山东省济宁实验中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案.pdf

山东省济宁实验中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案山东省济宁实验中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题一、函数的概念与基本初等函数多选题x2ax,x 01已知函数fxx，则（）21,x 0Afx的值域为1,B当a 0时，fx f x 12C当a 0时，存在非零实数x0，满足fx0 fx00D函数gx fxa可能有三个零点【答案】BC【分析】A考虑a 2时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B先根据条件分析fx的单调性，再根据x21与x的大小关系进行判断；C作出y x2ax, y x2ax, y x2ax的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；D根据条件先分析出a0,1，再根据有三个零点确定出a满足的不等式，由此判断出a是否有解，并判断结论是否正确.【详解】a a2x2A当x 0时，y 21 01 1，当x 0时，y x ax x，取242a 2，此时y x11 1，所以此时的值域为1,，故 A 错误；2aa a22B当a 0时，y x ax x的对称轴为x 0，所以fx在2242,0上单调递减，又因为fx在0,上单调递减，且020a 201，所以fx在R上单调递减，132又因为x21 x x 0，所以x21 x，所以fx f x 1，故 B 正242确；C作出函数y x2ax, y x2 ax, y 2x1的图象如下图所示：222由图象可知：y x ax, y x ax关于原点对称，且y x ax与y 2x1相交于x0, y0，因为点x0, y0在函数y x ax的图象上，所以点x0,y0在函数y x ax的图22象上，所以fx0 fx0 y0y00，所以当a 0时，存在x0使得fx0 fx00，故 C 正确；D由题意知：fx a有三个根，所以fx不是单调函数，所以a 0，又因为y 22x11,0，所以a1,0，所以a0,1， a2a2,，若方程有三个根，则有a ，所以a 4或a 0，这且y x ax44与a0,1矛盾，所以函数gx fxa不可能有三个零点，故 D 错误，故选：BC.【点睛】思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.2设s,t 0，若满足关于 x的方程xt xt s恰有三个不同的实数解x1 x2 x3 s,则下列选项中，一定正确的是（）Ax1 x2 x30CBst 642514425t4s5Dst 【答案】CD【分析】设fxx t x t，得出函数fx为偶函数，从而有x1 x2 x3 0，因此方程fx=s必有一解为 0，代入得2 t s，分0 x t和x t两种情况得出函数fx的单调性和最值，从而求得s，t，可得选项.【详解】设fxx t x t，则函数fx为偶函数，所以x1 x2 x3 0，t t s 2 t s，t x t+x 2 t,当且仅当x 0时取等号；2所以fx=s，其中必有一解为 0，则f0当0 x t时，fxt x t x 2当x t时，fxt x t x在t,上递增，fx s 2 t，x t x t 2 t x t 2x tx t x t 4t 4x 5t x 54545t，4又fx在t,上递增，x3t，即x3=s t 2 t t 64516,s t ，2545t6454144, s t .s2516525故选：CD.【点睛】本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属于较难题.3已知定义在 R 上的函数fx的图象连续不断，若存在常数t(tR)，使得f(xt)tf(x)0对任意的实数 x 成立，则称fx是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（）A常值函数f (x) a(a 0)为回旋函数的充要条件是t 1；B若y ax(0 a 1)为回旋函数，则t 1；C函数f (x) x2不是回旋函数；4030上至少有 2015 个零点.D若fx是t 2的回旋函数，则fx在0，【答案】ACD【分析】A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.利用回旋函数的定义，令x 0，则必有t 0，令x 1，则t23t 1 0，推得矛盾；D.根据回旋函数的定义，推得fx 2 2fx，再根据零点存在性定理，推得零点的个数.【详解】A.若fx a，则fxt a，则ata 0，解得：t 1，故 A 正确；B.若指数函数y a故 B 不正确；C.若函数fx x是回旋函数，则xttx2 0，对任意实数都成立，令x 0，则22x0 a 1为回旋函数，则axttax 0，即att 0，则t 0，必有t 0，令x 1，则t23t 1 0，显然t 0不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故 C 正确；D. 若fx是t 2的回旋函数，则fx22fx0，对任意的实数x都成立，即有fx 2 2fx，则fx2与fx异号，由零点存在性定理得，在区间x,x2上必有一个零点，可令x 0,2,4,.2015 2，则函数fx在0,4030上至少存在 2015个零点，故 D 正确.