[高等教育]4-1-2简谐运动-振动能量.ppt
第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动4.1 4.1 简谐振动简谐振动4.2 4.2 谐振动的能量谐振动的能量4.3 4.3 谐振动的旋转矢量投影表示法谐振动的旋转矢量投影表示法4.4 4.4 谐振动的合成谐振动的合成4.5 4.5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动kl0 xmoAA一、一、 模型模型00Fx 1.1.弹簧振子弹簧振子第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动makxF0dd222 xtx mk2令令积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定)cos(tAxxxFmo平衡位置平衡位置 0外外F动力学方程动力学方程运动学方程运动学方程振动方程振动方程特特 征征 方方 程程第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动2. 2. 单摆单摆 mgsinmgF 0dd222 t)cos(m tsin,5时时动力学方程动力学方程运动学方程运动学方程tmamgF 22dtdmlml 振动方程振动方程条件：条件：lmoAPnptplg2令令第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动3. 3. 复摆复摆 mglM 22ddtImgl 0dd222 tImgl 2 )cos( tm)5(oC*lP（ 点为质心）点为质心）C平衡位置平衡位置 0外外M动力学方程动力学方程运动学方程运动学方程振动方程振动方程绕不过质心的轴转动的刚体称为复摆。绕不过质心的轴转动的刚体称为复摆。第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动)cos()sin(2dd tAtAtx1.v)cos()cos(. tAtAtxa2222dd2)cos(tAxxxFmo二、二、 速度和加速度速度和加速度 Avm 2 Aam 第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动tx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动)cos(tAx1.1.振幅振幅maxxA 2.2.周期、频率周期、频率kmT2弹簧振子周期弹簧振子周期2T 周期周期21T 频率频率T22 圆频率圆频率)(cosTtA周期和频率仅与振动系周期和频率仅与振动系统统本身本身的物理性质有关的物理性质有关注意注意tx图图AAxT2Tto三、描述谐振动的物理量三、描述谐振动的物理量第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动201 1）相位在相位在 内变化，内变化，质点质点无相同无相同的运动状态；的运动状态； 2 2）初）初相位相位 描述质点描述质点初始初始时刻的运动状态时刻的运动状态. . ) 0( t) (2nn相差相差 为整数为整数 质点运动状态质点运动状态全同全同. .（周期性）（周期性）20( ( 取取 或或 ) )tx图图AAxT2Ttovvv 初相位初相位 3. 3. 相位相位 t第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动xxFmo sin Av cosAx X v B O C O B 0BCX第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动 X V B 0 A O O 0 -vm C -A 0 O 0 vm B A 0 0BC2 23 2例：例： 一小球初始时用手托着，手一松，小球做简谐振动，一小球初始时用手托着，手一松，小球做简谐振动，在最低处时，在最低处时， 再次到达平衡位置时，再次到达平衡位置时，? ? x最低处时：最低处时：X=A, V=0; 0 再次到达平衡位置再次到达平衡位置X=0, V=-Vm; 21 第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动 X V B 0 A O O 0 -vm C -A 0 O 0 vm B A 0 0BC2000 ;:VXOB2 23 2 200;:VXCO 2300 ;:VXOC 22300 ;:VXBO0 2 2123或或2/ 或或第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动22020vxA00tanxv 3) 3) 常数常数 和和 的确定的确定A000vv xxt初始条件初始条件cos0Ax sin0Av 对给定振动系统，周期对给定振动系统，周期( (或者角频率或者角频率) )由系统本身由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定性质决定，振幅和初相由初始条件决定. .三要素三要素)sin(tAv)cos(tAx第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动cos0A2 0sin0Av2 0sin取取0, 0, 0vxt已知已知 求求讨论讨论xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动四、振动图像四、振动图像 同一质点在不同时刻的位移同一质点在不同时刻的位移 xt图图TTA 2 ,t0时：时：x0， v0的方向看下时刻的的方向看下时刻的x， x向位移的正方向，向位移的正方向，v00; x向位移的负方向，向位移的负方向， v00.tx图图AAxT2Ttovv第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动 cosAAx 20 求求020 0v,AxtO已知已知例例1 1：3321 或或cos000 sinv又又3 故故第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动例例2; 2; 将一弹簧振子竖直悬挂，已知弹簧的劲度系数为将一弹簧振子竖直悬挂，已知弹簧的劲度系数为k1.6Nm1,弹簧下端挂一质量为弹簧下端挂一质量为M0.025kg的物体，的物体，物体处于平衡状态物体处于平衡状态，(1)若将物体下拉到若将物体下拉到x00.10m处，处，然后自由释放；然后自由释放；(2)若将物体下拉到若将物体下拉到x00.10m处处, ,再给它再给它向下运动的初速度向下运动的初速度v0=0.8ms-1, 写出振动方程写出振动方程x第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动已知：已知： k1.6Nm1 m0.025kg 处于平衡状态处于平衡状态（1）x00.10m处，自由释放处，自由释放（2）x00.10m处，处， v0=0.8ms-1x解：平衡位置：解：平衡位置：0 kbmgkmgb 位移位移x处：处：kxbxkmgF )( dd022 xmktx18 smk dd0222 xtx )cos( tAx第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动（1）t0 时，时， x00.10m， vo =0mx100. 