2022年二次函数动点问题解答方法技巧分析 .pdf

精品资料欢迎下载函数解题思路方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+ca0本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二、抛物线上动点5、 （湖北十堰市）如图，已知抛物线32bxaxy（a0）与x轴交于点A(1， 0)和点 B ( 3，0)，与 y 轴交于点 C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使 CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由(3) 如图，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页精品资料欢迎下载注意：第（ 2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标 - C 为顶点时，以C 为圆心 CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P， M为顶点时，以M为圆心 MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P， P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。第（ 3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。共同点：探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。二次函数的动态问题（动点）07 08 09 动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点菱形性质特殊角三角函数求直线、抛物线解析式相似三角形不等式求直线解析式四边形面积的表示动三角形面积函数矩形性质求抛物线顶点坐标探究平行四边形探究动三角形面积是定值探究等腰三角形存在性特点菱形是含60的特殊菱形；AOB是底角为30的等腰三角形。一个动点速度是参数字母。探究相似三角形时， 按对应角不同分类讨论； 先画图，再探究。通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。利用a、t 范围，运用不等式求出 a、t 的值。观察图形构造特征适当割补表示面积动点按到拐点时间分段分类画出矩形必备条件的图形探究其存在性直角梯形是特殊的（一底角是 45）点动带动线动线动中的特殊性（两个交点 D、E 是定点； 动线段 PF长度是定值，PF=OA ）通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）特殊四边形为背景；点动带线动得出动三角形；探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；求直线、抛物线解析式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页精品资料欢迎下载1.如图，已知抛物线1C与坐标轴的交点依次是( 4 0)A，( 2 0)B，(0 8)E，（1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C的解析式；（2） 设抛物线1C的顶点为M， 抛物线2C与x轴分别交于CD，两点 （点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S若点A，点D同时以每秒1 个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、 向上运动， 直到点A与点D重合为止 求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由解 （1）点( 40)A，点( 20)B，点(08 )E，关于 原 点 的 对 称 点 分 别 为( 4 0 )D，(2 0)C，(08)F，设抛物线2C的解析式是2(0)yaxbxc a，则16404208abcabcc，解得168abc，所以所求抛物线的解析式是268yxx（2）由（ 1）可计算得点( 31)(31)MN，过点N作NHAD，垂足为H当运动到时刻t时，282ADODt，12NHt根据中心对称的性质OAODOMON，所以四边形MDNA是平行四边形所以2ADNSS所以，四边形MDNA的面积2(82 )(12 )4148Stttt因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知04t所以，所求关系式是24148Stt，t的取值范围是04t（3）781444St， （04t） 所以74t时，S有最大值814精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页精品资料欢迎下载提示：也可用顶点坐标公式来求（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形由（ 2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是ADMN，所以当ADMN时四边形MDNA是矩形所以ODON所以2222ODONOHNH所以22420tt解之得126262tt，（舍） 所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时62t 点评 本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。