2022年九年级数学弧长和扇形面积公式圆锥的侧面积和全面积人教实验版 .pdf

初三数学弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积人教实验版【本讲教育信息 】一. 教学内容：弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积教学目的1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。教学重点和难点：教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系教学过程1. 圆周长：r2C圆面积：2rS2. 圆的面积C 与半径 R 之间存在关系R2C，即 360的圆心角所对的弧长，因此，1的圆心角所对的弧长就是360R2。n的圆心角所对的弧长是180Rn1 8 0RnlP120 *这里的 180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。4. 在半径是R 的圆中，因为360的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2RS，所以圆心角为 n的扇形面积是：R213 60RnS2l扇形（n 也是 1的倍数，无单位）5. 圆锥的概念观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。如图，从点S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心O，垂线段SO 的长叫做圆锥的高，点S叫做圆锥的顶点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形SOA 绕直线 SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO 叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1、SA2、都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P1226. 圆锥的性质由图可得（1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心；（2）圆锥的母线长都相等7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。圆锥侧面积是扇形面积。如果设扇形的半径为l，弧长为 c，圆心角为n（如图），则它们之间有如下关系：180ncl同时，如果设圆锥底面半径为r，周长为c，侧面母线长为l，那么它的侧面积是：llrc21S圆 侧 面圆锥的全面积为：2rrl圆柱侧面积：rh2。例：在中，120的圆心角所对的弧长为cm80，那么 O 的半径为 _cm。答案： 120 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页解： 由弧长公式：180Rnl得：cm12012080180n180Rl例：若扇形的圆心角为120，弧长为cm10，则扇形半径为_，扇形面积为_。答案： 15；25例：如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2 倍，这个扇形的中心角为 _。答案： 90例：已知扇形的周长为28cm，面积为49cm2，则它的半径为_cm。答案： 7 例：两个同心圆被两条半径截得的10AB，6CD，又 AC=12 ，求阴影部分面积。解： 设 OC=r ，则 OA=r+12 ， O=n10180)12r (nABl6180rnCDl18r60nOC=18，OA=OC+AC=30 C O DA O BSSS扇扇阴OC21OA21CDABll1862130102196例：如图，已知正方形的边长为a，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。解： 正方形边长为a 2aS正，222a81)2a(21R21S半圆两 个 空 白 处半圆正方形SS2S精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页2222a41aa812aS两个空白处222a21a2S2S个空白四个空白处22222aa21)a21a2(aSSS四个空白处正阴叶的总面积为22aa21*也可看作四个半圆面积减去正方形面积2222aa21a)2a(214SS4S正半阴例：已知AB、CD 为 O 的两条弦，如果AB=8 ，CD=6，AB的度数与CD的度数的和为180，那么圆中的阴影部分的总面积为？解： 将弓形 CD 旋转至 B，使 D、 B 重合如图， C 点处于 E 点A B E的度数为180AE 是 O 的直径 ABE=90 又 AB=8 ，BE=CD=6 由勾股定理1068AE22半径51021OA242256821521SSS2ABE半圆阴例：在 AOB 中， O=90， OA=OB=4cm ，以 O 为圆心， OA 为半径画AB，以 AB 为直径作半圆，求阴影部分的面积。解： OA=4cm ， O=90精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页cm4360490S2AOB扇形cm24AB)cm(8S2AOB，)cm(42)22(S22半圆)cm)(84(SSS2AOBAOBAmB扇形弓形则阴影部分的面积为：)cm(8)84(4SSS2AmB弓形半圆阴影例：、m是边长均大于2 的三角形，四边形、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1 为半径画弧与两邻边相交，得到3 条弧， 4 条弧，（1）图中3 条弧的弧长的和为_ 图中 4 条弧的弧长的和为_ （2）求图m中 n 条弧的弧长的和（用n 表示）解： （1）， 2（2）解法 1：n 边形内角和为： （n2） 180前 n 条弧的弧长的和为：)2n(21360180)2n(个以某定点为圆心，以1 为半径的圆周长n 条弧的弧长的和为：)2n()2n(2112解法 2：设各个扇形的圆心角依次为n21,则180)2n(n21n 条弧长的和为：11 8 011 8011 8 0n21)2n(1 8 0)2n(1 80)(1 80n21例：如图，在RtABC 中，已知 BCA=90 ， BAC=30 ， AC=6m ，把 ABC 以点 B为中心逆时针旋转，使点C 旋转到 AB 边的延长线上的点C处，那么AC 边扫过的图形（阴影部分）的面积为？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页分析： 在 RtACB 中， C=90， BAC=30 ， AB=6 60CBA, 3AB21BC33BCABAC22法一：23933321CABC21SBCA123606120360rnS22BAA扇336 0312 0S2BCC扇形9SSSSSA C BBCCBCABAA扇扇阴影法二：以 B 为圆心， BC 为半径画弧交 AB 于 D，AB 于 D有ACBBCASS，CBDBDCSS扇扇931236031203606120SSS22BDDABA扇扇阴例：如图，已知RtABC 的斜边AB=13cm ，一条直角边AC=5cm ，以直线AC 为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB 为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页解：)cm(12513BC22以直线 AC 为轴旋转一周所得的圆锥如图所示，它的表面积为：)cm(300131212SSS22侧底表以直线 AB 为轴旋转一周，所得到的图形如图所示。