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一、一、n n 维空间维空间（1） n 维空间维空间两点间距离公式：两点间距离公式： 、),(21nxxxP,),(21nnRyyyQ .)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 2/24说明：说明：；的的方方式式是是定定义义中中）（任任意意的的 10PDPf 极极限限此此处处定定义义的的极极限限是是）（二重 2).,(lim(lim),(limlim 0000yxfyxfxxyyxxyy 或或运运算算法法则则及及求求法法一一元元函函数数极极限限的的性性质质、）（ 39/24极极限限不不是是二次),(lim),(),(00yxfyxyx),(lim(lim),(limlim0000yxfyxfyyxxyyxx .重重极极限限上上来来可可以以推推广广到到 n例例1 1 求求解解.1sin)(lim222200yxyxyx 时时，有有 )0 , 0(),( yx22yx 2222001sin)(limyxyxyx22221sin)(yxyx . 010/24另解另解时时，有有 )0 , 0(),(yx 所所求求极极限限即即 22yx 221sinyx 22221sin)(yxyx),1(o),1(O),1(o. 011/24例例1 1 求求.1sin)(lim222200yxyxyx 例例1 1 求求.1sin)(lim222200yxyxyx 另解另解所求极限所求极限22yxu . 0 uuu1sinlim0 12/24例例2 2 求求解解)0, 0( )sin(22yxyxyx2220,0limyxyxyx 所所求求极极限限222 yxyx 而而y 0. 0 所所求求极极限限13/24)00(.)sin(lim2220,0yxyxyx 例例2 2 求求.)sin(lim2220,0yxyxyx 另解另解所所求求极极限限222220,0)sin(limyxyxyxyxyx 222002200lim)sin(limyxyxyxyxyxyx . 0 14/24当当所所求求极极限限存存在在时时)00(?例例3 3 求求解解.lim2630,0yxyxyx 2630)(limkxxkxxxkxy 所所求求极极限限2420limkxkxx . 0 226230)()(lim2kxxkxxxkxy 所所求求极极限限2220limkxxkx . 0 或或15/24解解3kxy 263)0,0(),(limyxyxyx 626330limxkxkxxx ,12kk 其值随其值随 k 的不同而变化，的不同而变化，故故此极限不存在此极限不存在.16/24例例3 3 求求.lim2630,0yxyxyx 确定二重极限确定二重极限不存在不存在的方法的方法：17/24四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性二元函数连续的二元函数连续的几何特征几何特征: 图形不断裂图形不断裂. 一元连续函数的运算性质可推广到多元连续一元连续函数的运算性质可推广到多元连续函数上来函数上来. n元元初等函数初等函数在在定义（开或闭）区域定义（开或闭）区域上上连续连续.18/24例例4 4 讨论讨论 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 ),(yxf故此函数在故此函数在 (0,0) 处连续处连续. ),(lim)0,0(),(yxfyx 223223yx|y|yx|x|y|x| ),0 , 0(f 0时，时， )0 , 0(),( yx19/24另解另解取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 故此函数在故此函数在 (0,0) 处连续处连续. , 0)0 , 0(),(lim)0,0(),( fyxfyx例例4 4 讨论讨论 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性20/24例例5 5 讨论讨论 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf的连续性的连续性.解解时，时， )0 , 0(),( yx22 )0,0(),(limyxxykxyyx 22220limxkxkxx 21kk 22),(yxxyyxf 连连续续；),(yxf时时， )0 ,0(),( yx. )0 , 0( ),(处处间间断断在在yxf21/24，初等函数初等函数)(例例6 6.11lim0,0 xyxyyx 求求解解00 原式原式111lim0,0 xyyx.21 )11(11lim00 xyxyxyyx另解另解xyu 原式原式.21 uuu11lim0 22/24（分分子子有有理理化化）有界闭区域有界闭区域上上连续函数连续函数的性质的性质有界闭区域有界闭区域 D 上的连续函数在上的连续函数在 D 上必有最大上必有最大值和最小值值和最小值（1 1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（3 3）介值定理）介值定理（4 4）零点定理）零点定理（2 2）有界性定理）有界性定理 有界闭区域有界闭区域 D 上的连续函数，若在上的连续函数，若在 D 的边的边界界上可取到两个不同的函数值，则它在上可取到两个不同的函数值，则它在 D 内可取内可取到介于这两值之间的任何值到介于这两值之间的任何值. .23/242、多元函数极限的概念及求法、多元函数极限的概念及求法3、多元函数连续的概念；、多元函数连续的概念；4、多元初等函数的连续性；、多元初等函数的连续性；（注意趋近方式的注意趋近方式的任意性任意性）；）；五、小结五、小结1、多元函数的定义；、多元函数的定义；24/245、有界闭区域上连续函数的性质、有界闭区域上连续函数的性质.作业作业第九章练习一第九章练习一一、一、1；二、；二、1.思考题思考题练习练习
