2022年电大经济数学基础复习题及答案 .pdf

1 / 20 微分学部分综合练习一、单项选择题1函数1lg xxy的定义域是（）A1x B0 x C0 x D1x且0 x分析。求定义域得关键是记住求定义域的三条原则！lg(1)00,101xxxx答案选 D,作业四的第一小题这类型要会做。2下列各函数对中，（）中的两个函数相等A2)()(xxf，xxg)( B11)(2xxxf，xxg)(+ 1 C2ln xy，xxgln2)( Dxxxf22cossin)(，1)(xg分析：解答本题的关键是要注意先看定义域，后看对应关系，只有定义域相同时，才能化简后再看对应关系。只有两者都相同，两个函数猜是相同的函数。3设xxf1)(，则)(xff（）Ax1 B21x C x D2x、11(),( )1()fff xxx解：因为所以，4下列函数中为奇函数的是（）Axxy2Bxxyee C11lnxxyDxxysin分析：注意利用奇偶函数的运算性质（见讲课笔记），然后利用排除法知，答案是 C. 5已知1tan)(xxxf，当（）时，)(xf为无穷小量 . A. x0 B. 1xC. x D. x分析：00lim( )lim(1)0tanxxxf xx，故选 A.考试当然可以改成精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页2 / 20 sin( )1xf xx，本题涉及到了重要极限1. 6当 x时，下列变量为无穷小量的是（）A12xx B)1ln(x C21ex Dxxsin分析：+sin1limlimsin0 xxxxxx，由“无穷小量与有界变量的乘积，结果是无穷小量”这一性质得出结果，答案选D. 7函数sin,0( ),0 xxf xxkx在 x = 0 处连续，则 k = ( c )A-2 B-1 C1 D2 8曲线11xy在点（ 0, 1）处的切线斜率为（）A21 B21 C3)1(21x D3) 1(21x分析：本题考导数的几何意义，导数是曲线切线的斜率，求切线的斜率就是求导数 . 9曲线xysin在点(0, 0)处的切线方程为（）A. y = x B. y = 2xC. y = 21x D. y = -x 分析：cos ,(0)cos01,01(0),yx yyxyx故记住点斜式直线方程：000(),()yyk xxkfx其中的是斜率 ，作业一有着类题要会做。10设yxlg2，则d y（）A12dxx B1dxxln10 Cln10 xxd D1dxx11下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（）Asinx Be x Cx 2 D3 - x 12设需求量 q 对价格 p 的函数为ppq23)(，则需求弹性为Ep=（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页3 / 20 App32 Bpp32 C32pp D32pp二、填空题1函数20, 105,2)(2xxxxxf的定义域是分析：分段函数的定义域就是把连段x 的取值并起来。2函数xxxf21)5ln()(的定义域是分析：505- .2202xxxx函数定义域（ 5 ）3若函数52) 1(2xxxf，则)(xf222211,( )(1)2(1) 5212256,( )6xtxtf tttttttf xx解：令则于是故本题是重点考题类型。4设21010)(xxxf，则函数的图形关于对称分析：要知道奇偶函数的图像特征（见讲课笔记），本题是偶函数。5xxxxsinlim. 分析：sinsinlimlim(1)101xxxxxxx注意与作业题的区别00sinsinlimlim(1)1 10 xxxxxxx 6已知xxxfsin1)(，当时，)(xf为无穷小量分析：同前单选题5 7.曲线yx在点)1, 1(处的切线斜率是分析：求斜率就是求导数8函数 yx312() 的驻点是 . 分析：导数为零的点称函数的驻点，6(1)0,1yxx令解得驻点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页4 / 20 9. 需求量 q 对价格p的函数为2e100)(ppq，则需求弹性为 Ep221( )100 e()()22100 epppppq pq pp解：E三、计算题（ 通过以下各题的计算要熟练掌握导数基本公式及复合函数求导法则！这是考试的10分类型题 ）1已知yxxxcos2，求)(xy 2已知( )2 sinlnxf xxx ，求)(xf3已知2sin2cosxyx，求)(xy 4已知xxy53eln，求)(xy5已知xycos25，求)2(y；6设xxyx2cose，求yd7设xyx5sincose，求yd 8设xxy2tan3，求yd四、应用题（ 以下的应用题必须熟练掌握！这是考试的20 分类型题 ）1设生产某种产品 x个单位时的成本函数为：xxxC625.0100)(2（万元）, 求：（ 1）当10 x时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量 x为多少时，平均成本最小？2某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为qp100010（q为需求量，p为价格）试求：（1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？3某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为 p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？4某厂每天生产某种产品q件的成本函数为9800365 .0)(2qqqC（元） .