2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第9章 第08节 直线与圆锥曲线的位置关系 .doc

第八节第八节 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 考点高考试题考查内容核心素养 2017全国卷T2012 分 直线的斜率及直线方程 2016全国卷T2012 分 直线与抛物线的位置关系 直线与圆 锥曲线的 位置关系 2016全国卷T2112 分 与椭圆有关的范围问题 逻辑推理 数学运算 高考分析 全国卷对本节内容的考查侧重于：判断直线与圆锥曲线的位置关系、求弦长 及其最值、中点弦等问题，题型灵活，难度偏大. 1直线与圆锥曲线的位置关系的判定 (1)代数法：把圆锥曲线方程 C1与直线方程 l 联立消去 y，整理得到关于 x 的方程 ax2bxc0. 方程 ax2bxc0 的解l 与 C1的交点 b0无解(含 l 是双曲线的渐近线)_无公共点_ a0 b0 有一解(含 l 与抛物线的对称轴平行 (重合)或与双曲线的渐近线平行) _一个交点_ 0两个_不相等_的解_两个交点_ 0两个相等的解_一个交点_ a0 0无实数解_无交点_ (2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与 圆锥曲线的位置关系 2直线与圆锥曲线的相交弦长问题 设斜率为 k(k0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|x1x2| 1k21k2 x1x224x1x2 |y1y2| 1 1 k2 1 1 k2 y1y224y1y2 提醒： 辨明两个易误点 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直 线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点 (2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合 时也相交于一点 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点( ) (2)直线 l 与双曲线 C 相切的充要条件是直线 l 与双曲线 C 只有一个公共点( ) (3)过抛物线 y22px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是 2p.( ) (4)若抛物线上存在关于直线 l 对称的两点，则 l 与抛物线有两个交点( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 2(教材习题改编)如果直线 ykx1 与双曲线 x2y24 没有公共点，则 k 的取值范 围是( ) A( ， 5 2) B(1,1) ( 5 2 ，1) (1， 5 2) C (， 5 2) ( 5 2 ，) D( 5 2 ， 5 2) 解析：选 C 将直线方程 ykx1 代入 x2y24，得 x2(kx1)24，化简得： (1k2)x22kx50，若没有公共点，则需Error!Error! 解得 k或 k 5 2 5 2 所以 k 的取值范围为 (， 5 2) ( 5 2 ，) 3过点 A(1,0)作倾斜角为 的直线，与抛物线 y22x 交于 M、N 两点，则 4 |MN|_ 解析：过 A(1,0)且倾斜角为 的直线方程为 yx1， 4 代入 y22x 得 x24x10 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 有 x1x24，x1x21， 所以|MN|x1x2| 1k2 2 11x1x224x1x221646 答案：2 6 4在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2y21 右支上的一个动点若点 P 到直 线 xy10 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为_ 解析：设 P(x，y)(x1)，因为直线 xy10 平行于渐近线 xy0，所以 c 的最大 值为直线 xy10 与渐近线 xy0 之间的距离，由两平行线间的距离公式知，该距离 为 1 2 2 2 答案： 2 2 直线与圆锥曲线的位置关系 明技法 直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置 关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法直线与圆锥曲线有无公 共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题 提能力 【典例】 (1)直线 y x3 与双曲线1 的交点个数是( ) b a x2 a2 y2 b2 A1 B2 C1 或 2 D0 (2)若直线 l：y(a1)x1 与曲线 C：y2ax 恰好有一个公共点，试求实数 a 的取值 集合 (1)解析：选 A 因为直线 y x3 与双曲线的渐近线 y x 平行，所以它与双曲线只 b a b a 有 1 个交点 (2)解：因为直线 l 与曲线 C 恰好有一个公共点， 所以方程组Error!Error!有唯一一组实数解， 消去 y，得(a1)x12ax， 整理得(a1)2x2(3a2)x10 当 a10，即 a1 时，方程是关于 x 的一元一次方程，解得 x1，这时， 原方程组有唯一解Error!Error! 当 a10，即 a1 时，方程是关于 x 的一元二次方程，判别式 (3a2) 24(a1)2a(5a4)， 令 0，解得 a0 或 a 4 5 当 a0 时，原方程组有唯一解Error!Error! 当 a 时，原方程组有唯一解Error!Error! 4 5 综上，实数 a 的取值集合是 1， 4 5， 0 刷好题 已知直线 ykxt 与圆 x2(y1)21 相切且与抛物线 C：x24y 交于不同的两点 M，N，则实数 t 的取值范围是( ) A(，3)(0，) B(，2)(0，) C(3,0) D(2,0) 解析：选 A 因为直线与圆相切，所以1，即 k2t22t.将直线方程代入抛物 |t1| 1k2 线方程并整理得 x24kx4t0，于是 16k216t16(t22t)16t0，解得 t0 或 t3. 