2022年中考数学二轮复习二次函数与一元二次方程的综合 .pdf

学习好资料欢迎下载第一讲：二次函数与一元二次方程的综合内容要求中考分值考察类型二次函数与一元二次方程综合题会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、 开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解7 二次函数与一元二次方程1.熟练掌握二次函数的有关知识点2.掌握二次函数与一元二次方程的联系。【例 1】 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=（ a1）x2+2x+1 与 x轴有交点， a 为正整数 . （1）求 a 的值 . （2）将二次函数y=（a1）x2+2x+1 的图象向右平移m 个单位，向下平移m2+1 个单位，当2 x1时，二次函数有最小值3，求实数 m 的值 . 27.解： （1）二次函数y=（a1）x2+2x+1 与 x 轴有交点，令 y=0，则（ a1）x2+2x+1=0，=4-4(a-1)0，解得 a2. 1 分. a 为正整数 . a=1、2 又 y=（a1）x2+2x+1 是二次函数，a 10 ， a1 ，a 的值为 2. 2分（2） a=2，二次函数表达式为y=x2+2x+1，将二次函数y=x2+2x+1 化成顶点式y=（x+1）2 二次函数图象向右平移m 个单位，向下平移m2+1 个单位后的表达式为y=（x+1m）2（m2+1）. 此时函数的顶点坐标为（m1, m21）. 4分当 m12，即 m 1 时，x=2 时，二次函数有最小值3， 3=（ 1m）2（m2+1） ，解得32m且符合题目要求 . 5分当 2 m11, 即 1 m2, 时，当x= m1 时，二次函数有最小值m21=3，解得2m.- 2m不符合 1 m2 的条件，舍去 . 2m. 6分当 m11，即 m2 时，当x=1 时，二次函数有最小值3， 3=（2m）2（m2+1） ，解得32m,不符合 m2 的条件舍去 . 例题精讲方法策略考试要求yx11O27 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习好资料欢迎下载Oyx综上所述， m 的值为32或27分【例 2】 已知二次函数22(1)(31)2ykxkx（1）二次函数的顶点在x轴上，求k的值；（2）若二次函数与x轴的两个交点A、B 均为整数点（坐标为整数的点），当k为整数时，求A、B 两点的坐标. 23.解： （1）方法一二次函数顶点在x轴上，2-4=0bac，且0a1分即22314210ak，且2-10k=3k3分（2）二次函数与x轴有两个交点，2-40bac，且0a分即2-30k（），且k 1当3k且1k时，即可行A、B两点均为整数点，且k为整数1222-1 +-3-1+ -3-42=-1-1-1+1kkkkkxkkkk（3）（） 342（）2（） 2（）2222-1 -3-1- +3+21=-1-1-1-1kkkkkxkkkk（3）（） 322（）2（） 2（）5分当=0k时，可使1x，2x均为整数，当=0k时，A、B两点坐标为(-1 0)，和(2 0)，6分【例 3】 已知：关于x 的一元二次方程x2+(m+1)x+(m+2)=0（m0） （1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=x2+(m+1)x+(m+2)经过点（ 3， 0） ，求该抛物线的表达式；（3）在（ 2）的条件下，记抛物线y=x2+(m+1)x+(m+2)在第一象限之间的部分为图象G，如果直线y=k(x+1)+4 与图象 G 有公共点， 请结合函数的图象，求直线 y=k(x+1)+4 与 y 轴交点的纵坐标t 的取值范围（1）证明： = (m+1)24 ( 1) (m+2) = ( m + 3 )2. 1分 m 0， (m+3)20，即 0，原 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 . 2分（2）解：抛物线抛物线y=x2+(m+1)x+(m+2)经过点（ 3， 0） ， 32+ 3 ( m + 1 ) + ( m + 2 ) = 0 ， 3分 m=1. y = x2+ 2 x + 3 . 4分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习好资料欢迎下载（3）解：y= x2+2x+3=(x1)2+4， 该抛物线的顶点为（1， 4）. 当直线 y=k(x+1)+4 经过顶点（ 1，4）时， 4=k(1+1)+4 ， k=0， y=4. 此 时 直 线y = k ( x + 1 ) + 4与y 轴 交 点 的 纵 坐 标 为4. 5分 y= x2+2x+3， 当 x=0 时， y=3， 该抛物线与y 轴的交点为（ 0，3）. 此 时 直 线y = k ( x + 1 ) + 4与y 轴 交 点 的 纵 坐 标 为3. 6分3 t 4 . 7分【例 4】 已知关于x 的一元二次方程04) 15(22mmxmx. （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求 m 的取值范围；（3）抛物线mmxmxy224)15(与 x 轴交于点A、B（点 A 在点 B 的左侧），现坐标系内有一矩形OCDE ，如图 11，点 C（0， 5)，D（6， 5) ，E（6，0),当 m 取第（ 2）问中符合题意的最小整数时，将此抛物线上下平移h个单位， 使平移后的抛物线与矩形OCDE 有两个交点， 请结合图形写出h 的取值或取值范围（直接写出答案即可）.