为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页5 / 20 5已知某厂生产q件产品的成本为C qqq( )25020102（万元）问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？最低的平均成本是多少？参考解答一、单项选择题1D2D 3C4C5A6D7C8A9A10B11B12B二、填空题15,2 2(-5, 2 )362x4y 轴5160 x7(1)0.5y8 x192p三、计算题1解：2cossincos( )(2)2 ln 2xxxxxxy xxx2sincos2 ln 2xxxxx2解xxxxfxx1cos2sin2ln2)(3解)(cos)2(2sin)(22xxxyxx2cos22ln2sin2xxxx4解：)5(e)(lnln3)(52xxxxyxxxx525eln35解： 因为5ln5sin2)cos2(5ln5)5(cos2cos2cos2xxxxxy所以5ln25ln52sin2)2(2cos2y6解： 因为212cos23)2sin(e2xxyx所以xxxyxd23)2sin(e2d212cos7解： 因为)(coscos5)(sine4sinxxxyxxxxxsincos5cose4sin所以xxxxyxd)sincos5cose(d4sin8解： 因为)(2ln2)(cos1332xxxyx2ln2cos3322xxx所以xxxyxd)2ln2cos3(d322精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页6 / 20 四、应用题 1解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：xxxC625. 0100)(2625.0100)(xxxC，65.0)(xxC所以，1851061025.0100)10(2C5.1861025.010100)10(C，116105.0)10(C（2）令025.0100)(2xxC，得20 x（20 x舍去）因为20 x是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当x20 时，平均成本最小 . 2解（1）成本函数C q()= 60q+2000因为qp100010，即pq100110，所以收入函数R q( )=pq=(100110q)q=1001102qq（2）利润函数L q()=R q( )-C q( ) =1001102qq- (60q+2000) = 40q-1102q-2000 且Lq()=(40q-1102q-2000)=40- 0.2q令Lq()= 0，即 40- 0.2q= 0，得q= 200，它是Lq()在其定义域内的唯一驻点所以，q= 200是利润函数Lq()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大3解（1）由已知201.014)01.014(qqqqqpR利润函数22202.0201001.042001.014qqqqqqCRL则qL04.010，令004.010qL，解出唯一驻点250q. 因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250 件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2L（元）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页7 / 20 4解因为( )9800( )0.536C qC qqqq(0)q298009800( )(0.536)0.5Cqqqq令( )0C q，即 0 598002.q=0，得q1=140，q2= -140（舍去） . q1=140是C q( )在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以q1=140是平均成本函数 C q( )的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为 140件. 此时的平均成本为9800(140)0.514036176140C（元/件）5解（1）因为 C q( )=C qq( )=2502010qq， C q( ) =()2502010qq=2501102q令Cq( )=0，即25011002q，得150q，q2=-50（舍去），q1=50是 C q( )在其定义域内的唯一驻点所以，q1=50是 C q( ) 的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品（2）25050(50)2030(5010C元 / 件）积分学部分综合练习题一、单选题1下列等式不成立的是（）正确答案： AA)d(edexxx B)d(cosdsinxxxCxxxdd21 D)1d(dlnxxx分析。解答本题的关键是记住几类常见的凑微分（见讲课笔记）2若cxxfx2ed)(，则)(xf=（）.正确答案： DA. 2ex B.2e21xC.2e41x D.2e41x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页8 / 20 2222111( )( e)e()e;( )e224xxxxf xcfx解：注意：主要考察原函数和二阶导数，但考试关键是要知道f(x)怎么求，即f(x)的不定积分是 f(x)的全体原函数，如下面的第4题。3下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）正确答案： CAxxc1)dos(2Bxxxd12Cxxxd2sinDxxxd124. 