解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA又 AMBC，12PBMPBAPABCSSS点 M 的纵坐标为3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习好资料欢迎下载即234 33333xx解得：10 x（舍），24x点 M 的坐标为（ 4，3） 点（ 7，8 3）的求法同解法一综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（0，3） ， （3，0） ， （4，3） ， （7，8 3） 12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页