2022年中考数学专题复习三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形 .pdf

一. 教学内容：复习八三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形二. 教学目标：（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。（3）培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力三. 教学重点、难点：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。难点是综合应用这些知识解决问题的能力。四. 课堂教学（一）知识要点知识点 1 三角形的边、角关系三角形任何两边之和大于第三边；三角形任何两边之差小于第三边；三角形三个内角的和等于180；三角形三个外角的和等于360；三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。知识点 2 三角形的主要线段和外心、内心三角形的角平分线、中线、高；三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。知识点 3等腰三角形等腰三角形的识别：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；三边相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；等边三角形的三个内角都等于60。知识点 4直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页直角三角形的识别：有一个角等于90的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。知识点 5全等三角形定义、判定、性质知识点 6 相似三角形三条对应边的比相等两个对应角相等夹角相等两对应边的比相等判定方法定义相似三角形,相似比平方面积比等于相似比周长比对应高的比对应边的比相似三角形的性质知识点 7 锐角三角函数与解直角三角形方位角坡度视角常用术语直角三角形转化问题【典型例题】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页例 1. （1）已知：等腰三角形的一边长为12，另一边长为5，求第三边长。（2）已知：等腰三角形中一内角为80，求这个三角形的另外两个内角的度数。分析： 利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得。解： （1）分两种情况：若腰长为12，底边长为5，则第三边长为12。若腰长为5，底边长为 12，则第三边长为5。但此时两边之和小于第三边，故不合题意。因此第三边长为12。（2）分两种情况：若顶角为80，则另两个内角均为底角分别是50、 50。若底角为80，则另两个内角分别是80、 20。因此这个三角形的另外两个内角分别是50、 50或 80、 20。说明： 此题运用“分类讨论”的数学思想，本题着重考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系。例 2. 已知：如图，ABC 和 ECD 都是等腰三角形，ACB DCE90， D 为 AB 边上的一点，求证： （1） ACE BCD，（2） AD2AE2DE2。EDCBA分析：要证 ACE BCD，已具备 ACBC， CECD 两个条件， 还需 AEBD 或 ACE BCD，而 ACE BCD 显然能证 ;要证 AD2AE2DE2，需条件 DAE 90，因为BAC45，所以只需证CAE B45，由 ACE BCD 能得证。证明：（1） DCE ACB90， DCE ACD ACB ACD ，即 ACE BCD， ACBC， CECD， ACE BCD。（2） ACE BCD ， CAE B45， BAC B 45， DAE90，AD2AE2DE2。例 3. 已知：点P 是等边 ABC 内的一点，BPC150， PB2，PC3，求 PA 的长。APBDC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页分析： 将 BAP 绕点 B 顺时针方向旋转60至 BCD，即可证得 BPD 为等边三角形，PCD 为直角三角形。解： BCBA，将 BAP 绕点 B 顺时针方向旋转60，使 BA 与 BC 重合，得 BCD ，连结 PD。BDBP2，PADC。 BPD 是等边三角形。 BPD60。 DPC BPC BPD 150 60 90。DC22222313PDPCPADC13。【变式】 若已知点 P 是等边 ABC 内的一点， PA13，PB2，PC3。能求出 BPC的度数吗？请试一试。例 4. 如图，P 是等边三角形ABC 内的一点， 连结 PA、 PB、 PC， ?以 BP 为边作 PBQ60，且 BQBP，连结 CQ（1）观察并猜想AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论（2）若 PA：PB：PC3： 4：5，连结 PQ，试判断 PQC 的形状，并说明理由解： （1）把 ABP 绕点 B 顺时针旋转60即可得到 CBQ?利用等边三角形的性质证ABP CBQ ，得到 APCQ（2）连接 PQ，则 PBQ 是等边三角形PQPB，APCQ 故 CQ： PQ：PCPA：PB：PC3： 4：5， PQC 是直角三角形点评： 利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明例 5. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BCEF） ，左边滑梯的高度AC ?与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则 ABC DFE_分析：ABC 与 DFE 分布在两个直角三角形中，?