2022年中考数学专题四开放探究型问题 .pdf

学习好资料欢迎下载专题四 开放探究型问题第 1 课时规律探索型命题热点分析数与式的规律探索、图形的规律探索、数形结合的规律探索是中考命题热点。中考题型解析题型一探索数与式的规律例 1. (1)（ 2013 重庆二外模拟）下面是按一定规律排列的一列数：248163579， ，那么第 n 个数是_考点：规律型：数字的变化类。分析：根据题意，首先从各个数开始分析，n=1 时，分子：212( 1)2，分母：32 1 1；n=2 时，分子：324( 1)2，分母： 5=2 2+1；，即可推出第n 个数为12( 1)21nnn解答： n=1 时，分子：212( 1)2，分母：32 1 1；n=2 时，分子：324( 1)2，分母： 5=2 2+1；n=3 时，分子：438( 1)2，分母： 7=2 3+1；n=4 时，分子：5416( 1)2，分母： 9=2 4+1；，第 n 个数为：12( 1)21nnn,故答案为：12( 1)21nnn点评：本题主要考查通过分析数的变化总结归纳规律，解题的关键在于求出分子、分母与n 的关系(2) (2012 汕头 ) 观察下列等式：第1 个等式：1111(1)1 323a；第 2 个等式：211 11()352 35a；第 3 个等式：311 11()572 57a；第 4个等式：411 11()792 79a； 请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5 个等式：5a= =；（2）用含有n 的代数式表示第n 个等式：na=（ n为正整数）；（3）求123100aaaa的值考点 : 等式的规律的探索，用代数式表示一般规律。分析： （1） （2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的 2 倍减 1 和序号的2 倍加 1 （3）运用变化规律计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页学习好资料欢迎下载解答： 根据观察知答案分别为：（1）19 11=111()2911；（2）1(21)(21)nn=111()22121nn；（3）123100111 111 1111111100(1)()()()(1)232 352 572 1992012201201aaaa点评： 此题考查寻找数字的规律及运用规律计算寻找规律大致可分为2 个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系题型二探索图形的规律例 2. （2012 山西）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n 个图案中阴影小三角形的个数是考点： 图形的规律的探索，用代数式表示一般规律。分析： 由图可知：第一个图案有阴影小三角形2 个第二图案有阴影小三角形2+4=6 个第三个图案有阴影小三角形2+8=12 个，那么第n 个就有阴影小三角形2+4（n1）=4n2 个，答案： 4n2点评： 本题主要考查了图形有规律的变化，解决此种类型的关键是分别数清前几个图每一个图形中的三角形个数，再由此猜想，一般到特殊地发现规律。题型三数形结合探索规律例 3. （1）（ 2012 潍坊）右图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：127531n= .是正整数表示，用nn考点： 数学归纳法，数与式规律的探索。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页学习好资料欢迎下载分析： 由每个小方格的面积为1，观察图发现n=2 时，四个小正方形组成的边长为2 的正方形面积之和正好为 1+3；n=3 时，九个小正方形组成的边长为3 的的正方形面积之和正好为1+3+5； 就可以得出规律。解答： 当2n时：21342当3n时：213593当4n时：21357164猜想：21357(21)nn点评： 在求规律探索问题时，常通过特殊到一般，通过特殊值时的结论，总结出一般的结论。（2） （2012 东营）在平面直角坐标系xOy中，点1A，2A，3A， 和1B，2B，3B， 分别在直线ykxb和x轴上 OA1B1，B1A2B2， B2A3B3，都是等腰直角三角形，如果A1（1，1）， A2（23,27），那么点nA的纵坐标是 _ _考点： 平面直角坐标系坐标轴上点的坐标变化规律，一次函数上点的坐标变化规律。