选 A 弦长问题 明技法 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直 关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考 虑用圆锥曲线的定义求解 提能力 【典例】 已知点 Q 是抛物线 C1：y22px(p>0)上异于坐标原点 O 的点，过点 Q 与抛 物线 C2：y2x2相切的两条直线分别交抛物线 C1于点 A，B.若点 Q 的坐标为(1，6)，求 直线 AB 的方程及弦 AB 的长 解：由 Q(1，6)在抛物线 y22px 上，可得 p18， 所以抛物线 C1的方程为 y236x 设抛物线 C2的切线方程为 y6k(x1) 联立Error!Error!消去 y，得 2x2kxk60，k28k48.由于直线与抛物线 C2相切， 故 0，解得 k4 或 k12 由Error!Error!得 A； ( 1 4，3) 由Error!Error!得 B ( 9 4，9) 所以直线 AB 的方程为 12x2y90，弦 AB 的长为 2 37 刷好题 (2018威海检测)设 F1，F2分别是椭圆 E：x21(0b1)的左、右焦点，过 F1的 y2 b2 直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列 (1)求|AB|； (2)若直线 l 的斜率为 1，求 b 的值 解：(1)由椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4， 又 2|AB|AF2|BF2|，得|AB| 4 3 (2)设直线 l 的方程为 yxc，其中 c 1b2 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点坐标满足方程组Error!Error!化简得(1b2) x22cx12b20， 则 x1x2，x1x2 2c 1b2 12b2 1b2 因为直线 AB 的斜率为 1， 所以|AB|x2x1|，即 |x2x1| 2 4 32 则 (x1x2)24x1x2， 8 9 41b2 1b22 412b2 1b2 8b4 1b22 因为 0b1，所以 b 2 2 中点弦问题 析考情 涉及直线与圆锥曲线的相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题是经常考查的内容，难 度中档，各种题型均有可能考查，常用“点差法” “设而不求” ，并借助一元二次方程的根 的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解 提能力 命题点 1：利用中点弦确定直线或曲线方程 【典例 1】 (1)(2018福州质检)抛物线 C 的顶点为原点，焦点在 x 轴上，直线 xy0 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 P(1,1)为线段 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为( ) Ay2x2 By22x Cx22y Dy22x (2)(2018潍坊联考)已知 P(1,1)为椭圆1 内一定点，经过 P 引一条弦交椭圆于 x2 4 y2 2 A，B 两点，且此弦被 P 点平分，则此弦所在的直线方程为_ 解析：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为 y22px，则Error!Error!两式相减可得 2p (y1y2)kAB22，即可得 p1， y1y2 x1x2 所以抛物线 C 的方程为 y22x (2)方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为 y1k(x1)，A(x1，y1)， B(x2，y2) 由Error!Error!消去 y 得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，x1x2 4kk1 2k21 又x1x22，2，解得 k 4kk1 2k21 1 2 故此弦所在的直线方程为 y1 (x1)，即 x2y30 1 2 方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则1， x2 1 4 y2 1 2 1， x2 2 4 y2 2 2 得0， x1x2x1x2 4 y1y2y1y2 2 x1x22，y1y22， y1y20，k x1x2 2 y1y2 x1x2 1 2 此弦所在的直线方程为 y1 (x1)，即 x2y30 1 2 答案：(1)B (2)x2y30 命题点 2：由中点弦解决对称问题 【典例 2】 已知抛物线 yx2上存在两个不同的点 M，N 关于直线 l：ykx 对称， 9 2 求 k 的取值范围 解：方法一 由题意知 k0，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线上关于直线 l 对称的两点， 则 MN 的方程可设为 y xb(b>0)，代入 yx2，得 x2 xb0， 1 k 1 k 所以 4b>0， 1 k2 x1x2 1 k 设 MN 中点的坐标为(x0，y0)， 则 x0，y0b， 1 2k 1 2k2 因为(x0，y0)在直线 l：ykx 上， 9 2 所以bk ，所以 b4. 1 2k2 1 2k 9 2 1 2k2 将代入，得16>0 1 k2 2 k2 所以，所以 k> 或 k 2，即 4>2， x2 1x2 2 2 ( x1x2 2 )( 1 2k) 所以 k2>，即 k> 或 k< 1 16 1 4 1 4 故 k 的取值范围为 (， 1 4) ( 1 4，) 悟技法 处理中点弦问题常用的求解方法 刷好题 椭圆 ax2by21 与直线 xy10 相交于 A，B 两点，C 是 AB 的中点若 AB2，O 为坐标原点，OC 的斜率为，求椭圆的方程 2 2 2 解：由Error!Error! 得(ab)x22bxb10 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 依题意得 ax by 1，且 ax by 1， 2 12 12 22 2 两式相减，得 a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0， 又1，kOC， y1y2 x1x2 y1y2 x1x2 2 2 代入上式可得 ba 2 再由|AB|x2x1|x2x1|2， 1k222 得(x1x2)24x1x24， 其中 x1，x2是方程(ab)x22bxb10 的两根， 故 24 4， ( 2b ab) b1 ab 将 ba 代入得 a ，b 2 1 3 2 3 所求椭圆的方程是1 x2 3 2y2 3