若说明这两个直角三角形全等则问题便会迎刃而解解答： 在 RtABC 和 RtDEF 中， BCEF，ACDF， ABC DEF，? ABC ?DEF ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页 ABC DFE90，因此填90点评：此例主要依据用所探索的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等，并运用与它相关的性质进行解题例 6. 中华人民共和国道路交通管理条例规定： “小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 70 千米 /时” ?一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25 米处有“车速检测仪O” ，?测得该车从北偏西60的 A 点行驶到北偏西30的 B 点，所用时间为 1.5 秒（1）试求该车从A 点到 B 的平均速度； （2）试说明该车是否超过限速解析：（1）要求该车从A 点到 B 点的速度只需求出AB 的距离，在 OAC ?中， OC25 米 OAC 90 60 30， OA 2CO50 米由勾股定理得CA 22225025OAOC253（米）在 OBC 中， BOC30BC12OB。（ 2BC）2BC2252 BC2533（米）AB AC BC25325335033（米）从 A 到 B 的速度为50331.510093（米 /秒）（2）10093米/秒 69.3 千米 /时69.3 千米 /时0） 。 ACB 90o，CDAB。 CD2AD?BD，622k?3k， k6。 AB65。又 AC2AD?AB， AC152。例 11. 已知 ABC 中， ACB90o， CH AB，HEBC，HF AC。求证： （1） HEF EHC； （2） HEF HBC 。分析： 从已知条件中可以获得四边形CEHF 是矩形，要证明三角形全等要收集到三个条精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页件，有公共边EH，根据矩形的性质可知EFCH，HF EC。要证明三角形相似，从条件中得FHE CHB90o，由全等三角形可知，HEFHCB，这样就可以证明两个三角形相似。证明： HEBC，HF AC， CEHCFH90o。又 ACB90o，四边形CEHF 是矩形。EFCH，HF EC， FHE 90o。又 HEEH， HFE EHC。 HEF HCB。 FHE CHB90o， HEF HBC。说明： 在这一题的分析过程中，走“两头凑”比较快捷，从已知出发，发现有用的信息，从结论出发，寻找解决问题需要的条件。解题中还要注意上下两小题的“台阶”关系。培养学生良好的思维习惯。例 12. 两个全等的含30o，60o角的三角板ADE 和 ABC 如图所示放置，E，A，C 三点在一条直线上，连接BD，取 BD 的中点 M，连结 ME，MC。试判断 EMC 是什么样的三角形，并说明理由。C E A D M B 分析： 判断一个三角形的形状，可以结合所给出的图形作出假设，或许是等腰三角形。这样就可以转化为另一个问题：尝试去证明EMMC，要证线段相等可以寻找全等三角形来解决， 然而图中没有形状大小一样的两个三角形。这时思考的问题就可以转化为这样一个新问题：如何构造一对全等三角形？根据已知点M 是直角三角形斜边的中点，产生联想：直角三角形斜边上的中点是斜边的一半，得：MD MBMA。连结 M A 后，可以证明MDE MAC。答： EMC 是等腰直角三角形。证明： 连接 AM，由题意得，DEAC，ADAB， DAE BAC 90o。 DAB90o。 DAB 为等腰直角三角形。又 MDMB，MAMD MB，AM DB， MAD M AB45o。 MDE MAC 105o， DMA 90o。 MDE MAC 。 DME AMC ，MEMC。又 DME EMA 90o， AMC EMA 90o。MCEM。 EMC 是等腰直角三角形。说明：构造全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进行的呢？对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径。构造过程中要不断地转化问题或转化精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页思维的角度。会转化，善于转化，更能体现思维的灵活性。在问题中创设以三角板为情境也是考题的一个热点。【模拟试题】（答题时间： 40分钟）1. 如图， ABC 中， D、E 分别是 AC、AB 上的点， BD 与 CE 交于点 O，?给出下列三个条件： EBO DCO； BEO CDO； BECD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（ 1）小题中的一种情况，证明ABC 是等腰三角形2. （1）已知如图，在AOB 和 COD 中，OA OB，OCOD，AOB COD 60o。求证： ACBD， APB60o。（2）如图，在 AOB 和 COD 中，OAOB，OCOD，AOB COD，则 AC与 BD 间的等量关系式为_； APB 的大小为 _。（3）如图，在AOB 和 COD 中， OAkOB，OCkOD（ k1） ， AOB COD，则 AC 与 BD 间的等量关系式为_； APB 的大小为 _。B A C D O P A C B O P D ACBPO D 3. 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为 1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形，请两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1） ，乙设计的方案如图（2） 。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。（加工损耗忽略，计算结果可保留分数）C A (1)B D E F(2)CBADE G F H P 4. