2022年中考数学压轴题精选含详细答案 2.pdf

学习好资料欢迎下载目录1.3 因动点产生的直角三角形问题例 1 2012 年广州市中考第 24 题例 2 2012 年杭州市中考第 22 题例 3 2011 年沈阳市中考第 25 题例 4 2011 年浙江省中考第 23 题例 5 2010 年北京市中考第 24 题例 6 2009 年嘉兴市中考第 24 题例 7 2008 年河南省中考第 23 题1.3 因动点产生的直角三角形问题例 1 2012年广州市中考第24题如图 1，抛物线233384yxx与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧），与 y轴交于点 C（1）求点 A、B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于 ACB 的面积时，求点 D 的坐标；（3）若直线 l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式图 1 动感体验请打开几何画板文件名“12 广州 24” ，拖动点M 在以 AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合AMB90的点 M 只有 1 个请打开超级画板文件名“12 广州 24” ，拖动点M 在以 AB 为直径的圆上运动，可以体精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页学习好资料欢迎下载验到，当直线与圆相切时，符合AMB90的点 M 只有 1 个思路点拨1根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点 D 有两个2当直线l 与以 AB 为直径的圆相交时，符合AMB 90的点 M 有 2 个；当直线l与圆相切时，符合AMB90的点 M 只有 1 个3灵活应用相似比解题比较简便满分解答（1）由23333(4)(2)848yxxxx，得抛物线与x 轴的交点坐标为A( 4, 0)、B(2, 0)对称轴是直线x 1（2）ACD 与 ACB 有公共的底边AC，当 ACD 的面积等于 ACB 的面积时， 点 B、D 到直线 AC 的距离相等过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D，在 AC 的另一侧有对应的点D 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G，与 AC 交于点 H由 BD/AC，得 DBG CAO所以34DGCOBGAO所以3944DGBG，点 D 的坐标为9(1,)4因为 AC/BD，AG BG，所以 HGDG而 D HDH，所以 D G 3DG274所以 D的坐标为27(1,)4图 2 图 3 （3）过点 A、B 分别作 x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2 个点 M以 AB 为直径的 G 如果与直线l 相交，那么就有2 个点 M；如果圆与直线l 相切，就只有 1 个点 M 了联结 GM，那么 GM l在 RtEGM 中， GM3，GE5，所以 EM4在 RtEM1A 中， AE8，113tan4M AM EAAE，所以 M1A6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页学习好资料欢迎下载所以点 M1的坐标为 (4, 6)，过 M1、E 的直线 l 为334yx根据对称性，直线l 还可以是334yx考点伸展第（ 3）题中的直线l 恰好经过点C，因此可以过点C、E 求直线 l 的解析式在 RtEGM 中， GM3，GE5，所以 EM4在 RtECO 中， CO3， EO4，所以 CE5因此三角形EGM ECO， GEM CEO所以直线CM 过点 C例 2 2012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数yk(x2 x1)的图象交于点A(1,k)和点B( 1, k)（1）当 k 2 时，求反比例函数的解析式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页学习好资料欢迎下载（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求k的值动感体验请打开几何画板文件名“12 杭州 22” ， 拖动表示实数k 的点在 y 轴上运动， 可以体验到，当 k0 并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大观察抛物线的顶点Q 与 O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上请打开超级画板文件名“12 杭州 22” ， 拖动表示实数k 的点在 y 轴上运动， 可以体验到，当 k0 并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大观察抛物线的顶点Q 与 O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上思路点拨1由点 A(1,k)或点 B( 1,k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是kyx题目中的 k 都是一致的2由点 A(1,k)或点 B( 1, k)的坐标还可以知道，A、B 关于原点O 对称，以AB 为直径的圆的圆心就是O3根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在 O 上是， ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是kyx当 k 2 时，反比例函数的解析式是2yx（2）在反比例函数kyx中，如果y 随 x 增大而增大，那么 k 0当 k0 时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随 x增大而增大抛物线yk(x2x1)215()24k xk的对称轴是直线12x图 1所以当 k0 且12x时，反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大（3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24k，A、B 关于原点O 中心对称，当 OQ OAOB 时， ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形由 OQ2OA2，得222215()()124kk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页学习好资料欢迎下载解得1233k（如图 2） ，2233k（如图 3） 图 2 图 3 考点伸展如图 4，已知经过原点O 的两条直线AB 与 CD 分别与双曲线kyx（k0）交于 A、B和 C、D，那么 AB 与 CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图 5，当 A、C 关于直线yx 对称时， AB 与 CD 互相平分且相等，四边形ABCD 是矩形因为 A、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA 与 OC 无法垂直，因此四边形 ABCD 不能成为正方形图 4 图 