2022年二次函数的图像和性质教案 .pdf

学习好资料欢迎下载二次函数的图像和性质适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域通用课时时长（分钟）60 知识点二次函数的定义；二次函数的图像；二次函数的性质。教学目标1. 理解二次函数的有关概念2.会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质教学重点会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题教学难点熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 33 页学习好资料欢迎下载教学过程一、 课堂导入同学首先在演算本上画出一次函数y=x+1 的图像，利用列表、描点、连线的方式，然后使用同样的方法画出y2x2的图像，并根据图像谈论他的性质. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 33 页学习好资料欢迎下载二、复习预习二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 33 页学习好资料欢迎下载三、知识讲解考点 1 形如： yax2bx c（a、b、c 是常数， a 0）那么 y 叫做 x 的二次函数，它常用的三种基本形式。一般式： yax2bx c（a0）顶点式： ya（xh）2k（a 0）交点式： ya（xx1） （xx2） （ a 0，x1、x2是图象与 x 轴交点的横坐标）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 33 页学习好资料欢迎下载考点 2 二次函数的图象与性质二次函数 yax2bxc（a 0）的图象是以（abacab44,22）为顶点，以直线yab2为对称轴的抛物线。在 a0 时， 抛物线开口向上， 在对称轴的左侧，即 xab2时， y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧， 即当 xab2时，y 随着 x 的增大而增大。在 a0 时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，即xab2时，y 随着 x 的增大而增大。在对称轴的右侧，即当xab2时，y 随着 x 的增大而减小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 33 页学习好资料欢迎下载考点 3 二次函数取得最值点当 a0，在 xab2时，y 有最小值， y最小值abac442，当 a0，在 xab2时， y 有最大值， y最大值abac442。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 33 页学习好资料欢迎下载四、例题精析考点一二次函数的图象及性质例 1 (1)二次函数 y3x26x5 的图象的顶点坐标是 ( )A(1,8) B(1,8) C(1,2) D(1，4) (2)已知抛物线 yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且经过点 (1，y1)，(2，y2)，试比较 y1和 y2的大小：y1_ y2.(填“”“”或“”)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 33 页学习好资料欢迎下载【规范解答】 (1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求b2a6231，4acb24a43 5 62438，二次函数 y3x26x5 的图象的顶点坐标是 (1,8)故选 A. (2)点(1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可设抛物线经过点(0，y3)，抛物线对称轴为直线 x1，点(0，y3)与点(2，y2)关于直线 x1 对称y3y2. a0，当x1 时，y 随 x 的增大而减小 y1y3. y1y2. 答案： (1)A (2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 33 页学习好资料欢迎下载考点二利用二次函数图象判断a，b，c 的符号例 2 】如图，是二次函数 yax2bxc(a 0) 的图象的一部分，给出下列命题：abc0；b2a；ax2bxc0 的两根分别为 3 和 1；a2bc0.其中正确的命题是 _(只要求填写正确命题的序号) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 33 页学习好资料欢迎下载【规范解答】：由图象可知过 (1,0)，代入得到 abc0；根据b2a1，推出 b2a；根据图象关于对称轴对称，得出与 x 轴的交点是 (3,0)，(1,0) ；由 a2bca2bab3b0，根据结论判断即可答案： 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 33 页学习好资料欢迎下载考点三 二次函数图象的平移例 3 二次函数 y2x24x1 的图象怎样平移得到y2x2的图象 ( ) A向左平移 1 个单位，再向上平移3 个单位B向右平移 1 个单位，再向上平移3 个单位C向左平移 1 个单位，再向下平移3 个单位D向右平移 1 个单位，再向下平移3 个单位精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 33 页学习好资料欢迎下载【规范解答】 首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y2x24x12(x1)23，将该函数图象向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位就得到 y2x2的图象答案： C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 33 页学习好资料欢迎下载考点四 确定二次函数的解析式例 4 如图，四边形 ABCD 是菱形，点 D 的坐标是 (0，3)，以点 C 为顶点的抛物线yax2bxc 恰好经过 x 轴上 A，B 两点(1)求 A，B，C 三点的坐标；(2)求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 33 页学习好资料欢迎下载【规范解答】 (1)由抛物线的对称性可知AEBE. AOD BEC. OAEBEA. 设菱形的边长为2m ，在 Rt AOD 中，m2(3)2(2m)2，解得 m1. DC2，OA1，OB3. A，B，C 三点的坐标分别为 (1,0) ，(3,0)，(2，3)(2)设抛物线的解析式为ya(x2)23，代入 A 的坐标 (1,0)，得 a3. 抛物线的解析式为 y3(x2)23. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 33 页学习好资料欢迎下载五、课堂运用【基础】1、已知二次函数 y12x2x4. (1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；(2)当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值时， y 随 x 的增大而减小？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 33 页学习好资料欢迎下载【规范解答】 由题意可设函数关系式为ya(x1)25，图象过点(0，3)， a(01)253，解得 a8. y8(x1)25，即 y8x216x3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 33 页学习好资料欢迎下载2、如图 J22-2-2 ，直线 yxm 和抛物线 yx2bxc 都经过点 A(1,0) ，B(3,2)(1)求 m 的值和抛物线的关系式；(2)求不等式 x2bxcxm 的解集 (直接写出答案 )图 J22-2-2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 33 页学习好资料欢迎下载【规范解答】 (1)直线yxm 经过点 A(1,0) ， 01m . m1. 即m的值为 1. 抛物线 yx2bxc 经过点 A(1,0)，B(3,2)，01bc，293bc，解得b3，c2.