分析： 把127 3(1,1),(,)2 2AA分别代入ykxb，可求得14,55kb,所以1455yx，与 x 轴交点的坐标为（4，0），设 A3的纵坐标为m,则141423mm，解得293()42m,同理可得A4的纵坐标为33( )2， ，nA的纵坐标是13()2n。解答：13()2n点评： 抓住坐标间的变化规律是解题的关键，采用从特殊到一般的归纳法。专项训练突破1.（ 2013 重庆巴蜀模拟）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第个图形中一共有6 个平行四边形，第个图形中一共有18 个平行四边形，第个图形中一共有36 个平行四边形，则第个图形中平行四边形的个数为（）A252 B 126 C99 D72 解析： 按此规律得，第四个图形有60 个平行四边形。因为61 6,1836,3666,60106，故第五个图形由15 690，yxy=kx+bOB3B2B1A3A2A1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页学习好资料欢迎下载第六个图形有21 6126个，故选B 2.（ 2013 重庆巴蜀模拟）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1 个图形有 6 个小圆，第2 个图形有 10 个小圆，第3 个图形有 16 个小圆，第4 个图形有24 个小圆，依次规律，第10 个图形圆的个数为（） A 114 B. 104 C. 85 D. 76 解析： 由规律可知第5 个图形中有34 个小圆，第六个有46 个小圆，第七个有60 个小圆，第八个有76 个小圆，第九个有94 个小圆，第十个有114 个小圆 . 即相邻的两个图形中后面一个比前一个2n 个小圆圈。因此应选择A选项3. （2013 重庆南开模拟）如图，用火柴棍摆出一列正方形图案，第 个图案用火柴棍 4 根，第 个图案用火柴棍12 根，第 个图案用火柴棍24 根，按这种方式摆下去，摆出第个图案用火柴棍的根数为（）A84 B81 C78 D 76 解析： 由规律可知第二个图形比第一个图形多8 根火柴，第三个比第二个多12 根，第四个图形中有40 根火柴，第五个图形中有60 根火柴，第六个图形中有84 根火柴。故选择A选项4.（2013 重庆一中模拟）如图所示，已知等边三角形ABC 的边长为 1，按图中所示的规律，在同一平面内用 2013 个这样的三角形拼接而成的四边形的周长是（）A2015 B2016 C 2017 D 2018 解析：由规律知道第一个图形由1 个等边三角形围成周长为3, 第二个由2 个等边三角形围成周长为4，第三个由 3 个等边三角形围成周长为5，第四个图形由3 个等边三角形围成周长为6，第 n 个图形由n 个等边三角形围成周长为2n，因此 2013 个这样的三角形拼接而成的四边形的周长是2015，故选择 A 4. （2012 重庆北碚模拟） 若11111 33557(21)(21)nn的值为1735， 则正整数n的值是（）A16 B17 C18 D19 解析：111111 11111=1-=-()1 3233 523 5(21)(21)2 2121nnnn（），（）.C A B （第 3 题图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页学习好资料欢迎下载故111111111111+.+(1.)1 3355 7(21)(21)2335572121nnnn111712212135nnn解得17n，故选 B5.（ 2012 孝感） 20XX 年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：年份1896 1900 1904 2012 届数1 2 3 n表中 n 等于 _解析： 寻找规律：第 1 届相应的举办年份=18964 （11） =18924 1=1896 年；第 2 届相应的举办年份=18964 （21） =18924 2=1900 年；第 3 届相应的举办年份=18964 （31） =18924 3=1904 年；第 n 届相应的举办年份=18964 （n1） =18924n 年。由 1892+4n=2012 解得 n=30。 【答案】 30。6.（ 2013 重庆巴蜀模拟）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33，和 43分别可以按如图所示的方式“ 分裂 ” 成 2个、 3个和 4个连续奇数的和， 即 23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;若 63也按照此规律来进行“ 分裂 ” ，则 63“ 分裂 ” 出的奇数中，最大的那个奇数是_. 