解： (1)证明： =)4(14)15(22mmm1分=1692mm=2)13( m2)13( m0 ，2分 无论 m 取何实数时，原方程总有两个实数根. （ 2） 解关于 x 的一元二次方程04)15(22mmxmx，得14,21mxmx. 3分由题意得31488143mmmm或4分解得821m. 5分（3）5h或94h. 7分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习好资料欢迎下载逆袭训练1. 已知关于x 的方程 mx2(3m1)x+2m2=0 （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根（2）若关于x 的二次函数y= mx2(3m1)x+2m2 的图象与x 轴两交点间的距离为2 时，求二次函数的表达式.解：(1)=9m26m+18m2+8m=m2+2m+1，=（m+1）2；=（m+1）20 ，.(1 分) 无论 m 取任何实数时，方程恒有实数根；(2)设 x1，x2为抛物线 y=mx2（3m1）x+2m2 与 x 轴交点的横坐标令 y=0，则 mx2（3m1）x+2m2=0 由求根公式得， x1=2， ，.(2 分) 抛物线 y=mx2 （3m1） x+2m2不论 m为任何不为 0的实数时恒过定点（2， 0） x2=0或 x2=4，m=1 或) 当 m=1 时，y=x22x， ，抛物线解析式为 y=x22x 当时,382312xxy答：抛物线解析式为y=x22x；或382312xxy .(3分) 2. 已知：关于x的一元二次方程22(1)20(0)axaxaa（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x 2x ） 若y是关于a的函数，且21yaxx ，求这个函数的表达式；（3）在（ 2）的条件下，结合函数的图象回答：若使231ya，则自变量a的取值范围为（1）证明：22(1)20(0)axaxaa是关于x的一元二次方程，2 2(1)4 (2)aa a 1 分=4即0 方程有两个不相等的实数根 2 分（2） 解：由求根公式，得2(1)22axa1x或21xa 3 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习好资料欢迎下载0a，1x 2x ，11x，221xa 4 分211yaxxa即1(0)yaa为所求 5分（3）0a23 7分3. 已知关于x的方程231220mxmxm（ 1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（ 2）若关于x的二次函数23122ymxmxm的图象经过坐标原点，得到抛物线1C将抛物线1C向下平移后经过点0, 2A进而得到新的抛物线2C,直线l经过点A和点2,0B，求直线l和抛物线2C的解析式；（ 3）在直线l下方的抛物线2C上有一点C，求点C到直线l的距离的最大值解： （1）当0m时，2x当0m时，231422mmm22961 88mmmm22211mmm210m，0综上所述：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；3分（2）二次函数2(31)22ymxmxm的图象经过坐标原点220m1m4 分抛物线1C的解析式为：22yxx抛物线2C的解析式为：222yxx设直线l所在函数解析式为：ykxb将A和点2,0B代入ykxb直线l所在函数解析式为：2yx 5 分（3）据题意：过点C作CEx轴交AB于E，可证45DECOAB,则22ECCD设2,22C t tt，,2E t t，03tECECyy23tt23924t6 分3032当32t时，max94ECCD随EC增大而增大，xyOByxEDCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习好资料欢迎下载max928CD为所求 . 7 分4. 已知关于x 的方程2230 xmxm（1）求证：方程2230 xmxm总有两个实数根；（2）求证：抛物线223yxmxm总过 x 轴上的一个定点；（3）在平面直角坐标系xOy 中，若（ 2）中的 “ 定点 ” 记作 A，抛物线223yxmxm与 x 轴的另一个交点为B，与 y 轴交于点C，且 OBC 的面积小于或等于8，求 m 的取值范围解：（ 1）24bac=2243mm.1 分=244412mmm=2816mm=24m240m，方程2230 xmxm总有两个实数根.2 分（2）21,2242mmx=242mm.3 分11x，23xm，抛物线223yxmxm总过 x 轴上的一个定点（1,0） .4 分（3）抛物线223yxmxm与 x 轴的另一个交点为B，与 y 轴交于点C，B（3m,0） ，C（0, m3） ，.5 分 OBC 为等腰直角三角形， OBC 的面积小于或等于8，OB，OC 小于或等于4，3m4或 m3 4， .6 分m1 或 m7 1m7 且3m.7 分5. 已知关于x 的一元二次方程23(1)230mxmxm.