[数学]等差数列--前n项的和一.ppt

复习引入复习引入1. 等差数列定义：等差数列定义： 即即anan1 d (n2).2. 等差数列通项公式：等差数列通项公式： (1) ana1(n1)d (n1).(2) anam(nm)d .(3) anpnq (p、q是常数是常数)复习引入复习引入11 naadnmnaadmn 1 nnaad3. 几种计算公差几种计算公差d的方法的方法: 复习引入复习引入4. 等差中项等差中项bAabaA,2 成等差数列成等差数列. mnpq amanapaq. (m，n，p，qN)5. 等差数列的性质等差数列的性质 nnnnnaaaaSSnaaaaa.321321表示，即项和，用的前为数列称练习?1163SSSSn11aS Sn-1=a1+a2+a3+-+an-1(n1)Sn-Sn-1=?an11 (2) (1)nnnSSnaSn数列的前数列的前n项和：项和：看课本42页思考1.这两个例子分别是对什么数列求和？都采用了什么样的方法？有何特点？2.对于一个一般的等差数列，我们应该如何求前n项和呢？ 高斯出生于一个工高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置年级时，一次老师布置了一道数学习题：了一道数学习题：“把把从从1 1到到100100的自然数加起的自然数加起来，和是多少？来，和是多少？”年仅年仅1010岁的小高斯略一思索岁的小高斯略一思索就得到答案就得到答案50505050，这使，这使老师非常吃惊。那么高老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？巧妙地计算出来的呢？ 高斯（高斯（1777-18551777-1855），）， 德德国数学家、物理学家和天文学国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。誉为有史以来的三大数学家。有有“数学王子数学王子”之称。之称。 高斯高斯“神速求和神速求和”的故事的故事: :情景一情景一首项与末项的和：首项与末项的和： 1100101，第第2项与倒数第项与倒数第2项的和：项的和： 299 =101， 第第3项与倒数第项与倒数第3项的和：项的和： 398 101， 第第50项与倒数第项与倒数第50项的和：项的和：5051101，于是所求的和是：于是所求的和是：1001015050.2求求 S=1+2+3+100=？你知道高斯是怎么计算的吗？高斯算法：高斯算法：高斯算法用到了等差数列的什么性质？高斯算法用到了等差数列的什么性质？.mnpqmnpqaaaa 泰姬陵坐落于印度古都阿格，泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有镶饰而成，共有100100层，奢靡层，奢靡之程度，可见一斑。之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多你知道这个图案一共花了多少宝石吗？少宝石吗？情景二情景二 这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。 通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对” 的算法还得分奇、偶个项的情况求和。有简单方法有简单方法吗？吗？思考：思考：图案中，第图案中，第1 1层到第层到第2121层一共有多少颗层一共有多少颗宝石？宝石？ 借助几何图形之直观性，把这个“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。思考：思考：图案中，第图案中，第1 1层到第层到第2121层一共有多少颗层一共有多少颗宝石？宝石？思考：思考：图案中，第图案中，第1 1层到第层到第2121层一共有多少颗层一共有多少颗宝石？宝石？12321212019121(121)212s获得算法获得算法：这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是：和，很有创意，用数学式子表示就是： 1 + 2 + 3 + 4 + + 2121 + 20 + 19 + 18 + + 1 22 + 22 + 22 + 22 + + 22探究了以上两个实际问题的求和，我们对数列求和探究了以上两个实际问题的求和，我们对数列求和有了一定的认识，那么能否将有了一定的认识，那么能否将“倒序相加法倒序相加法”推广到推广到任意一个任意一个等差数列等差数列呢？呢？)()(121nnaanS 此种求和法称为此种求和法称为倒序相加法倒序相加法n个设等差数列设等差数列 的前的前 项和为项和为 ，即，即 nannS123nnSaaaa111121nSaadadand21nnnnnSaadadand又又 11112nnnnnSa aa aa aa a 探究新知探究新知1()2nnn aaS等差数列的前等差数列的前n n项和的公式：项和的公式：思考：（思考：（1）公式的文字语言；）公式的文字语言；11,naand由于1(1)2nn nSnad故（2）公式的特点；）公式的特点；可知三可知三求一求一等差数列等差数列的前的前n项和项和等于等于首末首末两项的和两项的和与项数乘与项数乘积的一半积的一半。探究新知探究新知思考：若已知若已知 及公差及公差 ，结果会怎样呢，结果会怎样呢？1ad前前n项和公式的几种形式项和公式的几种形式公式的结构特征公式的结构特征2)1nnaanS（dnnnaSn2) 11（11naand2122ndnndSa变形变形若若 是确定的，那么是确定的，那么1,ad 是关于是关于 的二次函数的二次函数且且缺常数项缺常数项。