若cxxfxx11ede)(，则 f (x) =（） 正确答案： CAx1B-x1C21xD-21x111222111ee ()e ;( )xxxcf xxxx1x解：f(x)e（） =-5. 若)(xF是)(xf的一个原函数，则下列等式成立的是( )正确答案： BA)(d)(xFxxfxa B)()(d)(aFxFxxfxaC)()(d)(afbfxxFba D)()(d)(aFbFxxfba6下列定积分中积分值为0 的是（）正确答案： AAxxxd2ee11Bxxxd2ee11Cxxxd)cos(3Dxxxd )sin(27下列定积分计算正确的是（）正确答案： DA2d211xxB15d161xC0dsin22xxD0dsinxx分析：以上两题主要考察“奇函数在对称区间的定积分知为0”，这一点要记住！8下列无穷积分中收敛的是（）正确答案： C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页9 / 20 A1dlnxx B0dexx C12d1xx D13d1xx2111d =-1,1xxx解：故无穷积分收敛9无穷限积分13d1xx=（） 正确答案： CA0 B21 C21 D. 23211111d =-1222xxxx解：二、填空题1xxded2应该填写：xxde2注意：主要考察不定积分与求导数（求微分）互为逆运算，一定要注意是先积分后求导（微分） ,还是先求导（微分）后积分。本题是先积分后微分，别忘了dx. 2函数xxf2sin)(的原函数是 应该填写： -21cos2x + c1sin 2cos22xdxxC解：3若)(xf存在且连续，则 )(dxf应该填写：)(xf注意：本题是先微分再积分最后在求导。4若cxxxf2) 1(d)(，则)(xf.应该填写：)1(2 x5若cxFxxf)(d)(，则xfxx)de(e=.应该填写：cFx)e(注意：() ()(),xxfdFCe dxde凑微分6e12dx)1ln(ddxx. 应该填写： 0 注意：定积分的结果是“数值”，而常数的导数为0 7积分1122d)1(xxx应该填写： 0 注意：奇函数在对称区间的定积分为0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页10 / 20 8无穷积分02d)1(1xx是应该填写：收敛的2011d =-10(1)xx解：x+1,故无穷积分收敛。三、计算题（ 以下的计算题要熟练掌握！这是考试的10 分类型题）1xxxd242解：xxxd242=(2)dxx=2122xxc2计算xxxd1sin2解：cxxxxxx1cos)1(d1sind1sin23计算xxxd2解：cxxxxxx22ln2)(d22d24计算xxxdsin解：cxxxxxxxxxxsincosdcoscosdsin5计算xxxd1)ln(解：xxxd1)ln(=21ln(1)2xd x=xxxxxd1)(21ln1)(2122= 2221111(1) ln(2)(1) lnln2224xxxxdxxxxxCx=cxxxxx4)ln2(21226计算xxxde2121解：xxxde2121=21211211eee)1(dexxx72e11d1lnxxx解：xxxdln112e1=)lnd(1ln112e1xx=2e1ln12x=) 13(28xxxd2cos20解：xxxd2cos20=202sin21xx-xxd2sin2120 =202cos41x=219xxd )1ln(1e0解：e 1e 1e 1e 1e 1000001 1ln(1)dln(1)dln(1)d11xxxxxxxxxxxx=xxd)111(1e1e0=1e0)1ln(1exxeln=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页11 / 20 注意：熟练解答以上各题要注意以下两点（1）常见凑微分类型一定要记住2211111(),2,21ln,sincos ,cossinxxdxd kxCxdxdxe dxdedxddxdxkxxxdxdxxdxdxxdxdxx（2）分部积分：bbbaaabuvdxudvuvvdua，常考有三种类型要清楚。四、应用题（ 以下的应用题必须熟练掌握！这是考试的 20 分类型题 ）1投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(xC=2x + 40(万元/百台). 试求产量由 4百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低 .解：当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为64d)402(xxC=642)40(xx= 100（万元）又2000222( )( )d(2t+40)d364036,363636( )40,( )1036,xxC xCxxcxxxxC xxCxxxx2令，即x解得6x. x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值。所以产量为 6 百台时可使平均成本达到最小.2已知某产品的边际成本C(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益R(x)=12- 0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？解：因为边际利润)()()(xCxRxL=12-0.02x 2 = 10- 0.02x令)(xL= 0，得 x = 500；x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值.