0 tx810 cos. （2）t0 时，时， x00.10m， vo =0.8ms-122020 vxA mvxA14022020. cosAx 022 cos44 或或 000 sin,v又又4 故故）（48140 txcos. 第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动例例3 3：已知：已知k，m；定滑轮定滑轮I，R初始位置时弹簧无伸长，静止释放初始位置时弹簧无伸长，静止释放求（求（1 1）m m的运动为简谐振动的运动为简谐振动 （2 2）振动周期（）振动周期（3 3）振动方程）振动方程平衡位置处：平衡位置处：0 kbmg位移位移x x处：处：maTmg 1 IRTRT 21)(bxkT 2 Ra T2T2T1T1mg证明证明: : （1 1）取物体、弹簧和圆盘为研究对象，取物体、弹簧和圆盘为研究对象，分析它们受力分析它们受力注：研究简谐运注：研究简谐运动时动时, ,坐标原点坐标原点建立在平衡位置建立在平衡位置第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动 dd0222 xRImktx dd0222 xtx 2RImk/ 令令2222RImkT/)( 第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动二）用能量方法研究系统的运动二）用能量方法研究系统的运动该系统的机械能守恒，则有该系统的机械能守恒，则有0212121222 mgxkxImv 两边求导两边求导0 dtdxkxdtdIdtdvmv T2T2T1T1mgmgbmgxbxkImv 222)(212121 第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动与上结果相同与上结果相同注：从能量守恒导出简谐运动方程的思路，对研究非机械注：从能量守恒导出简谐运动方程的思路，对研究非机械运动十分重要，因为此时已不宜用受力分析的方法了！运动十分重要，因为此时已不宜用受力分析的方法了！022222 kxvdtxdvRIdtxdmv0)(222 kxmRIdtxd0)(222 xmRIkdtxd式中式中RvdtxdRdtdvdtdxdtxddtdv ,1,2222第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动)cos()( tAx3初始位置时弹簧无伸长，静止释放，求振动方程初始位置时弹簧无伸长，静止释放，求振动方程T=0时，时，x0=b, v0=022020 vxA kmgb cosAx 0 cosbb 1 cos )cos( tkmgx第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动例例4 4、已知物体作简谐运动的图线，试根据图、已知物体作简谐运动的图线，试根据图线写出其振动方程。线写出其振动方程。 st mx04. 002. 0002. 004. 02解：解：设振动方程为设振动方程为 tAxcos由图知由图知mA04. 0 0,2, 000 vAxt32又由图知又由图知第四章第四章 机械振动机械振动4 1 4 1 简谐运动简谐运动 st mx04. 002. 0002. 004. 02 tAxcosmA04. 0 320,222 vAx22cos2 Axt时，时， k232 351k2，取取 353222 2 322040 txcos.第四章第四章 机械振动机械振动4 4 2 2 谐运动的能量谐运动的能量)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE线性回复力是线性回复力是保守力保守力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒 以弹簧振子为例以弹簧振子为例)sin()cos(tAtAxv22pk21AkAEEEmk /2一、动能和势能一、动能和势能二、总能量二、总能量振幅不变振幅不变第四章第四章 机械振动机械振动4 4 2 2 谐运动的能量谐运动的能量简谐运动能量图简谐运动能量图txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21第四章第四章 机械振动机械振动4 4 2 2 谐运动的能量谐运动的能量能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程推导推导常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx第四章第四章 机械振动机械振动4 4 2 2 谐运动的能量谐运动的能量三、平均能量三、平均能量2411220总总EAmdtETETkk 241120总总EkAdtETETpp 四、二个特殊位置的能量四、二个特殊位置的能量时时21Ax .总总EAkkxE414212122 p总总总总EAkkAEEEk434212122 p2. 求求Ep=Ek的位置的位置22221212121)()(pAkkAEEEk 总总Ax22 第四章第四章 机械振动机械振动4 4 2 2 谐运动的能量谐运动的能量 例例 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振动的周期；振动的周期； （2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？解解 （1）2maxAaAamax1s20s314. 02T第四章第四章 机械振动机械振动4 4 2 2 谐运动的能量谐运动的能量（2）J100 . 23222maxmax,k2121AmmEv（3）max,kEE J100 . 23（4）pkEE 时，时，J100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m105 . 0cm707. 0 x结束结束