解析： 由 23=3+5，分裂中的第一个数是：3=2 1+1，由 33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3 2+1，由 43=13+15+17+19 ，分裂中的第一个数是：13=4 3+1，由 53=21+23+25+27+29 ，分裂中的第一个数是：21=5 4+1，由 63=31+33+35+37+39+41 ，分裂中的第一个数是：31=6 5+1，63“ 分裂 ” 出的奇数中最大的是6 5+1+2 （61）=41。【答案】 41。7.（ 2012 毕节） 在下图中，每个图案均由边长为1 的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有个小正方形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页学习好资料欢迎下载解析： 观察图案不难发现：第1 个图案中共有1 个小正方形，第2 个图案中共有1+3=4 个小正方形，第3个图案中共有1+3+5=9 个小正方形， ，第 n 个图案中共有2(121)135(21)2nnnn个小正方形，所以，第10 个图案中共有102=100 个小正方形【答案】 100。8. (2012 德州 ) 如图， 在一单位为1 的方格纸上， 123A A A，345A A A，567A A A， ，都是斜边在x 轴上、 斜边长分别为2，4，6， 的等腰直角三角形若 123A A A的顶点坐标分别为1A(2，0)，2A(1，1)，3A(0，0)，则依图中所示规律，2012A的坐标为解析： 2012 是 4 的倍数， A1 A4； A5 A8； 每 4 个为一组，A2012在 x 轴上方，横坐标为2。A4、A8、A12的纵坐标分别为2，4，6，A2012的纵坐标为2012 =1006。 A2012的坐标为为（2，1006） 。【答案】（2，1006） 。9.(2013 重庆巴蜀模拟)二次函数223yx的图象如图所示，点0A位于坐标原点，1232013,AAAA在 y 轴的正半轴上，1232013,BBBB在二次函数223yx第一象限的图象上，若011A B A，122233201220132013,A B AA B AABA都为等边三角形，则201220132013ABA的边长 =_ 解析：设011122233201220132013,A B AA B AA B AABA的边长分别为1232013,a aaaA8A7A6A4A2A1A5A3x y O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页学习好资料欢迎下载A B C D 容易知道110111113,(,)22aaA AA Ba B又1113(,)22aaB在二次函数223yx上，所以21132()232aa解得111,0()aa舍去222212223,(,1)22aaA BA AaB同理解得222,0()aa舍去同理可知3233(,3)22aaB同理解得333,-2()aa舍去依次进行计算20132013a，故答案为20132013a第 2 课时函数图象型命题热点分析函数图象的实际意义，函数图象与方程（不等式）的关系、函数解析式中字母系数与函数图象之间的关系是中考命题热点。中考题型解析题型一函数图象的实际意义例 1.(1)（2013 重庆南开模拟）小欣暑假骑车沿直线公路匀速行驶，先前进了2000 米，休息了一段时间，又原路返回1000 米，再沿初始方向前进了2000 米，则她离起点的距离s与时间t的关系示意图是（）考点： 函数图象的实际意义。解析： 分析题干条件，先开始骑车前行2000 米则和起点之间距离逐渐增大，在休息的这段时间，和起点的距离不变不变，沿原路返回时1000 米和起点距离逐渐变小，再沿初始方向前进了2000 米时和起点距离又逐渐增大结合图象的意义，即可找出答案解答： 选项 B 中，没有休息的这段时间，C 中返回时没有用时间，选项D 中，和起点距离一直增大逐渐增加，不符合实际意义，只有A 正确故选A点评 ：本题考查利用函数的图象解决实际问题正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决(2)（2013 重庆一外模拟）一水池有甲、乙、丙三个水管，其中甲、丙两管为进水管，乙管为出水管单位时间内，甲管水流量最大，丙管水流量最小先开甲、乙两管，一段时间后，关闭乙管开丙管，又经过一段时间，关闭甲管开乙管则能正确反映水池蓄水量y（立方米）随时间t（小时）变化的图象是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页学习好资料欢迎下载A B C D 考点： 实际问题中函数图像的变化情况。