1252113CD211360CDACCDBCCDSSS下上13102017136051360121360例：一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240的扇形铁皮制作，再用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为_。答案： 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页例：若圆锥的轴截面是一个边长为2cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是_。答案： 2例：已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为_。答案： 160例：若圆锥的侧面积是底面积的2 倍，则侧面展开图的圆心角是_。答案： 180例：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm。（1）画出它的展开图；（2）计算这个展开图的圆心角及面积。解： （1）烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面周长（如图）（2）设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为 ，则 l=50cm，cm80clc1 801 8 0cl5080180=288（度）)cm(62805040rS2l扇形例：一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。解： 设圆锥底面半径为r，圆锥母线长为l，扇形弧长（即半圆）为c，则由题意得r2c,22cl即r2, r222ll精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页在 RtSOA 中，22210rl由此求得)cm(3320),cm(3310rl故所求圆锥的侧面积为l rS圆侧面)cm(3200332033102例：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20 个底面积为2m9，高为 3.5m，外围高4m 的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？解：3r,r9,rS22h1=4，5rhl221柱锥SSS3621155.33253rh2rl7203620S总答： 至少要720平方米的毛毡。【模拟试题】基础演练1. 已知扇形的弧长为6cm，圆心角为60，则扇形的面积为_。2. 已知弓形的弧所对的圆心角为60，弓形弦长为a，则这个弓形的面积是_。3. 如图，在平行四边形ABCD 中，34AB，32AD，BD AD ，以 BD 为直径的 O交 AB 于 E，交 CD 于 F，则图中阴影部分的面积为_。4. 如图， AB 是 O1的直径， AO1是 O2的直径，弦MN/AB ，且 MN 与 O2相切于 C 点，若 O1的半径为2，则 O1B、BN、CN、CO1所围成的阴影部分的面积是_。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页5. 如图， ABC 为某一住宅区的平面示意图，其周长为800m，为了美化环境，计划在住宅区周围 5m 内， （虚线以内，ABC 之外）作绿化带，则此绿化带的面积为_。6. 如图，两个同心圆被两条半径截得的cm6AB，cm10CD，O与AB，CD都相切，则图中阴影部分的面积为_。综合测试7. 如图， OA 是 O 的半径， AB 是以 OA 为直径的 O 的弦， O B 的延长线交 O 于点 C，且 OA=4 ， OAB=45 ，则由AB，AC和线段 BC 所围成的图形面积是_。8. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC 的夹角为120， AB 长为 30cm，贴纸部分 BD 长为 20cm，贴纸部分的面积为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页A. 2cm3800B. 2cm3500C. 2cm800D. 2cm5009. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、4， AOB=120 ，则阴影部分的面积为（）A. 4B. 2C. 34D. 10. 一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平翻滚（如图），那么， B 点从开始至结束所走过的路径长度为（）A. 23B. 34C. 4 D. 23211. （2004湖北黄冈） 如图，要在直径为50cm 的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面，问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？探究升级12. （ 2004新疆）在相距40km 的两个城镇A、B 之间，有一个近似圆形的湖泊，其半径为10km，圆心恰好位于A、B 连线的中点处，现要绕过湖泊从A 城到 B 城，假设除湖泊外，所有的地方均可行走，有如图所示两种行走路线，请你通过推理计算，说明哪条路线较短。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页（1）的路线：线段CDAC线段 DB （2）的路线：线段EFAE线段 FB（其中 E、F 为切点）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页试题答案1. 2cm272. 2a)436(3. 332154. 123125. 2m)40025(6. 2cm607. )3235(8. A 9. B 10. B 11. 截法如图所示B O4O3O O1O2A 根据圆的对称性可知：O1，O3都在 O 的直径 AB 上，设所截出的凳面的直径为r 则 O1O2=r， O2O3=r，r2OO31又r50)BOAO(ABOO313150r )12(, r50r2)cm(7.20) 12(50r12. 由题意可知图答（1）路径：)km(42.51101010DBCDABS1图答（ 2）路径：如图连接OE、OF，连结 CD 由题意可知A、 C、D、B 共线，且经过O 点E 为切点， OEAE 在 RtOAE 中， AO=2EO A=30 ， AOE=60 同理 BOF=60 310232030cosOAAE同理310BF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页3101801060EF,60EOF)km(11.45310310310FBEFAES2由计算可知图（2）路线较短。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页