山东省实验中学2021届高三数学第一次诊断性考试试题.pdf

山东省实验中学山东省实验中学 20212021 届高三数学第一次诊断性考试试题届高三数学第一次诊断性考试试题说明：本试卷满分 150 分，分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，第 I 卷为第 1页至第 2 页，第 II 卷为第 3 页至第 4 页。试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间120 分钟。第 I 卷(选择题，共 52 分)一、单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.若 S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 中元素个数是A4B5C6D72己知函数fxA41，则f 2等于x1BC44nD143己知命题 p：nN,2 1000，则p为AnN,2 1000CnN,2 1000nnBnN,2 1000DnN,2 1000nn4在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a,b,c，若asin AbsinB csinC，则ABC的形状是A锐角三角形B直角三角形3C钝角三角形D.不确定5已知fx=sin xx 1,x2,2，若fx的最大值为 M，fx的最小值为 N，则 M+N 等于A0B2C4D8 36在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a,b,c，已知b 40,c 20,C 60，则此三角形的解的情况是A有一解C无解B有两解D有解但解的个数不确定7若一扇形的圆心角为72，半径为 20cm，则扇形的面积为- 1 -A40cm2B80cm2C40cm2D80cm28.20 世纪初，辽东半岛大连普兰店东部发现古莲子，其寿命在千年以上，至今大部分还能发芽开花，己知碳 14 半衰期为 5730 年(注：半衰期为放射性元素残留量降为原来的一半所需要的时间)，若 1 单位的碳 14 经过x年后剩余量为 y 单位，则 y 关于x的函数表达式是Ay 2x5730By 22x5730Cy 12x5730Dy 125730 x9计算sin 13 cos 58 2sin13 cos58等于2A12B222C32D210函数fx 2xlnxx ax3恰有一个零点，则实数a的值为A4B3C6D3二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。)11给出下列关系，其中正确的选项是ABC12以下说法正确的是A.a D1aa2B.已知y m 3m3 x2m是幂函数，则 m 的值为 4Clog234log234 log21 23D钝角是第二象限的角13己知函数fx cosx，则下列结论正确的是3By fx的图像关于直线x Dfx在Afx的一个周期是2Cfx的一个零点为8对称36,单调递减2第 II 卷(非选择题，共 98 分)三、填空题(本大题共 4 小题。每小题 4 分，共 16 分，15 题每空 2 分)- 2 -14.设fx aexbln x,且f 1 e, f 115已知曲线C1: y cos x,C2: y sin2x 1,则ab _；e，则为了得到曲线C1，首先要把C2上各23点的横坐标变为到原来的_倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移_个单位长度；(本题所填数字要求为正数)16若0 x1，则18的最小值是_；x1 xx17已知x1是函数fx 2 x2的零点，x2是函数gxlog2x1 x3的零点，则x1 x2的值为_四、解答题(本大题共 6 小题，共 82 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)18(本小题 10 分)已知函数gxlogax (a0 且a1)的图像过点(9，2)(I)求函数 g(x)的解析式；(II)解不等式g3x1 gx5: 1 x 1，不等式x2 xm 成立”是真命题19(本小题 12 分)已知命题p“(I)求实数m的取值范围；(II)若q:4 ma 4是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围20(本小题 14 分)如图，在ABC 中，边 AB=2，cosB 1，且点 D 在线段 BC 上，33，求线段 AD 的长；4sinBAD(II)若 BD=2DC， 4 2，求ABD 的面积.sinCAD (I)若ADC 21(本小题 14 分)如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点 A，B 以及 CD 的中点 P 处，已知AB=20km，CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 内(含边界)，且与 A，B 等距离的一点- 3 -O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm(I)设BAO，将y表示成的函数关系式；(II)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最短，并求出最短值22(本小题 