（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；xyO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习好资料欢迎下载（2） 在 （1） 的条件下， 当关于 x 的抛物线23(1)23ymxmxm与 x 轴交点的横坐标都是整数，且4x时，求 m 的整数值解： （1）由题意m 0， 1分 方程有两个不相等的实数根， 0 2分即22 3(1)4(23)(3)0mmmm得 m 3 3分 m 的取值范围为m0 和 m 3；（2）设 y=0，则23(1)230mxmxm2(3)m，33(3)2mmxm123mxm，21x 5分当123mxm是整数时，可得 m=1 或 m=1 或 m=3 6分4x， m 的值为 1 或 3 7分6. 已知：关于x的一元二次方程2(3) -30mxmx（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个实数根；（2）设抛物线2(3) -3ymxmx，证明：此函数图像一定过x轴，y轴上的两个定点（设x轴上的定点为点 A，y轴上的定点为点C） ；（3）设此函数的图像与x轴的另一交点为B，当 ABC 为锐角三角形时，求m的取值范围解： （1）22(3)12(3)mmm2(3)0m无论 m 取何值，此方程总有两个实数根.2 分（2）由公式法：21,23(3)123(3)22mmmmmxmmx1= 1,x2=m3.4分此函数图像一定过x轴，y轴上的两个定点，分别为A（ 1，0）,C（0， 3）4 分（3）由（ 2）可知抛物线开口向上，且过点A（ 1，0）,C（0， 3）和 B（m3， 0）. 观察图象，当m0 时， ABC 为钝角三角形，不符合题意. -3CBA3xy63-10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习好资料欢迎下载当 m0 时，可知若ACB=90 时，可证 AOC COB.BOCOCOAO. OBOAOC2.32=1OB. OB=9.即 B(9,0) . 当930m时， ABC 为锐角三角形 .即当 m31时， ABC 为锐角三角形.7 分7. 已知关于x 的一元二次方程22(41)30 xmxmm. （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于 7，求 m 的取值范围；（3）抛物线22(41)3yxmxmm与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点C，当 m 取（ 2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在ABC 的内部（不包括ABC 的边界），求 n 的取值范围（直接写出答案即可）解： (1)证明： =22(41)4(3)mmm=2441mm=2(21)m2(21)m0 ， 无论 m 取何实数时，原方程总有两个实数根. 2分（ 2） 解关于 x 的一元二次方程22(41)30 xmxmm，得1231,= xmxm. 3分由题意得312,3177.2.mmmm或4分解得173m. 5分（3）符合题意的n 的取值范围是91544n. 7 分8. 已知关于x的方程：2(1)0 xmxm和2(9)2(1)3xm xm，其中0m. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习好资料欢迎下载（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设二次函数21(1)yxmxm的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），将A、B两点按照相同的方式平移后，点A落在点(1,3)A处，点B落在点B处，若点B的横坐标恰好是方程的一个根，求m的值；（3）设二次函数22(9)2(1)yxm xm，在（ 2）的条件下，函数1y，2y的图象位于直线3x左侧的部分与直线ykx（0k）交于两点，当向上平移直线ykx时，交点位置随之变化，若交点间的距离始终不变，则k的值是 _. 解： （1）222(1)421(1)mmmmm，1分由0m知必有10m，故0. 方程总有两个不相等的实数根. 2分（2）令10y，依题意可解得( 1,0)A，(,0)B m. 平移后，点A落在点(1,3)A处，平移方式是将点A向右平移2 个单位，再向上平移3 个单位得到 . 点(,0)B m按相同的方式平移后，点B为(2,3)m. 3分则依题意有2(2)(9)(2)2(1)3mmmm. 4分解得13m，252m（舍负） . m的值为 3. 5分（3）32k. 7分1. 已知关于x 的一元二次方程x2(m3)xm10（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当 m 为何整数时，原方程的根也是整数解： (1)证明： =23)4(1)mm（=26944mmm=225mm课后练习12345- 1- 2- 3- 4- 5-5- 4- 3- 2- 154321yxO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习好资料欢迎下载=2(1)4m2(1)m0 ，2(1)4m0 无论 m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. 2 分（ 2） 解关于 x 的一元二次方程x2(m3)x m 10，得23(1)42mmx. 3分要使原方程的根是整数，必须使得2(1)4m是完全平方数. 