2. （06 福建龙岩卷）如图，已知抛物线234yxbxc与坐标轴交于ABC， ，三点，点A的横坐标为1， 过点(0 3)C，的直线334yxt与x轴交于点Q， 点P是线段BC上的一个动点，PHOB于点H若5PBt，且01t（1）确定bc，的值：_bc，；（2）写出点BQP， ，的坐标（其中QP，用含t的式子表示） ：(_ _)(_ _)(_ _)BQP，；（3）依点P的变化， 是否存在t的值， 使PQB为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由解 （1）94b3c（ 2）(4 0)B，( 40 )Qt，(44 3 )Pt t，（ 3）存在t的值，有以下三种情况当PQPB时PHOB，则GHHB4444ttt13t当PBQB时，得445tt49t当PQQB时，如图解法一：过Q作QDBP，又PQQB则522BPBDt又BDQBOCBDBQBOBC544245tt3257tyCAOQHBPxCOPQDB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页精品资料欢迎下载解法二：作RtOBC斜边中线OE则522BCOEBEBE，此时OEBPQBBEOBBQPB542445tt3257t解法三：在RtPHQ中有222QHPHPQ222(84)(3 )(44 )ttt257320tt32057tt，（舍去）又01t当13t或49或3257时，PQB为等腰三角形解法四：数学往往有两个思考方向：代数和几何， 有时可以独立思考，有时需要综合运用。代数讨论：计算出PQB 三边长度，均用t 表示，再讨论分析RtPHQ 中用勾股定理计算PQ 长度，而PB、 BQ 长度都可以直接直接用t 表示，进行分组讨论即可计算。 点评 此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2 小题不难，第3 小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的01t矛盾，应舍去3.如图 1，已知直线12yx与抛物线2164yx交于AB，两点（1）求AB，两点的坐标；（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；（3）如图 2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在AB，两处用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与AB，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积， 并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由解 （1）解：依题意得216412yxyx解之得12126432xxyyCOPQEBCOPQHByxOyxOP A 图 2 图 1 BBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页精品资料欢迎下载( 63 )(4 2AB，（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于CD，两点，交AB于M（如图 1）由（ 1）可知：3 52 5OAOB5 5AB1522OMABOB过B作BEx轴，E为垂足由BEOOCM，得：54OCOMOCOBOE，同理：55500242ODCD， ，设CD的解析式为(0)ykxb k52045522kkbbbAB的垂直平分线的解析式为：522yx（3）若存在点P使APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线12yxm上，并设该直线与x轴，y轴交于GH，两点（如图2） 212164yxmyx2116042xxm抛物线与直线只有一个交点，2114(6)024m，2523144mP，在直线12524GHyx：中，25250024GH， ，2554GHyxOP A 图 2 H G B yxO图 1 D M A C B 第 26 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页精品资料欢迎下载设O到GH的距离为d，1122125 51252524224552GH dOG OHddABGH，P到AB的距离等于O到GH的距离d另解：过P 做 PCy 轴， PC 交 AB 于 C，当 PC 最大时 PBA 在 AB 边上的高h 最大（ h与 PC 夹角固定），则 SPBA最大 问题转化为求PC 最大值，设P（x, ） ,C（x, ） ,从而可以表示PC 长度，进行极值求取。最后，以PC 为底边，分别计算SPBC和 SPAC即可。 点评 这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。4.如图，正方形ABCD的顶点AB，的坐标分别为0108 4， ，顶点CD，在第一象限点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点4 0E，出发，沿x轴正方向以相同速度运动当点P到达点C时，PQ，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒（1）求正方形ABCD的边长（2）当点P在AB边上运动时，OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图所示），求PQ，两点的运动速度（3）求（ 2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标（4）若点PQ，保持（ 2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，OPQ的大小随着时间t的增大而增大； 沿着BC边运动时，OPQ的大小随着时间t的增大而减小 当点P沿着这两边运动时，使90OPQ的点P有个（抛物线20yaxbxc a的顶点坐标是2424bacbaa，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页精品资料欢迎下载解 （1）作BFy轴于F0108 4AB， ，86FBFA，10AB（2）由图可知，点P从点A运动到点B用了 10 秒又1010101AB，PQ，两点的运动速度均为每秒1 个单位（3）方法一：作PGy轴于G，则PGBFGAAPFAAB，即610GAt35GAt3105OGt4OQt，113410225SOQOGtt即231920105Stt19195323210ba，且190103，当193t时，S有最大值图yDACPBOEQx图O10t2028s精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页精品资料欢迎下载此时4763311051555GPtOGt，点P的坐标为76 31155，（ 8 分）方法二：当5t时，1637922OGOQSOG OQ，设所求函数关系式为220Satbt抛物线过点6310 2852， ，1001020286325520.2abab，31019.5ab，231920105Stt19195323210ba，且190103，当193t时，S有最大值此时7631155GPOG，点P的坐标为76 31155，（4）2 点评 本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。