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm3.5cm，放映的荧屏的规格精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页为 2m2m，若放映机的光源距胶片20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？5. 如图，已知MON 90o，等边三角形ABC 的一个顶点A 是射线 OM 上的一定点，顶点B 与点 O 重合，顶点C 在 MON 内部。（1）当顶点 B 在射线 ON 上移动到B1时，连结AB1为一边的等边三角形AB1C1（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2） 设 AB1与 OC 交于点 Q， AC 的延长线与B1C1交于点 D。 求证：AQABADAC1；（3）连结 CC1，试猜想 ACC1为多少度？并证明你的猜想。6. 如图所示，设 A 城气象台测得台风中心在A?城正西方向600km 的 B处， 正以每小时 200km的速度沿北偏东60的 BF 方向移动，距台风中心500km?的范围是受台风影响的区域（1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若 A 城受到这次台风的影响，那么A 城遭受这次台风的影响有多长时间？7. （1）如图，在 RtABC 中， C90，AD 是 BAC 的角平分线， CAB 60，?CD3，BD 23，求 AC， AB 的长（2） “实验中学”有一块三角形状的花园ABC ，?有人已经测出A30， AC 40 米，BC25 米，你能求出这块花园的面积吗？（3）某片绿地形状如图所示，其中AB BC，CDAD， A60， AB 200m， CD100m， ?求 AD、BC 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页8. 高为 12 米的教学楼ED 前有一棵大树AB ，如图所示（1）某一时刻测得大树AB ，教学楼ED 在阳光下的投影长分别是BC2.5 米， DF7.5米，求大树AB 的高度；（2）现有皮尺和高为h 米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB 高度的方案，要求：在图中，画出你设计的图形（长度用字母m，n表示，角度用希腊字母，表示） ；根据你所画出的示意图和标注的数据，求出大树的高度并用字母表示9. 如图所示，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，?该居民楼的一楼是高6 米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15?米处要盖一栋高20 米的新楼当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32时（1）问超市以上的居民住房采光是否受影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼至少应相距多少米？（?结果保留整数，?参考数据：sin3253100，cos32 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页【试题答案】1. 解： （1）或（2）已知求证ABC 是等腰三角形证：先证 EBO DCO得 OBOC，得 DBC ECB ABC ACB 即 ABC 是等腰三角形2. 证明： AOB 和 COD 为正三角形，OAOB，ODOC， AOB 60o， COD60o。 AOB BOC COD BOC， AOC BOD 。 AOC BOD ， ACBD。 OAC OBD ， APB AOB60o。（2）AC 与 BD 间的等量关系式为ACBD； APB 的大小为 。（3）AC 与 BD 间的等量关系式为ACkBD； APB 的大小为180o 。3. 解：方案（ 1） ：有题意可知，DEBA，得 CDE CBA。.76,225.1xxx；方案（ 2） ：作 BH AC 于 H。DEAC，得 BDE BAC。3730,2 .12.15.2xxx。,373076图（ 1）加工出的正方形面积大。综上所得，甲同学设计的方案较好。4. 解：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答 ：807m 5. 解： （1）如图所示；证明： （2） AOC 与 AB1C1是等边三角形， ACB AB1D 60o。又 CAQ B1AD， ACQ AB1D；.,11ABAQADACADAQABAC即（3）猜想 ACC190o。证明： AOC 和 AB1C1为正三角形， AOAC，AB1AC1， OAC C1AB1， OAC CAQ C1AB1 CAQ， OAB1 CAC1。 AO B1 AC C1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页 ACC1 AOB190o。6. （1）作 AM BF 可计算 AM ?300km500km ，故 A 城受影响（2）受影响时间为42002400小时7. 解： （1）AC 3，AB 6 （2）能，分两种情况，SABC2003150 和 SABC2003150 30DCBA30DCBA（3）延长 BC，AD 交于 E，AD 4001003，BC2003 2008. 解：连结AC ，EF，（1）太阳光线是平行的，AC EF， ACB EFD， ABC ?EDF 90， ABC EDF，2.5,127.5ABBCABEDDF，AB 4 米（2）如图所示：AB （ mtanh）米9. 解： （1）?超市以上居民住房采光受影响，由计算知新楼在居民楼上的投影高约11 米，故受影响精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页（2）?若要使超市采光不受影响，两楼至少相距：20tan32 208532（米）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页