设22(1)4ma，则(1)(1)4amam. a+1m和1am的奇偶性相同，可得12,12.amam或12,12.amam解得2,1.am或2,1.am. 5分将 m=1 代入23(1)42mmx，得122,0 xx符合题意 . 6 分 当 m=1 时 ，原方程的根是整数. 7分2 已知关于x的方程2(32)220mxmxm（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根. （2） 若关于x的二次函数2(32)22ymxmxm的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，求抛物线的解析式. （1）证明：当0m时，方程为220 x，所以1x，方程有实数根. 1 分当0m时, 2(32)4(22)mmm=22912488mmmm=244mm=2(2)0m2分所以 ,方程有实数根综所述，无论m取任何实数时，方程恒有实数根 3 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习好资料欢迎下载（2）令0y，则2(32)220mxmxm解关于x的一元二次方程，得11x，222xm5 分二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，所以m只能取 1，2 所以抛物线的解析式为254yxx或2286yxx 7 分3. 已知：关于x 的一元二次方程mx2（4m+1）x+3m+3=0 （m1） （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中 x1x2） ，若 y 是关于 m 的函数，且 y=x13x2，求这个函数的解析式；（3）将（ 2）中所得的函数的图象在直线m=2 的左侧部分沿直线m=2 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象 请你结合这个新的图象回答：当关于 m 的函数 y=2m+b 的图象与此图象有两个公共点时， b 的取值范围解： （1）证明：所以方程有两个不等实根. 2分21212412141212.2213,1+.111,01,12.1,3,1.1333 1.mmmmxmmmmmmxxxxmymm两根分别为5分（3）作出函数3(1)mmy=-的图象，并将图象在直线2m左侧部分沿此直线翻折，所得新图形如图所示.易知点,A B的坐标分别为3(3, 3),(2,).2AB当直线过点A 时，可求得过点 B 时， 可求得因此，21,= 210.mm22= 41433 = 21,mmmm2ymb9,b11,2b119.2b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习好资料欢迎下载7 分4. 已知关于x的方程01)1(22mxmmx有两个实数根，且m为非负整数 . （ 1）求m的值；（ 2）将抛物线1C：1) 1(22mxmmxy向右平移a个单位， 再向上平移b个单位得 到抛物线2C，若抛物线2C过点），（bA2和点），（124bB，求抛物线2C的表达式；（ 3）将抛物线2C绕点 (nn, 1)旋转180得到抛物线3C，若抛物线3C与直线121xy有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n的取值范围解：（ 1）方程01) 1(22mxmmx有两个实数根，0m且0，1分则有0) 1(4-)1(42mmm且0m1m且0m又m为非负整数，1m. 2分（2）抛物线1C：2xy平移后，得到抛物线2C：baxy2)(，3 分抛物线2C过),2(bA点，bab2)2(，可得2a，同理：bab2)4(12，可得3b，4分2C：322xy）（或742xxy. 5 分（ 3 ） 将 抛 物 线2C：3)2(2xy绕 点 (nn, 1) 旋 转180 后 得 到 的 抛 物 线3C顶 点 为（322nn，） ，6 分当nx2时，11221nny，由题意，132nn，即：4n7分5. 关于x的一元二次方程023)1(32mxmx（1）求证：无论m为何值时，方程总有一个根大于0；（2）若函数23) 1(32mxmxy与 x 轴有且只有一个交点，求m的值；（3）在（ 2）的条件下，将函数23) 1(32mxmxy的图象沿直线2x翻折，得到新的函数图象 G在xy，轴上分别有点P(t，0)，Q(0，2t)，其中0t，当线段PQ与函数图象 G只有一个公共点时，求t 的值解：（1）证明：0231mxx11x，231mx011x无论m为何值时，方程总有一个根大于0；（ 2 ） 解 ： 若 函 数23)1(32mxmxy与x轴 有 且 只 有 一 个 交 点29(1)4(32)0mm31m（3）解： 当31m时，函数22112xxxyxyO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习好资料欢迎下载依题意，沿直线2x翻折后的解析式为 : 96322xxxy，图象 G 如图所示可得，96322xxxy与x，y轴的交点分别为0 ,3，9 ,0设直线PQ的解析式为0kbkxy，由0, tP，Q(0，2t)直线PQ的解析式为txy225 分当线段PQ与函数图象 G 相切时，96222xxtx029416t25t当线段PQ经过点9,0时，92t29t综上：当25t或29t时，线段PQ与函数图象 G 只有一个公共点xy1 2 3 4 512345678910O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页