所以，当产量为 500件时，利润最大 . 当产量由 500件增加至 550 件时，利润改变量为5505002550500)01. 010(d)02.010(xxxxL =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少 25 元. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页12 / 20 3生产某产品的边际成本为C(x)=8x(万元/百台)，边际收入为R(x)=100- 2x（万元 /百台），其中 x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润有什么变化？解：L(x) =R(x) -C(x) = (100 2x) 8x =100 10 x令L(x)=0, 得 x = 10（百台）；又 x = 10是 L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故 x = 10是 L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大 .又xxxxLLd)10100(d)(1210121020)5100(12102xx即从利润最大时的产量再生产2 百台，利润将减少 20 万元.4已知某产品的边际成本为34)(qqC(万元/百台)，q为产量 (百台)，固定成本为 18(万元)，求最低平均成本 . 解：因为总成本函数为qqqCd)34()(=cqq322当q= 0时，C(0) = 18，得 c =18；即 C(q)=18322qq又平均成本函数为qqqqCqA1832)()(令0182)(2qqA，解得q= 3 (百台) ，该题确实存在使平均成本最低的产量.所以当 q = 3时，平均成本最低 . 最底平均成本为9318332)3(A (万元/百台) 5设生产某产品的总成本函数为xxC3)(万元)，其中 x为产量，单位：百吨销售 x 吨时的边际收入为xxR215)(（万元 /百吨），求： (1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1 百吨，利润会发生什么变化？解：(1) 因为边际成本为1)(xC，边际利润)()()(xCxRxL = 14 2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页13 / 20 令0)(xL，得 x = 7 ；由该题实际意义可知，x = 7为利润函数 L(x)的极大值点，也是最大值点 . 因此，当产量为 7 百吨时利润最大 .(2) 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时，利润改变量为87287)14(d)214(xxxxL= - 1（万元）即利润将减少 1 万元.线性代数部分综合练习题一、单项选择题1设 A 为23矩阵， B为32矩阵，则下列运算中（）可以进行.正确答案： A AAB BABT CA+B DBAT 分析：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数，乘法才有意义。2设BA,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）正确答案： B A. TTT)(BAAB B.TTT)(ABABC.1T11T)()(BAAB D.T111T)()(BAAB注意：转置矩阵、逆矩阵的性质要记住3以下结论或等式正确的是（）正确答案： C A若BA,均为零矩阵，则有BA B若ACAB，且OA，则CBC对角矩阵是对称矩阵 D若OBOA,，则OAB4设 A是可逆矩阵，且 AABI ，则A1（）. 正确答案： CA. BB. 1B C. IB D. ()IAB1注意：因为 A(I+B)=I, 所以A1I+B5设)21(A，)31(B， I 是单位矩阵，则IBAT（）正确答案： D A6231 B6321 C5322 D5232精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页14 / 20 110131023( 1,3)201260125TA BI解：6设314231003021A，则 r(A) =（） 正确答案： C A4 B3 C2 D1 120312031203001300130013241300130000解：，故秩 (A)=2 7设线性方程组bAX的增广矩阵通过初等行变换化为00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（）正确答案： A A1 B2 C3 D4 分析：自由未知量的个数 =n（未知量个数） -秩（A）=4-3=1, 考试要直接会用眼看出来。8线性方程组012121xxxx解的情况是（）正确答案： A A. 无解B. 只有 0 解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解1 111111 1000-1解：，r(A)=1r(A)=2, 故无解。注意：化成阶梯型矩阵后，最后一行出现矛盾方程“0=K ”就无解。9设线性方程组bXAnm有无穷多解的充分必要条件是（）正确答案： D AmArAr)()( BnAr)( Cnm DnArAr)()(注意：线性方程组解得情况判定定理在理解的基础上要背下来。10.设线性方程组bAX有唯一解，则相应的齐次方程组OAX（） A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页15 / 20 正确答案： C 注意：bAX有唯一解，说明( )(),( ),r Ar Anr An故改成 AX=0 时，所以，只有唯一零解。