解析： 甲管流量大于乙管流量，因此先开甲、 乙两管， 一段时间后水池中水量不断增加；关闭乙管开丙管，此时甲管和丙管都是进水管，水池中水量增加较快；又经过一段时间，关闭甲管开乙管，乙管流量大于丙管流量，因此水池中的水量会逐渐减小，有图像反映的情况知道D 选项正确解答： 刚开始水池中水量增加A 选项中确实减少，有误；B 选项中水池中水量一直增加和实际情况不符；第二段中水池水量增加的速度比第一段快C 有误； D 选项符合实际情况，选择D 点评 ：本题考查利用函数的图象解决实际问题正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决题型二函数图象与方程（不等式）的关系例 2. （2012 宜宾）如图，一次函数y1=ax+b（a0 ）与反比例函数y2=0kxk的图象交于A（1,4）、 B（4,1）两点，若y1y2，则 x 的取值范围是考点： 一次函数与反比例函数相交的图象与不等式的关系。解析： 根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x 的取值范围即可解答： 根据图形，当x0 或 1x4 时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1y2故答案为： x0 或 1x4点评： 本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意y 轴左边的部分，一次函数图象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方题型三函数式中系数与函数图象的关系例 3. （2012 张家界） 当 a0 时，函数y=ax+1 与函数ayx在同一坐标系中的图象可能是（）A.BCD考点： 反比例函数和一次函数的图象性质。解析： 由四个选项可以先排除B,D 两个选项，因为一次函数1yax的图像应该交y 轴正半轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页学习好资料欢迎下载A 选项中由一次函数图像可知0a，对应的反比例函数的图像应在一、三象限。但图像却在二、四象限，有误；但是C 选项符合题意。故正确答案为C 解答： 选择 C。点评 : 解答这类问题应分别讨论未知数的系数和常数项的符号，利用排除法和分类讨论的方法求解.(2)（2013 重庆一中模拟）如图为二次函数2(0)yaxbxc a的图象，则下列说法：0a, 20ab, 0abc, 当13x时，0y. 其中正确的个数为（）A1 B2 C3 D4 考点 : 二次函数图象的性质.分析： 二次函数2(0)yaxbxc a中，a判断抛物线的开口方向和开口大小，0a开口向上，反之向下；,a b共同决定对称轴的位置“左同右异”（a，b 同号时对称轴位于y 轴左侧，反之位于y 轴右侧）；c 是图像与y 轴交点的纵坐标，0c交 y 轴正半轴， 反之交 y 轴于负半轴，0c时图像过原点；abc是当1x对应的函数值；42abc是当2x对应的函数值。有时候也出现一些组合，需要大家灵活应用解答： 图象开口向下，能得到0a； 图像与 x 轴的两个交点分别为( 1,0),(3,0)因此对称轴1312x，则有12ba，即20ab； 当1x时，0yabc； 由图可知，当13x时，0y故选 C点评： 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用专项训练突破1.（ 2013 重庆南开模拟）甲、乙两人以相同路线前往距离学校10km 的培训中心参加学习.图中 l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程 S(km)随时间 t(分 )变化的函数图象.以下 说法错误的是（）A 乙比甲提前12 分钟到达；B 甲的平均速度为15 千米 /小时；C乙走了 8km 后遇到甲；D乙出发6 分钟后追上甲 . 解析： 该图像表示的是甲、乙两人前往目的地所走的路程S(km)随时间t(分 )变化的函数图象。