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页学习好资料欢迎下载例 3 2011年沈阳市中考第25题如图 1，已知抛物线yx2bxc 与 x 轴交于 A、 B 两点（点A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C(0， 3)，对称轴是直线x1，直线 BC 与抛物线的对称轴交于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点 E 为 y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点 F，交抛物线于P、Q 两点，且点 P 在第三象限当线段34PQAB时，求 tanCED 的值；当以 C、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答图 1动感体验请打开几何画板文件名“11 沈阳 25” ，拖动点E 或 F 在 y 轴上运动，可以体验到，CDE 有两次机会成为等腰直角三角形双击按钮 “PQ3”可以准确显示34PQAB时的位置思路点拨1第（ 1） 、 （ 2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题2第（ 3）题的关键是求点E 的坐标，反复用到数形结合，注意y 轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页学习好资料欢迎下载3根据 C、D 的坐标， 可以知道直角三角形CDE 是等腰直角三角形，这样写点E 的坐标就简单了满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)yxn ，代入点C(0， 3)，得4n所以抛物线的函数表达式为22(1)423yxxx（2）由223(1)(3)yxxxx，知 A( 1，0)，B(3，0)设直线BC 的函数表达式为 ykxb，代入点B(3，0)和点 C(0， 3)，得30,3.kbb解得1k，3b所以直线 BC 的函数表达式为3yx（3）因为AB4，所以334PQAB因为 P、Q 关于直线x1 对称，所以点P的横坐标为12于是得到点P 的坐标为17,24，点F 的坐标为70,4所以75344FCOCOF，522ECFC进而得到51322OEOCEC，点 E 的坐标为10,2直线 BC:3yx与抛物线的对称轴x 1 的交点 D 的坐标为（ 1， 2） 过点 D 作 DH y 轴，垂足为H在 RtEDH 中， DH 1，13222EHOHOE，所以 tanCED23DHEH1(12, 2)P，265(1,)22P图 2 图 3 图 4 考点伸展第（ 3）题求点P 的坐标的步骤是：如图 3，图 4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE 的顶点 E 的坐标，再求出CE 的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页学习好资料欢迎下载中点 F 的坐标，把点F 的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x 的较小的一个值就是点P的横坐标例 4 2011年浙江省中考第23题设直线 l1：yk1xb1与 l2：yk2xb2，若 l1 l2，垂足为H，则称直线l1与 l2是点 H的直角线（1）已知直线122yx；2yx；22yx；24yx和点 C(0，2)，则直线 _和_是点 C 的直角线（填序号即可） ；（2） 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC 的顶点 A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P 为线段 OC 上一点，设过B、P 两点的直线为 l1，过 A、P 两点的直线为l2，若 l1与 l2是点 P 的直角线，求直线 l1与 l2的解析式图 1 动感体验精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页学习好资料欢迎下载请打开几何画板文件名“11 浙江 23” ，拖动点P 在 OC 上运动，可以体验到，APB有两个时刻可以成为直角，此时BCP POA答案（1）直线和是点C 的直角线（2）当 APB90时， BCP POA那么BCPOCPOA，即273POPO解得 OP6 或 OP1如图 2，当 OP6 时， l1：162yx， l2：y 2x6如图 3，当 OP1 时， l1：y 3x1， l2：113yx图 2 图 3 例 5 2010年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244mmyxxmm与 x 轴的交点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页学习好资料欢迎下载分别为原点O 和点 A，点 B(2,n)在这条抛物线上（1）求点 B 的坐标；（2）点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发向点A 运动，过点P 作 x 轴的垂线，与直线OB交于点 E，延长 PE 到点 D，使得 EDPE，以 PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD（当点 P 运动时，点C、D 也随之运动） 当等腰直角三角形PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若点 P 从点 O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1 个单位，同时线段OA 上另一个点 Q 从点 A 出发向点 O 作匀速运动， 速度为每秒2 个单位（当点 Q 到达点 O 时停止运动，点 P 也停止运动） 过 Q 作 x 轴的垂线，与直线AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得 FMQF，以 QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点 Q 运动时，点M、N也随之运动） 若点 P 运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值图 1 动感体验请打开几何画板文件名“10 北京 24” ，拖动点P 从 O 向 A 运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线思路点拨1这个题目最大的障碍，莫过于无图了2把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长3点 C 的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长4当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以求解了满分解答(1) 因为抛物 线22153244mmyxxmm经 过原点，所以2320mm 解得12m，21m（舍去）因此21542yxx所以点B 的坐标为（ 2，4） (2) 如图 4，设 OP 的长为 t，那么 PE2t，EC 2t，点 C 的坐标为 (3t, 2t)当点 C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页学习好资料欢迎下载落在抛物线上时，2152(3 )342ttt解得229tOP如图 1，当两条斜边PD 与 QM 在同一条直线上时，点P、Q 重合此时3t10解得103t如图 2，当两条直角边PC 与 MN 在同一条直线上，PQN 是等腰直角三角形，PQPE此时1032tt解得2t如图 3，当两条直角边DC 与 QN 在同一条直线上，PQC 是等腰直角三角形，PQPD此时1034tt解得107t图 1 图 2 图 3 考点伸展在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以 QM 为直径的圆F 相切，求t 的值如图 5，当 P、Q 重合时，两圆内切，103t如图 6，当两圆外切时，30202t图 4 图 5 图 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页学习好资料欢迎下载例 6 2009年嘉兴市中考第24题如图 1，已知 A、B 是线段 MN 上的两点，4MN，1MA，1MB以 A 为中心顺时针旋转点M，以 B 为中心逆时针旋转点N，使 M、N 两点重合成一点C，构成 ABC，设xAB（1）求 x 的取值范围；（2）若 ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究： ABC 的最大面积？图 1 动感体验请打开几何画板文件名“09 嘉兴 24” ，拖动点 B 在 AN 上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；CAB 和 ACB 可以成为直角，CBA 不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U”形，当 AB 等于 1.5时，面积达到最大值思路点拨1根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x 的不等式组，可以求得 x 的取值范围2分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页学习好资料欢迎下载存在性3把 ABC 的面积 S的问题，转化为S2的问题 AB 边上的高CD 要根据位置关系分类讨论，分CD 在三角形内部和外部两种情况满分解答（1）在ABC 中，1AC，xAB，xBC3，所以.31,31xxxx解得21x（2）若 AC 为斜边，则22)3(1xx，即0432xx，此方程无实根若 AB 为斜边，则1)3(22xx，解得35x，满足21x若 BC 为斜边，则221)3(xx，解得34x，满足21x因此当35x或34x时， ABC 是直角三角形（3）在 ABC 中，作ABCD于 D，设hCD， ABC 的面积为S，则xhS21 如 图2 ， 若 点D在 线 段AB 上 ， 则xhxh222)3(1 移 项 ， 得2221)3(hxhx两边平方， 得22222112)3(hhxxhx整理，得4312xhx两 边 平 方 ， 得16249)1(222xxhx整 理 ， 得16248222xxhx所以462412222xxhxS21)23(22x（423x） 当23x时（满足423x） ，2S 取最大值21，从而 S取最大值22图 2 图 3 如图 3，若点 D 在线段 MA 上，则xhhx2221)3(同理可得，462412222xxhxS21)23(22x（413x ） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页学习好资料欢迎下载易知此时22S综合得， ABC 的最大面积为22考点伸展第（ 3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设aAD，例如在图 2 中，由2222BDBCADAC列方程222)()3(1axxa整理，得xxa43所以21a22216248431xxxxx因此462)1 (412222xxaxS例 7 2008年河南省中考第23 题如图 1，直线434xy和 x 轴、 y 轴的交点分别为B、C，点 A 的坐标是（ -2，0）（1）试说明 ABC 是等腰三角形；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页学习好资料欢迎下载（2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点N 从点 B 出发沿线段BC 向点 C运动，运动的速度均为每秒1 个单位长度 当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动 设M 运动 t 秒时， MON 的面积为S 求 S与 t 的函数关系式； 设点 M 在线段 OB 上运动时， 是否存在 S4 的情形？若存在，求出对应的t 值； 若不存在请说明理由；在运动过程中，当MON 为直角三角形时，求t 的值图 1 动感体验请打开几何画板文件名“08 河南 23” ，拖动点M 从 A 向 B 运动，观察S随 t 变化的图象，可以体验到，当M 在 AO 上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M 在 OB 上时，S随 t 的增大而增大观察 S的度量值，可以看到，S的值可以等于4观察 MON 的形状，可以体验到，MON 可以两次成为直角三角形，不存在ONM90的可能思路点拨1第（ 1）题说明 ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M、N 同时出发，同时到达终点2不论 M 在 AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有 t 的式子表示OM 要分类讨论3将 S4 代入对应的函数解析式，解关于t 的方程4分类讨论MON 为直角三角形，不存在ONM 90的可能满分解答（1）直线434xy与 x 轴的交点为B（3，0）、与 y 轴的交点C（0，4）RtBOC中， OB3，OC4，所以 BC 5点 A 的坐标是（ -2， 0），所以 BA 5因此 BCBA，所以 ABC 是等腰三角形（2） 如图 2， 图 3， 过点 N 作 NHAB， 垂足为 H 在 RtBNH 中，BNt，4sin5B，所以45NHt如图 2，当 M 在 AO 上时， OM2t，此时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页学习好资料欢迎下载211424(2)22555SOM NHtttt定义域为0t2如图 3，当 M 在 OB 上时， OMt 2，此时211424(2)22555SOM NHtttt定义域为2t5图 2 图 3 把 S4 代入22455Stt，得224455tt解得1211t，2211t（舍去负值）因此，当点M 在线段 OB 上运动时，存在S4 的情形，此时211t如图 4，当 OMN 90时，在 RtBNM 中， BNt，BM 5t，3cos5B，所以535tt解得258t如图 5，当 OMN 90时， N 与 C 重合，5t不存在 ONM 90的可能所以，当258t或者5t时， MON 为直角三角形图 4 图 5 考点伸展在本题情景下，如果MON 的边与 AC 平行，求t 的值如图 6，当 ON/AC 时， t3；如图 7，当 MN/AC 时， t2.5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页学习好资料欢迎下载图 6 图 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页