nSndnnnaSn2) 11 （dnaan) 1(1 探究新知探究新知1anan公式记忆公式记忆1)2nnn aaS（11)2nn nSnad（ 类比梯形面积公式记忆例例1 1、20002000年年1111月月1414日教育部下发了日教育部下发了关于在中小学关于在中小学实施实施“校校通校校通”工程的通知工程的通知，某市据此提出了实施，某市据此提出了实施“校校通校校通”工程的总目标：从工程的总目标：从20012001年起用年起用1010年的时间，年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，20012001年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的经费为工程的经费为500500万元。为了万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加年增加5050万元。那么，从万元。那么，从20012001年起的未来年起的未来1010年内，该年内，该市在市在“校校通校校通”工程中的总投入是多少？工程中的总投入是多少？分析：分析：找关键句；找关键句；求什么，如何求；求什么，如何求；101010 110 5005072502S万元典例剖析典例剖析项和公式求该数列的前项的和是，前项的和是已知一个等差数列的前例n.12202031010. 2法一12202192020310291010120110daSdaS6, 41da解得nnnnnSn2362) 1(4法二12202)(203102102012010110aaSaaS12262201101aaaannSaddn21346,6010代入， 例例3:3: 在等差数列在等差数列aan n 中，中， 已知已知 ，求，求S S7.7.4053aa补补 例例练习练习: :已知一个共有已知一个共有n n项的等差数列项的等差数列前前4 4项之和为项之和为26,26,末四项之和为末四项之和为110,110,且所有项的和为且所有项的和为187187，求，求n.n.2nn1.a nS,2nn例4已知数列的前 项和求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，首项和公差分别是什么？分析an=S1,n=1Sn-Sn-1,n2解：) 1(21) 1(, 121212nnnSnnnSn-，得)1(212)1(21)1(2122nnnnnnann=1时，a1=S1=12+1/2=3/2满足式所以an=2n-1/2题型一）已知前题型一）已知前n n项和项和S Sn n，求通项，求通项a an n24.5, 4,3,-,77nnnSSn例 5已 知 等 差 数 列的 前 项 和 为求 使 得最 大 的 序 号 的 值（1）当数列2n-24前n项之和取得最小值时，n=？练习（2）等差数列an，|a3|=|a9|，d0,S3=S11,则数列的前几项的和最大？7等差数列前等差数列前n n项和公式的函数特征：项和公式的函数特征：21111222nddSnan ndnan12,22nSAnddABaABnB设则是常数2200,.nnAdSnSAnBnyAxBx当即时是关于 的二次函数式,即的图象是抛物线上的一群孤立的点特征：特征：nanOan = 4n-14Sn = 2n2-12nSn的深入认识nnS 2( ,)nnnanSAnBn ABa数列的前 项和为常数 ，则数列是不是一定是等差数列？思考：思考： 22( ,)nnaASAnBn A B是公差为的等差数列为常数结论：结论：2nnanSpnqnr问:如果一个数列的前 项和，（其中p,q,r为常数，且p0）,那么这个数列一定是等差数列吗？2nnanSpnqnr结论:如果一个数列的前 项和，（其中p,q,r为常数，且p0）,那么这个数列是等差数列当且仅当r=02)1nnaanS（dnnnaSn2) 11（2122ndnndSa等差数列前等差数列前n项和公式项和公式（倒序相加法）倒序相加法）11naand变形变形是关于是关于n的二次函的二次函数且数且缺常数项缺常数项.课堂小结课堂小结1、用倒序相加法推导等差数列前、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式项和公式;1n1( ) ()2(1)S2nnn aaSn nnad 2 2、求求和和公公式式 小结小结3、应用公式求和、应用公式求和.“知三求二知三求二”，方程的思想，方程的思想.已知首项、末项用公式已知首项、末项用公式；已知首项、公差用公式；已知首项、公差用公式.应用求和公式时一定弄清项数应用求和公式时一定弄清项数n.当已知条件不足以求出当已知条件不足以求出a1和和d时，要认真观察，时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值的值. nn4a nanS、已知数列前 项和 ，求通项公式 的方法；1、10, 6, 2,2,54 等差数列前多少项的和是 ？ 1212,10,6( 10)4,54.( -1)-10454262709,3-10 -6 -2 2954nnnanSadSn nnnnnn 设设该该等等差差数数列列为为其其前前 项项和和是是则则根根据据等等差差数数列列前前项项和和公公式式，得得 整整理理得得 解解得得 （ （舍舍去去）因因此此，等等差差数数列列， ， ， ， 前前 项项的的和和是是注：本题体现了方程的思想注：本题体现了方程的思想.解：解：11)21)2nnnn aaSn nSnad（ 巩固巩固练习练习 123891012,75,.naaaaaaaS10数列为等差数列，若求 2、12389101275aaaaaa，由解：111418253.adaadd，10110 910145.2Sad又解：1101011010()5()2aaSaa12389101275aaaaaa，由110293887.aaaaaa1101103()87()29.aaaa即5 29145. 1102938aaaaaa，整体运算整体运算的思想的思想! !11)21)2nnnn aaSn nSnad（3、 2512151636,.naaaaaS 在在等等差差数数列列中中，已已知知求求解：1161611616()8()2aaSaa2512152155121163618aaaaaaaaaa8 18144. 11)21)2nnnn aaSn nSnad（*|7 ,100.Mm mn nNm4、求集合且的元素，并求些元素的和结束结束