由图像可知甲、乙走完全程所用的时间分别为40 分钟和 10 分钟，乙比甲晚出发18 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页学习好资料欢迎下载分钟，但是比甲提前12 分钟到达， A 选项正确；甲乙的平均速度分别为10=1523v甲千米 /小时 ，10=6016v乙千米 /小时 B 选项正确；乙走了8km 所用的时间为215t小时，甲走8km 所用的时间为815小时，2188+156015，因此 C 选项有误；甲乙图像的解析式分别为1=,=t-184st s乙甲，联立方程组解得t=24即乙出发6分钟后追上甲，D 选项正确2. （2013 重庆育才模拟）某厂的矩形蓄水池有A、B、C三种水管，已知A为进水管，BC和均为出水管，且流量为ABCVVV，在 02 分钟时，打开A、C两管，关闭B管。在 24 分钟时，打开A、B两管，关闭C管。在 46 分钟时，打开B、C两管，关闭A管。若矩形蓄水池在第0 分钟和第6 分钟时均没有水，则下面能大致表示蓄水池中水的高度h（米）与时间t（分）的函数关系图象是（）解析： 在 02 分钟时，打开A、C 两管，关闭B 管这一过程中，由于A 管流量大于C 管流量，因此蓄水池中水量逐渐增加；在24 分钟时，打开A、B 两管，关闭C 管, 于 A 管流量大于B 管流量，又B 管流量大于 C 管流量，相比较第一阶段，此时水池中水量增加较为缓慢；在46 分钟时，打开B、C 两管，关闭 A 管,此时水池中水量不断减少，而且减少的速度比较快，直到水池中没有水。由分析可知正确答案为A 3.(2013 重庆一中模拟 ) 如图反映的过程是：妈妈带小米从家去附近的动物园玩，他们先去鳄鱼馆看鳄鱼，又去熊猫馆看熊猫， 然后回家 . 如果鳄鱼馆和熊猫馆的距离为m千米，小米在熊猫馆比在鳄鱼馆多用了n分钟，则m、n的值分别为 ( ) A1，8B5 .0，12C1，12D5.0，8解析： 由图像家和鳄鱼馆相距1 千米，鳄鱼馆和熊猫馆相距0.5 千米；小米他们在鳄鱼馆呆了15 分钟，在熊猫馆呆了23 分钟，因此m=0.5 , n=8.正确答案为D 4.（2012 广州）如图，正比例函数1ykx和反比例函数22kyx的图象交于( 1,2),(1, 2)AB两点，若12yy，则 x 的取值范围是（）A. x1 或 x1 B. x1 或 0 x1 C.1x0 或 0 x1 D. 1x0 或 x1 解析： 若12yy，即正比例函数图像位于反比例函数图像下方，观察图象可知一次函数图象在反比例函4 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页学习好资料欢迎下载数图象下面时x 的取值范围为1x0 或 x1，可知答案为D。5. （2013 重庆八中模拟）函数1yax与21(0)yaxbxa的图象可能是（）解析： 本题考查函数图象与性质，因为1yax得图像和21(0)yaxbxa的图像都与y 轴交于同一点(0,1)排除A选项；当0a时，一次函数1yax图像过一、二、三象限，但此时抛物线21(0)yaxbxa开口应该向上， B 选项有误；D 选项中21(0)yaxbxa开口向上，可知0a，此时一次函数图像应该过一、二、三象限，与实际不符，D 选项也有误； C 选项符合实际情况，因此正确答案为 C 6. （2013 重庆巴蜀模拟）已知二次函数2yaxbxc 的图象如图所示，则一次函数ybxc和反比例函数ayx在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）ABCD解析： 由抛物线的图像可知知道0,0,02baca，因此可知0b。对于函数ybxc应该是过二、四象限的正比例函数；函数ayx的图像应该在二、四象限内。因此正确答案为C7.（2013 重庆南开模拟）已知二次函数20yaxbxca的图象如图，则下列结论中正确的是（）A、0abcB、240bacC、930abcD、80ca解析： 由图象开口向下知0a,又对称轴x=102bxa,所以0b，因为图象与y 轴的交点在y 轴正半轴， 所以0c，所以0abc，故 A 错.因为图象与x 轴有两个不同的交点，所以240bac，故 BABCD1111xo yyo xyo xxo y7题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页学习好资料欢迎下载错.由对称性知，函数图象过（3,0） ，所以930abc，故 C 错.因为12ba，930abc，消去b 得，3ca，所以850caa.