最新向量的数量积24431幻灯片.ppt
平面向量数量积平面向量数量积的物理背景及其的物理背景及其含义含义算一算：算一算：.1204|5|1bababa，求为的夹角与，、.8|6|2bababa求平行，与，、答案：答案：-10-10同向时，同向时，4848反向时，反向时，-48-48算一算：算一算：的夹角与求，、bababa284|4|3045224428|cos可得解：由baba三、向量的投影三、向量的投影ab在向量cos| aba在向量cos|b 设设是向量与间的夹角，是向量与间的夹角， 叫做向量叫做向量 方向上的投方向上的投影；而影；而 称为称为 方向上方向上的投影。的投影。 ab 说明：说明：一个向量在另一个向量方向一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数，当上的投影是一个数，当0 09090时，它为正值；当时，它为正值；当=90=90时，它为时，它为0 0；当当9090180180时，它为负值特时，它为负值特别地，当别地，当=0=0，它就等于；而当，它就等于；而当=180=180时，它等于时，它等于 。|b|b 你能根据投影的定义解释你能根据投影的定义解释 的的几何意义几何意义？cos| |baba上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（夹角为与若abbababababa000012041203902301,8| ,4|32024练一练：练一练：练习：练习：1 1、三角形、三角形ABCABC为正三角形，问：为正三角形，问：上的投影为在上的投影为在夹角为与夹角为与BCABACABBCABACAB)4()3()2() 1 (60600 01201200 0|AB|21|AB|212 2、判断下列说法的正误，并说明理由、判断下列说法的正误，并说明理由。是锐角，则中，若在ABC0BCABABC) 1 (。是钝角，则中，若在ABC0BCABABC)2(。是直角，则中，若在ABC0BCABABC)3(假假 真真 真真 四、向量数量积的运算律四、向量数量积的运算律 已知向量已知向量 与实数与实数，则向量，则向量的数量积满足下列运算律：的数量积满足下列运算律：cba,)()()(2(bababa)()1 (交换律abbacabacba)() 3 (分配律分配律)ab ba （1）交换律：）交换律：证明：证明： 设设 夹角为夹角为 ， ,ab则则| | cosa bab | | cosb aba 所以所以a bb a （2）()()()aba bab 若若0()| | |cosa ba b 证明：证明：()| |cosa ba b ()| | |cosaba b 若若0()| |cos()| |( cos )| |cosa ba ba ba b () | |cos()| | |( cos )| | |cosababa ba b （3）()abcacbc12ABOA1B1Cabc证明：在平面内取一点证明：在平面内取一点 ，作，作OOAa ABb OCc ab（即（即 ）在）在 方向上的投影等于方向上的投影等于OBc,a b 在在 方向上的投影的和，方向上的投影的和，c即即12|cos| |cos| |cosa bab 12| |cos| | |cos| | |cosc a bc ac b ()c a bc a c b 即即()abca cb c 思考思考(1) ?()()a bca b c ?a b b cac (2) 说明：向量数量积不满足消去律，说明：向量数量积不满足消去律，也就是说：也就是说：., 0cbcabaa时，不一定有当平面向量数量积的常用公式平面向量数量积的常用公式2222)(1 (bbaaba 22)()(2 (bababa1、已知、已知,4,6baab与与 的夹角为的夹角为60，求：（求：（1） 在在 方向上的投影；方向上的投影； （2） ba baba32|cosb=2解：（解：（2） baba32bbbaaa6226 bbaa226cosbbaa224660cos46672：变形o o已已知知a a = =5 5， b b = = 4 4， a a与与b b的的夹夹角角为为6 60 0 ，问问当当k k为为何何值值时时，向向量量k ka a- -b b与与a a+ +2 2b b垂垂直直？解：解：）（）（babak2 02 ）（）（babak021222 bbakak）（即即0260cos1222 bbakako）（042214512252 ）（ kk1514 k垂垂直直。与与时时，向向量量当当babakk21514 已已知知a a = =1 1， b b = = 2 2，且且a a- -b b2 2与与a a垂垂直直，求求a a与与b b、的的夹夹角角。解：解：垂直垂直与与aba 0 aba）（02 aba即即122 aaba 的夹角为的夹角为与与设设bababa cos2221 1800oo， 4 4 的夹角为的夹角为与与bababa cos五、五、 平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示 jyixbjyixa2211,思考思考2 2：对于上述向量对于上述向量 ，则，则 分别等于分别等于什么？什么？ ji,jiji,220, 1, 122jiji思考思考1 1：设设 是分别与是分别与x x轴、轴、y y轴同向的轴同向的两个单位向量，若两个非零向量两个单位向量，若两个非零向量 (x(x1 1，y y1 1),), (x(x2 2，y y2 2) )，则向量，则向量 与与 用用 分别分别如何表示？如何表示？abbaji,ji,思考思考3 3：根据数量积的运算性质，根据数量积的运算性质，ab等等于什么？于什么？ 两个向量的数量积等于它们对应坐标的两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和乘积的和. x x1 1x x2 2y y1 1y y2 2 ba思考思考4 4：若若 (x(x1 1，y y1 1),), (x(x2 2，y y2 2) )，则则 x x1 1x x2 2y y1 1y y2 2，这就是平面向量数，这就是平面向量数量积的坐标表示量积的坐标表示. .你能用文字描述这一结你能用文字描述这一结论吗？论吗？ abba思考思考5 5：你能用向量的坐标表示向量的你能用向量的坐标表示向量的夹角、模及垂直关系吗？夹角、模及垂直关系吗？例例3 3 已知向量已知向量 (4(4，3),3), ( (1 1，2), 2), 求求: : (1) (1) (2) (2) (3) (3)理论迁移理论迁移(1) 2(1) 2；（；（2 2）1717；（；（3 3）3.3. abba baba 2baa 42 例例4 4 已知点已知点A A（1 1，2 2）,B,B（2 2，3 3）, ,C(C(2 2，5)5)，试判断，试判断ABCABC的形状，并给的形状，并给出证明出证明. . ABCABC是直角三角形是直角三角形 例例5 5 已知向量已知向量 (5(5，7)7)， ( (6 6，4)4)，求向量，求向量 与与 的的夹夹（求其三角函数值）（求其三角函数值）. . abba 例例6 6 已知向量已知向量 (，2)2)， ( (3 3，-5)-5)，若向量，若向量 与与 的夹的夹角为钝角，求角为钝角，求的取值范围的取值范围. . 2 2abba 例例7 7 已知已知 (1(1，1)1)， = 3 3， ，求，求bba2baa,5656,310