但要注意：若 AX=0 只有唯一零解，而AX=b 可能无解（或说解不确定）二、填空题1若矩阵 A = 21，B = 132，则 ATB=应该填写：264132-12 312 -3 1=246 2解：2设BA,均为 n阶矩阵，则等式2222)(BABABA成立的充分必要条件是.应该填写：BA,是可交换矩阵或AB=BA 3设13230201aA，当a时， A是对称矩阵 . 应该填写： 0 注意：对称矩阵元素的分布关于主对角线对称，所以对称阵是可以看出来的。4设BA,均为n阶矩阵，且)(BI可逆，则矩阵XBXA的解 X=应该填写：ABI1)(1,(),()ABXX XBXA IB XA XIBA解：5若线性方程组002121xxxx有非零解，则应该填写： - 1 1111,1( )12,101Ar An解：时，有非零解。6设齐次线性方程组01nnmXA，且秩 (A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 应该填写： n r 注意：关键是由01nnmXA要看出未知量的个数是n 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页16 / 20 7齐次线性方程组0AX的系数矩阵为000020103211A则此方程组的一般解为 . 112310210102010200000000解：方程组的一般解为4243122xxxxx (其中43, xx是自由未知量 ) 三、计算题 （以下的各题要熟练掌握！这是考试的 15分类型题 ）1设矩阵 A =012411210，求逆矩阵1A解：因为 (AI )= 012 100114010114010114 010012100012100210 001038 021002 321114010110642100221012100010421010421001310013100131111222222所以 A-1=21123124112注意：本题也可改成如下的形式考：例如：解矩阵方程AX=B, 其中012411210A，101B，答案：1131XAB又如：已知012411210A，101B，求1AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页17 / 20 2设矩阵 A =121511311，求逆矩阵1)(AI解：因为100113013010115105001121120IA，且1105200013100105011000210105010013101121000013100105011121003350105610001所以1123355610)(1AI3设矩阵 A =022011，B =210321，计算 (BA)-1解：因为 BA=210321022011=2435 (BAI )=1024111110240135542011112521023101所以 (BA)-1=2522314设矩阵3221,5321BA，求解矩阵方程BXA解：因为105301211310012113102501，即132553211所以 X =153213221=13253221= 11015求线性方程组03520230243214321431xxxxxxxxxxx的一般解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页18 / 20 解：因为111011101201351223111201A000011101201所以一般解为4324312xxxxxx（其中3x ，4x 是自由未知量） 6求线性方程组126142323252321321321xxxxxxxxx的一般解25231213121312130949094921461201881800001213101/ 91014/91014/ 9100000000A解：所以一般解为1941913231xxxx（其中3x 是自由未知量） 7设齐次线性方程组0830352023321321321xxxxxxxxx，问取何值时方程组有非零解，并求一般解 .解：因为系数矩阵 A =61011023183352231500110101所以当 = 5时，方程组有非零解 . 且一般解为3231xxxx（其中3x 是自由未知量）8当取何值时，线性方程组1542131321321xxxxxxxx有解？并求一般解 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页19 / 20 解： 因为增广矩阵111111111111111121410510162016210512140162000A所以当=0 时，线性方程组有无穷多解111111111051016201620162000000000000且一般解为26153231xxxx(x3是自由未知量注意：方程组如有未知参数，最好先把互换到最下行这类题也有如下的考法：当为何值时，线性方程组1234123412342124274112xxxxxxxxxxxx有解，并求一般解。13423434416555132337555(,xxxxxxxx答案：（）时有解，（）一般解为其中是自由未知量）9ba,为何值时，方程组baxxxxxxxxx3213213213221有唯一解，无穷多解，无解？1111111111111122021102111304110033Aababab解当3a且3b时，方程组无解；当3a，bR时方程组有唯一解；当3a且3b时，方程组有无穷多解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页20 / 20 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页