故选 D. 8. (2013 重庆八中模拟) 如图，对称轴为直线l的抛物线cbxaxy2与坐标轴交于点A、C，且12OCOA. 则下列结论：当0 x时，y随x的增大而增大；0124ba；58b；02ba，其中正确的结论有（）A. 1 B. 2 C. 3 D.4 解析 :因为 OA=1 ，所以1c,由图象知： 当0 x时， y 随 x 的增大而增大，所以正确.由图象知，当2x时，0y，所以4 +20abc,所以4210ab，所以错误. 因 为21OC, 所 以C点 坐 标 为1(,0)2， 所 以11042abc， 所 以240abc， 所 以240ab，所以24ab，因为对称轴12bxa，0a所以20ab，所以正确将24ab代入20ab中得，580b，所以85b，所以正确. 故选 C 9.（2013 重庆巴蜀模拟）已知二次函数2yaxbxc的图象与x 轴交于点1( 2,0), (,0)x，且112x，与 y 轴正半轴的交点在(0，2)的下方，在原点的上方下列结论：420abc；20ab；21ab；20ac；ba其中正确结论的个数是( ) A2 B3 C4 D5 解析： 二次函数图像过点( 2,0)，所以420abc正确；图象与x 轴交于点1( 2,0),(,0)x，且112x，故对称轴1022ba，又0a所以0ab正确；由题意可知02c，由420abc可知42acb，所以422022accaba，正确；由因为2,022cabc，所以1202cab，正确；对于20ac， 因为420abc，因此242acabc，化简得0ab，又由可知0ab，因此错误。故选择C 21-2-121OCA21oyx8 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页学习好资料欢迎下载A B C P A B C P P第 3 课时几何运动型命题热点分析动点问题的函数图象，运动过程的分段函数及其自变量取值范围，运动过程中的面积问题与存在性问题（特别是等腰三角形、直角三角形及特殊平行四边形的存在性问题）是中考命题的热点也是难点。中考题型解析题型一动点问题的函数图象例 1. （2012 内江）如图，正三角形ABC 的边长为3cm，动点 P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿ABC 的方向运动，到达点C 时停止设运动时间为x（秒）， y PC2，则 y 关于 x 的函数的图象大致为（）ABCD考点： 动点问题的函数图象、分段函数。分析： 当点 P 在 AB 上，如下图所示，过点C 作 CPAB，可以发现点P 由 A 向 B 运动过程中， CP 长由大变小，直到与P重合时达到最小，然后再由小变大，整个过程需要3 秒，根据这一特征可知A，B 两选项错误当点P 在 BC 上，y(6x)2，即 y(x6)2，其图象是二次函数图象的一部分，可见D 选项也是错误的解答： C点评： 本题考查了分段函数的概念，同时也考查了二次函数模型以及数形结合的数学思想上面解法告诉我们根据形的运动特征发现对应图象的变化特征，彼此印证判断，可以避免陷入求解析式的繁琐求解过程中(2)（2013 重庆育才模拟）如图2，矩形 ABCD 中， P 为 CD 中点，点 Q 为 AB 上的动点（不与A，B 重合） 过 Q 作 QMPA于 M，QNPB 于 N设 AQ 的长度为x，QM 与 QN 的长度和为y则能表示 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（）ABCD2 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页学习好资料欢迎下载考点： 动点问题的函数图象分析： 因为 P 为 CD 中点，所以PC=PD，很容易知道ADP BCP，所以 AP=BP.连接 PQ，则12APQBPQABPABCDSSSS，所以1122ABCDAP yS.因为 AQ 的长度为x，因此无论AQ 如何变化QM 与 QN 的长度和为y 都是一个定值，不会随着x 的变化而变化。所以选择D 解答： D 点评： 本题把实际问题用函数图像表示，我们需要寻找变量之间的关系，进而来列出函数解析式，来看看符合我们平时学过的哪种函数解析式。同时也涉及到了三角形的全等及三角形面积的分割，在这个过程中需要我们利用数形结合的思想去分析问题解决问题。