故选：ACD【点睛】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.4对xR R，x表示不超过x的最大整数十八世纪，y x被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（）AxR R,x x1Bx,yR R,xy x yC函数y xx(xR R)的值域为0,1)345 t1, t 2, tD若tR R，使得 3,n,t n2同时成立，则正整数n的最大值是 5【答案】BCD【分析】由取整函数的定义判断，由定义得x x x1，利用不等式性质可得结论【详解】x是整数， 若x x1，x1是整数，xx1，矛盾， A 错误；x, yR R，x x,y y，xy x y，xyx y，B 正确；由定义x1x x，0 x x1， 函数f (x) xx的值域是0,1)，C 正确；345 t1, t 2, t若tR R，使得 3,n3,t n2同时成立，则1 t 2，42 t 43，53 t 54，64 t 65，3，nn2 t nn1，因为64 2，若n 6，则不存在t同时满足1 t 32，64 t 65只有n5时，存在t53,32)满足题意，故选：BCD【点睛】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题2x2,2 x 15已知函数fx，若关于 x的方程fxm恰有两个不同解lnx1,1 x e（x2 x1) fx2的取值可能是（）x1,x2x1 x2，则A3【答案】BC【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到x1B1C0D2m2,x2 em1,m(1,0，代入2（x2 x1) fx2，令g(x) xex112x x,x(1,0，求导，利用导函数的单调性分2析原函数的单调性，即可求出取值范围.【详解】因为f (x) m的两根为x1,x2x1 x2，所以x1m2,x2 em1,m(1,0，2m 2mm1fx2em1m me m222从而x2 x1令g(x) xex11x2 x,x(1,0，2x1则g(x) (x 1)e因为x(1,0， x 1，x(1,0所以x 1 0,ex1 e01,x 1 0，所以g(x) 0在(1,0上恒成立，从而g(x)在(1,0上单调递增又g(0) 0,g(1) 所以g(x)5，25,0，2即x2 x1 fx2的取值范围是故选：BC【点睛】5,0，2关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数1g(x) xex1x2 x,x(1,0，利用导数求取值范围是解决本题的关键.26高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则f (x) x称为高斯函数，又称为取整函数.如：f (2.3) 2，f (3.3) 4.则下列正确的是（）A函数f (x)是R上单调递增函数 b，都有f (a) f (b) f (a b)B对于任意实数a，C函数g(x) f (x)ax（x 0）有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是 3 44 3，4 53 2D对于任意实数 x，y，则f (x) f (y)是x y 1成立的充分不必要条件【答案】BCD【分析】取反例可分析 A 选项，设出 a，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析 C 选项，取特殊值可分析D 选项【详解】解：对于 A 选项，f1 f1.21，故 A 错误； 可知0 r aa1，0 q bb1，r q0，则fab abr qabr q ab fa fb，故 B 错对于 B 选项，令a a r，b b q(r,q 分别为 a，b 的小数部分)，误；对于 C 选项，可知当k x k 1，kZ时，则fx x k，可得fx的图象，如图所示： 函数gx fxaxx 0有 3 个零点，函数fx的图象和直线y ax有 3 个交点，且0,0为fx和直线y ax必过的点，由图可知，实数 a 的取值范围是4 3 3 4,，故 C 正确；3 24 5对于 D 选项，当fx fy时，即 r，q 分别为 x，y 的小数部分，可得0r 1，0 q 1，x y xr yq r q 10 1；当x y 1时，取x 0.9，y 0.09，可得x 1，y 0，此时不满足 fx fy，故fx fy是x y 1成立的充分不必要条件，故D 正确；故选：BCD【点睛】本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；7对于函数fx定义域中任意的x1, x2x1 x2，有如下结论，当fx lgx时，上述结论中正确结论的序号是（）Afx1 x2 fx1 fx2Bfx1x2 fx1 fx2f (x1) f (x2)C0 x1 x2【答案】BC【分析】 x1 x2fx1 fx2fD22由对数的运算性质判断 A，B，由对数函数的单调性判断C，由对数的运算结合基本不等式判断 D【详解】对于 A，错误；对于 B，对于 C，对于 D，fx1 x2 lgx1 x2 lgx1lgx2，即fx1 x2 fx1 fx2，故 Afx1x2 lgx1x2 lgx1lgx2 fx1 fx2，故 B 正确；fx lgx在定义域中单调递增，fx1 fx2 0，故 C 正确；x1 x2x1, x2 0 x1 x2，利用基本不等式知 x x x x f12 lg12 lgx1x2，又22fx1 fx22 x xf122故选：BC【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即lgx1lgx2lgx1x2 lgx1x2，则22fx1 fx2，故 D 错误；2lgx1lgx2 lgx1x2，利用对数的运算结2合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题8函数fx的定义域为D，若存在区间m,n D使fx在区间m,n上的值域也是m,n，则称区间m,n为函数fx的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（）Afx【答案】ABD【分析】xBfx x 2x22Cfx x1xDfx1x根据题意，可知若fx在区间m,n上的值域也是m,n，则fx存在“和谐区间”m,n，且m n，则fm mfm n或，再对各个选项进行运算求解f n nf n m m,n，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.