5.如图，RtABC中，90B，30CAB它的顶点A的坐标为(10 0)，顶点B的坐标为(5 5 3)，10AB，点P从点A出发，沿ABC的方向匀速运动，同时点Q从点(0 2)D，出发， 沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页精品资料欢迎下载止运动，设运动的时间为t秒（1）求BAO的度数（2）当点P在AB上运动时，OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分， （如图），求点P的运动速度（3）求（ 2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标（4）如果点PQ，保持（ 2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使90OPQ的点P有几个？请说明理由解: （1）60BAO（2）点P的运动速度为2 个单位 /秒（3）(103 )Ptt，（05t ）1(22)(10)2Stt2912124t当92t时，S有最大值为1214，此时11 9 322P，（4）当点P沿这两边运动时，90OPQ的点P有 2 个当点P与点A重合时，90OPQ，当点P运动到与点B重合时，OQ的长是 12 单位长度，作90OPM交y轴于点M，作PHy轴于点H，（第 29 题图）A C B Q D O P x y 30 10 O 5 t S （第 29 题图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页精品资料欢迎下载由OPHOPM得：20 311.53OM，所以OQOM，从而90OPQ所以当点P在AB边上运动时，90OPQ的点P有 1 个同理当点P在BC边上运动时，可算得10 31217.83OQ而构成直角时交y轴于35 303，35 320.217.83，所以90OCQ，从而90OPQ的点P也有 1 个所以当点P沿这两边运动时，90OPQ的点P有 2 个6.（本题满分14 分） 如图 12 ，直线434xy与 x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点0,1B. （1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC按OAC的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按OCA的路线运动， 当D、E两点相遇时， 它们都停止运动. 设D、E同时从点O出发 t 秒时，ODE的面积为S . 请问D、E两点在运动过程中，是否存在DEOC，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；请求出 S关于 t的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；设0S是中函数S的最大值，那么0S = . 第 29 题图yQMHDOAxCB()P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页精品资料欢迎下载ECAyOBFxMD解： （1）令0 x，则4y；令0y则3x3 0A，0 4C，二次函数的图象过点0 4C，可设二次函数的关系式为42bxaxy又该函数图象过点3 0A，1 0B，093404abab，解之，得34a，38b所求二次函数的关系式为438342xxy（2）438342xxy=3161342x顶点 M 的坐标为1613，过点 M 作 MFx轴于 FAFMAOCMFOCMSSS四边形梯形=1013164213161321四边形 AOCM 的面积为10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页精品资料欢迎下载ECAyOBxMD（3）不存在DEOC若 DEOC， 则点 D， E应分别在线段OA， CA上， 此时12t， 在RtAOC中，5AC设点 E 的坐标为11xy，54431tx，512121txDEOC，tt235121238t38t2，不满足12t不存在DEOC根据题意得D，E 两点相遇的时间为1124423543（秒）现分情况讨论如下：）当01t 时，2134322Sttt；）当12t 时，设点 E 的坐标为22xy，544542ty，516362tyttttS5275125163623212）当 2 t1124时，设点E 的坐标为33xy，类似可得516363ty设点 D 的坐标为44, yx532344ty，51264tyAOEAODSSS512632151636321tt=572533t802430S7.关于x的二次函数22(4)22yxkxk以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页精品资料欢迎下载上方（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直于x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过点D作DC垂直于x轴于点C，得到矩形ABCD设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；（3）当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由参考资料：抛物线2(0)yaxbxc a的顶点坐标是2424bacbaa，对称轴是直线2bxa解： （1）据题意得：240k，2k当2k时，2220k当2k时，2260k又抛物线与y轴的交点在x轴上方，2k抛物线的解析式为：22yx函数的草图如图所示 （只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）（2）解：令220 x，得2x不02x时，112A Dx，2112A Bx，211112()244lA BA Dxx当2x时，222A Dx，2222(2)2A Bxx222222()244lA DA Bxxl关于x的函数关系是：当02x时，2244lxx；当2x时，2244lxx（3）解法一：当02x时，令1111A BA D，4 3 2 1 123456712341 2 3 4 1D1A1B1C2C2B2A2Dxy（第 26 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页精品资料欢迎下载得2220 xx解得13x（舍） ，或13x将13x代入2244lxx，得8 38l当2x时，令2222A BA D，得2220 xx解得13x（舍） ，或13x将13x代入2244lxx，得8 38l综上，矩形ABCD能成为正方形， 且当31x时正方形的周长为8 38； 当31x时，正方形的周长为8 38解法二：当02x时，同“解法一”可得13x正方形的周长11488 38lADx当2x时，同“解法一”可得13x正方形的周长22488 38lA Dx综上，矩形ABCD能成为正方形， 且当31x时正方形的周长为8 38； 当31x时，正方形的周长为8 38解法三：点A在y轴右侧的抛物线上，0 x，且点A的坐标为2(2)xx，令ABAD，则222xx222xx，或222xx由解得13x（舍） ，或13x；由解得13x（舍），或13x又8lx，当13x时8 38l；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页精品资料欢迎下载当13x时8 38l综上，矩形ABCD能成为正方形， 且当31x时正方形的周长为8 38； 当31x时，正方形的周长为8 388. 已知抛物线yax2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点C，其中点B 在 x 轴的正半轴上，点C 在 y 轴的正半轴上，线段OB、OC 的长（ OB0） ，则 N（R+1，R） ，代入抛物线的表达式，解得2171R 6分当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r （ r0） ，则 N（r+1， r ） ，代入抛物线的表达式，解得2171r 7分圆的半径为2171或2171 7 分（4）过点 P作 y 轴的平行线与AG交于点 Q，易得 G （ 2， 3） ，直线 AG为1xy 8 分设 P（x，322xx） ，则 Q（x，x1） ，PQ22xx3)2(212xxSSSGPQAPQAPG9 分当21x时， APG的面积最大此时 P点的坐标为415,21，827的最大值为APGS10 分11 （本小题12 分）解：（1）解方程x210 x160 得 x12，x28点 B 在 x 轴的正半轴上，点C 在 y 轴的正半轴上，且OBOC点 B 的坐标为（ 2， 0） ，点 C 的坐标为（ 0，8）又抛物线yax2bxc 的对称轴是直线x 2 由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（ 6，0）A、B、C 三点的坐标分别是A（ 6，0） 、B（2，0） 、C（0，8）（2）点 C（0，8）在抛物线yax2 bxc 的图象上c8，将 A（ 6，0） 、B（2，0）代入表达式y ax2bx8，得036a6b804a2b8解得a23b83RRrr11NNMMABDOxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页精品资料欢迎下载所求抛物线的表达式为y23x283x8（3） AB8，OC 8 SABC 12 8 8=32 （4）依题意， AEm，则 BE 8m，OA6，OC8，AC10 EFAC BEF BACEFACBEAB即EF108m8EF40 5m4过点 F 作 FGAB，垂足为G，则 sinFEGsinCAB45FGEF45FG45405m48mSSBCESBFE12（8m） 812（8m） （8m）12（8m） （88m）12（8m）m12m24m自变量 m 的取值范围是0m8（5）存在理由：S12m2 4m12（m4）28且120，当 m4 时， S有最大值， S最大值8 m4，点 E 的坐标为（ 2， 0） BCE为等腰三角形12. （12 分） 已知：如图 14， 抛物线2334yx与x轴交于点A， 点B， 与直线34yxb相交于点B，点C，直线34yxb与y轴交于点E（1）写出直线BC的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页精品资料欢迎下载（2）求ABC的面积（3） 若点M在线段AB上以每秒1 个单位长度的速度从A向B运动 （不与AB，重合），同时，点N在射线BC上以每秒2 个单位长度的速度从B向C运动设运动时间为t秒，请写出MNB的面积S与t的函数关系式， 并求出点M运动多少时间时，MNB的面积最大，最大面积是多少？解： （1）在2334yx中，令0y23304x12x，22x( 2 0)A，(2 0)B， 1 分又点B在34yxb上302b32bBC的解析式为3342yx 2 分（2）由23343342yxyx，得11194xy2220 xy 4 分914C，(2 0)B，4AB，94CD 5 分1994242ABCS 6 分（3）过点N作NPMB于点PEOMBNPEOBNPBEO 7 分BNNPBEEO 8 分由直线3342yx可得：302E，x y A B C E M DP N O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页精品资料欢迎下载在BEO中，2BO，32EO，则52BE25322tNP，65NPt 9 分1 6(4)2 5Stt2312(04)55Sttt 10 分2312(2)55St 11 分此抛物线开口向下，当2t时，125S最大当点M运动 2 秒时，MNB的面积达到最大，最大为125 12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页