题型二运动过程中的面积问题与存在性问题例 2. (2013 重庆北碚区模拟) 如图 1，在Rt AOB中，90AOB，4 3,30AOABO动点 P在线段 AB上从点 A向终点 B以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t 秒在直线OB 上取两点M 、N作等边 PMN （1）求当等边 PMN的顶点 M运动到与点O重合时 t 的值；（2）求等边 PMN的边长（用t 的代数式表示） ；（3）如果取 OB的中点 D，以 OD为边在 RtAOB 内部作如图2 所示的矩形ODCE ，点 C在线段 AB上设等边PMN和矩形 ODCE 重叠部分的面积为S， 求出当 0t 2 秒时 S与 t 的函数关系式， 并求出 S的最大值（4）在（ 3）中，设 PN与 EC的交点为R，是否存在点R，使 ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题；三角形的面积；等边三角形的性质；含30 度角的直角三角形；相似三角形的判定与性质分析：（1）利用直角三角形中30所对的边是斜边的一半即可求出AP，进而求出t 的值；（2）利用 BPH BAO ，得出 PH的长，再利用解直角三角形求出PN的长；（3）根据当0t 1 时以及当 t=1 时和当 t=2 时，分别求出S的值；（4）根据当D为顶点，16ODOR时，当2R为顶点，22ORDR时，当O为等腰的顶点时，分别得出即可解答：（1）PMN是等边三角形，11160PM N；在Rt AOB中，90 ,30AOBABO，190APO，在1Rt APO中，112 32APAO，2 33t，即2t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页学习好资料欢迎下载（2） BPH BAO，8 334 38 3PHt， 8 332tPH，cos30PHPN，8 3328cos3032tPHPNt；（3）当01t时，作 GH OB于 H，GNH=60 ，2 3GH，2HN，8PNNBt，ON=OBNB ，12(8)4ONOBNBtt， 422OHtt，11(24)2 32 36 32Sttt，2 30，S 随 t 增大而增大，当t=1 时， S最大 =8 3；当 1t 2 时，2IFONGSS五边形，作 GH OB于 H，22 3APt，2 3AF，4 32 3OFt，2 3(432 3 )2 3(1)EFtt，22EIt，2212 36 3(22)(232 3)2 36 34 32EFIEONGSSSttttt梯形，2 30，当322bta时21732S最大；当 t=2 时，6MPMN，N与 D重合，3333648 344IMNGSS梯形；22 36 3,(01)2 36 34 3,(12)8 3,(2)ttStttt，1732S最大。（4） ODR是等腰三角形，当 D为顶点，16ODOR时，162 22OR（不合题意舍去） ，此时不存在1R，使 ODR 是等腰三角形，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页学习好资料欢迎下载当2R为顶点，22ORDR时，22223,3 3ERP RPC，24 33 33AP，2313t；当O为等腰的顶点时，3362 662 6,326 3622CRCP，234 3(6 36 2)6 22 3ERAP，36 22 32 623t点评： 此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的性质等知识，（3） （4）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏专项训练突破1.（2013 重庆八中模拟）如图，矩形纸片ABCD 中， BC=4 ，AB=3 ，点 P是 BC边上的动点（点P不与点 B、C重合） 现将 PCD沿 PD翻折，得到 PC D ；作 BPC 的角平分线，交AB于点 E设 BP=x ，BE=y，则下列图象中，能表示y 与 x 的函数关系的图象大致是（）解析 ：解：连接DE， PCD 沿 PD 翻折，得到 PCD，故有 DP 平分 CPC；PE 为 BPC的角平分线，可推知EPD=90，已知 BP=x，BE=y ，BC=4 ，AB=3 ，即在 RtPCD 中， PC=4-x，DC=3即 PD2=（4- x）2+9；在 RtEBP 中， BP=y，BE=x，故PE2=x2+y2；在 RtADE 中， AE=3-y ，AD=4 ，故 DE2=（3-y）2+16 在 RtPDE 中，DE2=PD2+PE2即x2+y2+（4-x）2+9=（3-y）2+16化简得：21433yxx结合题意，只有选项A 符合题意故选A根据题意，连接DE，因为 PCD 沿 PD 翻折，得到PCD，故有 DP 平分 CPC；又 PE 为 BPC的角平分线，可推知EPD=90，又因为BP=x，BE=y ，BC=4，AB=3 ，分别用x 和 y 表示出 PD 和 EP和 DE，在 RtPED 中利用勾股定理，即可得出一个关于x 和 y 的关系式，化简即可2.