【详解】解：由题得，若fx在区间m,n上的值域也是m,n，则fx存在“和谐区间”m,n，fm mfm nm n可知，则或，f n nf n m m 0fmm mA：fxxx 0，若，解得：，n 1fnn n所以fx2x存在“和谐区间”0,1；2m 1fm m 2m2 mB：fx x 2x2xR，若，解得：，2f n n 2n2 nn 2 所以fx x 2x2存在“和谐区间”1,2；21 1f m m m 0 m1mC：fx xx 0，若，得，故无解；11xfn n n 0nnf若f1m n1mm m n1m2m1mm，化简得： 0，即221m(m 1)m 1nn n m1nn mn即m2 m1 0，由于 12 411 3 0，故无解；若0 m1 n f1 mm 2,不成立所以fx x1不存在“和谐区间”；x1f m n 1m+，0单调递减，则D：fxx 0，函数在0， 不妨令-，x1fn mn1m 2，n 2所以fx11存在“和谐区间”,2；x2综上得：存在“和谐区间”的是 ABD.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.二、导数及其应用多选题二、导数及其应用多选题9（多选）已知函数f (x) axlnx(aR R)，则下列说法正确的是（）A若a 0，则函数f (x)没有极值B若a 0，则函数f (x)有极值C若函数fx有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是,D若函数fx有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是(,0 【答案】ABD【分析】先对fx进行求导，再对a进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断.【详解】解：由题意得，函数f (x)的定义域为(0,)，且f (x) a 1e1e1ax 1，xx当a 0时，f (x) 0恒成立，此时f (x)单调递减，没有极值，又当 x 趋近于 0 时，f (x)趋近于，当 x 趋近于时，f (x)趋近于，f (x)有且只有一个零点，当a 0时，在0,在1 上，f (x) 0，f (x)单调递减，a 1,上，f (x) 0，f (x)单调递增，a当x 1时，f (x)取得极小值，同时也是最小值，a 11lna，a当 x 趋近于 0 时，lnx趋近于，f (x)趋近于，f (x)min f当 x趋近于时，f (x)趋近于，当1lna 0，即a 1时，f (x)有且只有一个零点；e1时，f (x)有且仅有两个零点，e综上可知 ABD 正确，C 错误故选：ABD【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：当1lna 0，即0 a 0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(1)直接求零点：令fx(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且fafb0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点10已知函数fx e asin x，则下列说法正确的是（）xA当a 1时，fx在0,单调递增B当a 1时，fx在0, f0处的切线为x轴C当a 1时，fx在,0存在唯一极小值点x0，且1 fx00D对任意a 0，fx在,一定存在零点【答案】AC【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】对于 A，当a 1时，fx e sin x，f x e cosx，xxx因为x0,时，e 1,cos x 1，即fx0，所以fx在0,x上单调递增，故 A 正确；对于 B，当a 1时，fx e sin x，f x e cosx，则xf0 e0sin0 1，f 0 e0cos0 0，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为y 1，故 B 错误；对于 C，当a 1时，fx e sin x，f x e cosx，f x e sin x，xxx当x,0时，sin x 0，ex 0，则f x e sin x 0恒成立，即xf x excosx在,0上单调递增，又f e2cos e2 0，22334133433421，因为e e2 e，所以f ecose224423 3342f e0，所以存在唯一x0,，使得fx00成立，2424所以fx在,x0上单调递减，在x0,0上单调递增，即fx在,0存在唯一极小值点x0，x由f x0 e0cosx0 0，可得fx0 ex0sin x0 cos x0sin x02sinx0，433 x ,x ,因为0，所以0，则2444fx02sinx01,0，故 C 正确；4对于选项 D，fx e asin x，x,，x令fx e asin x 0，得x1sin xx，ae 2sinxsin xgxx，x,，则cos xsin x4，gxeexex令gx令gx0，得sinx 0，则x kk 1,kZ Z，4450，得sinx 0，则x2k,2kk 1,kZ Z，此时函444数gx单调递减，令gx59 0，得sinx 0，则x2k,2kk 1,kZ Z，此时函444数gx单调递增，所以x 2k5k 1,kZ Z时，gx取得极小值，极小值为45 sin2ksin55 44k 1,kZ Z，g2k552k2k4e4e4在gx的极小值中，g25 g3sine443454最小，当x,3 时，gx单调递减，所以函数gx的最小值为43 g4当sine54 3412e34，1 a12e34时，即0 a 2e34时，函数gx与y 1无交点，即fx在a,不存在零点，故 D 错误.故选：AC.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.