二次函数的关系式为 yx23x2. (2)x|x3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 33 页学习好资料欢迎下载3、杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体 (看成一个点 )的路线是抛物线 y35x23x1 的一部分，如图 J22-3-2.(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高 BC3.4 米，在一次表演中， 人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米，问这次表演是否成功？说明理由图 J22-3-2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 33 页学习好资料欢迎下载【规范解答 】(1)y35x23x1 35x522194. 故函数的最大值是194，演员弹跳离地面的最大高度是194米(2)当 x4 时，y3542 3 4 13.4BC. 这次表演成功精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 33 页学习好资料欢迎下载4、已知一次函数与反比例函数的图象交于点和（1）求反比例函数的关系式；（2）求点的坐标；（3）在同一直角坐标系中画出这两个函数图象的示意图，并观察图象回答：当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？( 21)P，(1)Qm，QxP O Q x y 1 2 2 1 - 1 - 2 - 2 - 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 33 页学习好资料欢迎下载【规范解答】（1）设反比例函数关系式为，反比例函数图象经过点反比例函数关第式（2）点在上， （3）示意图kyx( 21)P，2k2yx(1)Qm，2yx2m(12)Q ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 33 页学习好资料欢迎下载【巩固】1、 已知：抛物线经过点（1）求的值；（2）若，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且，求这条抛物线所对应的二次函数关系式（提示：请画示意图思考）2(1)yxbxc( 12 )Pb，bc3b3bPPAyyAB2BPPA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 33 页学习好资料欢迎下载【规范解答】 1）依题意得：，（2）当时，抛物线的顶点坐标是（3）当时，抛物线对称轴，对称轴在点的左侧因为抛物线是轴对称图形，且又，抛物线所对应的二次函数关系式2( 1)(1)( 1)2bcb2bc3b5c2225(1)6yxxx( 16)，3b112bxP( 12 )Pb，2BPPA( 32 )Bb，122b5b2bc7c247yxxy x O B P A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 33 页学习好资料欢迎下载2、已知抛物线cbxaxy2与 y 轴交于点 A（0，3） ，与 x 轴分别交于 B（1，0） 、C（5，0）两点 . （1）求此抛物线的解析式；（2）若点 D 为线段 OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；（3）若一个动点 P 自 OA 的中点 M 出发，先到达 x 轴上的某点（设为点E） ，再到达势力的线的对称轴上某点（设为点 F） ，最后运动到点 A.求使点运动的总路径最短的点E、点 F 的坐标，并求出这个最短总路径的长. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 33 页学习好资料欢迎下载【规范解答】 解： （1）抛物线的解析式为3518532xxy； （2）线段 OA 的三等分点为 D（0，1）或（ 0，2） ； （3）直线 DC 的解析式为151xy或252xy； （3）点 M（0，23）关于 x 轴对称的点 M （0，23） ，点 A（0，3）关于抛物线的对称轴x3 对称的点为 A （6，3） ，连结 M A ，则 M A 215.根据轴对称性及两点之间线段最短可知，M A的长就是所求点 P 运动的基本最短总路径的长.直线 M A的解析式为2343xy，点 x 轴交于点 E （2，0） ，与抛物线的对称轴交于点F（3，43）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 33 页学习好资料欢迎下载【拔高】1、一次函数 yx3 的图象与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B一个二次函数 yx2bxc 的图象经过点 A，B（1）求点 A，B 的坐标，并画出一次函数yx3 的图象；（2）求二次函数的解析式及它的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 33 页学习好资料欢迎下载【规范解答】（1）令，得，点的坐标是 1 分令，得，点的坐标是（2）二次函数的图象经过点，解得：二次函数的解析式是，函数的最小值为0y3xA(3 0)，0 x3yB(03)，2yxbxcAB，0933bcc23bc2yxbxc223yxx2223(1)4yxxx223yxx4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 33 页学习好资料欢迎下载2、已知关于 x 的一元二次方程 2x2+4x+k-1=0有实数根， k 为正整数 . （1）求 k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数 y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8 个单位，求平移后的图象的解析式；(3) 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。请你结合这个新的图像回答：当直线y=21x+b (bk)与此图象有两个公共点时，b 的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 33 页学习好资料欢迎下载【规范解答】 (1)由题意得， 168(k 1) 0 k 3k 为正整数，k1，2，3(2)当 k1 时，方程 2x24xk10 有一个根为零；当 k2 时，方程 2x24xk10 无整数根；当 k3 时，方程 2x24xk10 有两个非零的整数根综上所述， k1 和 k2 不合题意，舍去； k3 符合题意当 k3 时， 二次函数为 y2x24x2， 把它的图象向下平移8 个单位长度得到的图象的解析式为y2x24x6(3)设二次函数 y2x24x6 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，则 A(3，0)，B(1，0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 33 页学习好资料欢迎下载依题意翻折后的图象如图所示当直线bxy21经过 A 点时，可得23b；7 分当直线bxy21经过 B 点时，可得21b8 分由图象可知，符合题意的b(b 3)的取值范围为2321b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 33 页学习好资料欢迎下载课程小结1、二次函数的图象及性质二次函数 yax2bxc(a，b，c 为常数， a 0)图象(a0)(a0) 开口方向开口向上开口向下对称轴直线 xb2a直线 xb2a顶点坐标b2a，4acb24ab2a，4acb24a增减性当 xb2a时，y随 x 的增大而减当 xb2a时，y随 x 的增大而增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 33 页学习好资料欢迎下载小； 当 xb2a时，y 随 x 的增大而增大大；当 xb2a时，y 随 x 的增大而减小最值当 xb2a时，y有最_ 小_值4acb24a当 xb2a时，y有最_ 大_值4acb24a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 33 页