(2013 重庆南开模拟)如图，等边ABC的边AB与正方形DEFG 的边长均为2，且 AB与 DE在同一条直线上，开始时点B与点 D重合，让ABC沿这条直线向右平移，直到点B与点 E重合为止，设BD的长为 x，ABC与正方形DEFG 重叠部分（图中阴影部分）的面积为y，第 2 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页学习好资料欢迎下载则 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（）解析 :此题可分为两段求解，即B 从 D 点运动到DE 的中点和 B 从 DE 的中点运动到E 点，列出面积随动点变化的函数关系式即可设 BD 的长为 x， ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y，当 B 从 D 点运动到DE 的中点时，即0 x1 时， y=12x3x=32x2当 A 从 D 点运动到 E 点时，即 1x2 时， y=3-12（ 2-x）3（2-x）=-32x2+23x-3由函数关系式可看出D 中的函数图象与所求的分段函数对应故选D3.（2013 重庆一中模拟） 已知矩形纸片ABCD 中，6,2 3ABBC，将该矩形纸片沿对角线AC 剪开，得到两张三角形纸片（如图1） ，再将这两张三角形纸片摆成如图2 的形状，使得点B、C、F、D 在同一直线上，且点C 与点 F 重合此时将ABC 以每秒 1 个单位长度的速度沿直线BD 向左平移，直至点B 与点 D 重合时停止运动设ABC 运动的时间为t，（1）当 t 为何值时，点E 落在线段AC 上？（2）设在平移的过程中ABC 与 DEF 重叠部分的面积为S，请直接写出S 与 t 之间的函数关系式，并写出相对应t 的取值范围；（3）当点 B 与点 D 重合时如图3，将 ABC 绕点 B 旋转得到 A1BC1，直线 EF 分别与直线A1B、直线A1C1交于点 M、N，是否存在这样的点M、N，使得 A1MN 为等腰三角形？若存在，请求出此时线段EM的长度；若不存在，请说明理由解： （1）由题意知， RtABC 与 RtDEF中， CAB= DFE=30 当点 E落在 AC上时，6,2 3,CDtDEDCE=60 3CDDE，即3(6)2 3t，8tABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页学习好资料欢迎下载（2）22223(02 3)8322 3(236)24133(6 32)20 3(68)24324 3(862 3)6tttttStttttt（3）存在这样的点M 、N，理由如下：如下图，由题意得1A MN FMB ，即当1A MN 为等腰三角形时，FMB也为等腰三角形当11AMAN时，即 FB=FM=6 ，若点 M在线段 EF上时， EM=4 36；若点 M在线段 EF的延长线上时，EM= 4 3 6当1MAMN时，即MB=MF ，则点 M在线段 BF的中垂线上，过M作 MT BF于点 T，则 BT=FT=3 ，MT=3,MF=2 3, EM=EF -MF=4 32 32 3 当1NANM时，即 BM=BF=6 ，此时点 M 在线段 FE的延长线上，BMF= BFM=30 ，可得MF=6 3，则 EM=MF-EF=634 32 3综上所述，存在这样的点M 、N，使得 A1MN为等腰三角形，此时线段EM的长度为436或 2 3 . 4. (2013 重庆南开模拟)如图，在 RtACB中，90ACB，3AC，6BC，D为BC上一点，射线DGBC交AB于点G，2CD点P从点A出发以每秒5 个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点D出发以每秒2 个单位长度的速度沿射线DG运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时停止运动，点Q也随之停止过点P作PEAC于点E，PFBC于点F，得到矩形PECF，点M为点D关于点Q的对称点，以QM为直角边，在射线DG的右侧作RtQMN，使2QNQM设运动时间为t（单位：秒） （1）当QNPF时，求t的值（2）连接PN、ND、PD，是否存在这样的t