16 分)设函数Fx xcosx，直线y mxn是曲线y Fx的切线，(I)当0 x 2时，求mn的极大值；(II)曲线y Fx是否存在“上夹线” ，若存在，请求出Fx的“上夹线”方程；若不存在，请说明理由【注】设直线l: y gx，曲线S : y Fx，若直线l和曲线S同时满足下列条件：直线l和曲线S相切且至少有两个切点；对任意的xR，都有直线gx Fx则称直线l为曲线S的“上夹线” 23(本小题 16 分)已知函数：fx12x aln xa,gx ex x12(I)当x1,e时，求fx的最小值；(II)对于任意的x10,1都存在唯一的x21,e使得gx1 fx2，求实数a的取值范围- 4 -山东省实验中学 2021 届高三第一次诊断性考试数学试题答案一、单项选择题1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.C 7.B 8.A 9.A 10.A二、多项选择题 11.BCD 12.BD 13.ABC三、填空题14.1 15.2，四、解答题18.（I）因为loga9 2，所以a 3，即gx log3x5 分（II）因为gx单调递增，所以3x 1 x 5 0,即不等式的解集是,510 分 16.9 4 2 17.36 321119.（I）由题意m x x在1 x 1恒成立，因为x x x ，所以242221 x2 x 2，即m 2，所以实数 m 的取值范围是2,8 分（II）由 q 得a4 m a4，因为q p，所以a 4 2，即a 6，所以实数a的取值范围是6,12 分20.（I）由cosB 12 2ADAB,得sin B ，因为,33sinABDsin486 分31AB ADsinBADSBAD2 2，所以（II）由BD 2DC，得 2，1SCADAC ADsinCAD2sinBAD因为 4 2，AB 2，所以AC 4 2，9 分sinCAD所以AD 222在ABC中，由余弦定理得AC AB BC 2AB BC cosB，2即3BC 4BC 84 0，可得BC 6或BC 14（舍去） ，12 分3- 5 -所以BD 4，SABD112 28 2ABBDsin B 24.14 分223321.（I）由条件 PQ 垂直平分 AB，若BAO ，则OA 故OB AQ10，coscos10，又OP 1010tan，cos1010所以y OAOB OP 1010tan，coscos所求函数关系式为y 20 10sin10,0 6 分cos4（II）y 因为u 102sin20 10sin10 10coscossin 2可看作点0,2和点cos,sin的连线的斜率，8 分cos由单位圆知，当0 4时， 2 u 3，所以10 10 3 y 30，10 3km处时，3所以当6，即点 P 位于线段 AB 的中垂线上且距离AB边三条排污管管道总长最短为1010 3km.14 分22.（I）Fx xcosx,Fx1sinx，所以函数Fx在 x0,Fx0处的切线是y x0cosx01sinx0 x x0，即y 1sinx0 xcosx0 x0sinx0，所以m n 1sin x0 cos x0 x0sin x04 分设ux1sinxcosx xsinx,0 x 2所以ux cosxsinxsinx xcosx cosx1 x6 分由ux 0 cosx 0,即2 x 3，23， 2单调递增，在单调递减，8 分2所以ux在0，单调递减，在23，22由u3233m n=2 ，得的极大值是.9 分222- 6 -（II）假设曲线y Fx存在“上夹线”l : gx mxn，由（I）知，m 1sin x0，因为直线l和曲线 S 相切且至少有两个切点，n cosx0 x0sinx0t x0 2m 1m 1sint，即所以存在t x0，使得所以，sin x 0n 1n cost tsint0又因为对任意的xR，都有直线gx Fx，则gx x1是y Fx的上夹线.16 分x2 a23.解： （I）f x1 分x01. a 1时，x1,ef x 0fx递增，fxmin f11 a22 .a e时，x1,ef x 0, fx递减，fxmin02e2 fe 2a21, a时f x 0, fx，30.1 a e2时，xxa,e时fx 0, fx递增，aalna4 分221综上，当a 1时，fxmin a；2aa当1 a e2时，fxmin lna22所以fxmin f a e2 2a5 分当a e 时，fxmin22（II）因为gx e 1,xx0,1时gx 0,gx递增，gx的值域为g0,g10,e 27 分（i）当a 1时，fx在1,e上单调递增，1 a 021e2 2a，所以2又f1 a, fe22e 2a e 2 2- 7 -即1 a 110 分2（ii）当1 a e2时，因为x1, a时，fx递减，xa,e时，fx递增，且f1 0, fa 0，所以只需fe e2，即e2e22 2a e 2，所以1 a 4e2113 分（iii）当a e2时，因为fx在1，e上单调递减，且fx f112 a 0，所以不合题意.15 分a的取值范围是1 e2综合以上，实数2e 42,4. 16 分- 8 -