2021届课标版高考理科数学大一轮复习精练：4.4 解三角形（试题部分） .docx
4.4解三角形探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.正弦定理与余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2019课标,17,12分正弦定理、余弦定理三角恒等变换2018课标,6,5分余弦定理二倍角公式2.解三角形及其综合应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2017课标,17,12分余弦定理及三角形面积公式二倍角公式和同角三角函数的平方关系2017课标,17,12分正弦定理、余弦定理和三角形面积公式两角和的余弦公式2018课标,9,5分余弦定理和三角形面积公式特殊角的函数值2016课标,17,12分正弦、余弦定理和三角形面积公式两角和的正弦公式分析解读1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题时,需要综合应用这两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.本节内容是全国卷的必考内容,题型为一个小题或一个大题,难度中等、分值为5分或12分.破考点 练考向【考点集训】考点一正弦定理与余弦定理1.(2018广东百校联盟联考,6)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sin B,c=5,且cos C=56,则a=()A.22B.3C.32D.4答案B2.(2020届广东惠州第一次调研,14)在ABC中,B=4,AB=2,BC=3,则sin A=.答案310103.(2018广东茂名二模,14)已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边,a=4,b=5,c=6,则sin(A+B)sin2A=.答案1考点二解三角形及其综合应用1.(2018福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考,8)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b+csinA+sinB+sinC=233,A=3,b=1,则ABC的面积为()A.32B.34C.12D.14答案B2.(2019山西实验中学4月月考,10)设锐角ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=1,A=2C,则ABC周长的取值范围为()A.(0,2+2)B.(0,3+3)C.(2+2,3+3)D.(2+2,3+3答案C3.(2020届安徽合肥调研,16)在ABC中,A=2B,AB=73,BC=4,CD平分ACB交AB于点D,则线段AD的长为.答案1炼技法 提能力【方法集训】方法1利用正弦、余弦定理解三角形1.(2019广东七校第二次联考,11)已知ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且sin2A+sin2B-sin2Cc=sinAsinBacosB+bcosA,若a+b=4,则c的取值范围为()A.(0,4)B.2,4)C.1,4)D.(2,4答案B2.(2019河北唐山一模,7)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=3,c=4,设AB边上的高为h,则h=()A.152B.112C.3154D.3158答案D3.(2018湖南永州二模,15)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=2sin B,且a+b=3c,则角C的大小为.答案3方法2利用正弦、余弦定理判断三角形的形状1.(2018江西南城一中期中,6)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tanA-tanBtanA+tanB=c-bc,则这个三角形必含有()A.90的内角B.60的内角C.45的内角D.30的内角答案B2.(2019山西太原五中月考,8)在ABC中,已知2acos B=c,sin Asin B(2-cos C)=sin2C2+12,则ABC为()A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案D方法3与面积、范围有关的问题1.(2019河南郑州一模,5)在ABC中,三边长分别为a,a+2,a+4,最小角的余弦值为1314,则这个三角形的面积为()A.1534B.154C.2134D.3534答案A2.(2018吉林长春一模,15)在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若12b-sinCcos A=sin Acos C,且a=23,则ABC面积的最大值为.答案33【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一正弦定理与余弦定理1.(2018课标,6,5分)在ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.25答案A2.(2016课标,13,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=.答案21133.(2019课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.解析本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12.因为0<A<180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(120-C)=2sin C,即62+32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60)=-22.由于0<C<120,所以sin(C+60)=22,故sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60=6+24.思路分析(1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,进而得出角A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正弦、余弦的等式,利用角度变换求出sin C.4.(2018课标,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解析(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB<90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.考点二解三角形及其综合应用1.(2018课标,9,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.2B.3C.4D.6答案C2.(2019课标,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,则ABC的面积为.答案633.(2015课标,16,5分)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.答案(6-2,6+2)4.(2019课标,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.解析本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)由题设及正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin A.因为sin A0,所以sinA+C2=sin B.由A+B+C=180,可得sinA+C2=cosB2,故cosB2=2sinB2cosB2.因为cosB20,故sinB2=12,因此B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+12.由于ABC为锐角三角形,故0<A<90,0<C<90.由(1)知A+C=120,所以30<C<90,故12<a<2,从而38<SABC<32.因此,ABC面积的取值范围是38,32.思路分析(1)用正弦定理将边化成角,再利用三角恒等变换求解角B.(2)用正弦定理先表示出边a,再用面积公式和锐角三角形的性质求出角C的范围,进而求出ABC面积的取值范围.5.(2017课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2B2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.解析(1)由题设及A+B+C=得sin B=8sin2B2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,结合sin2B=1-cos2B,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去)或cos B=1517.(2)由cos B=1517得sin B=817,故SABC=12acsin B=417ac.又SABC=2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-21721+1517=4.所以b=2.6.(2017课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为a23sinA.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.解析本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力.(1)由题设得12acsin B=a23sinA,即12csin B=a3sinA.由正弦定理得12sin Csin B=sinA3sinA.故sin Bsin C=23.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=23,故A=3.由题设得12bcsin A=a23sinA,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故ABC的周长为3+33.思路分析(1)首先利用三角形的面积公式可得12acsin B=a23sinA,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出sin Bsin C的值;(2)首先利用sin Bsin C的值以及题目中给出的6cos Bcos C=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,进而得出ABC的周长.方法总结解三角形的综合应用:(1) 应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计算,例如:将 12csin B=a3sinA变形为12sin Csin B=sinA3sinA.(2)三角形面积公式:S=12absin C=12acsin B=12bcsin A.(3)三角形的内角和为.这一性质经常在三角化简中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+C)=sin A.7.(2017课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解析(1)由已知可得tan A=-3,所以A=23.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos23,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去)或c=4.(2)解法一:由题设可得CAD=2,所以BAD=BAC-CAD=6.故ABD面积与ACD面积的比值为12ABADsin612ACAD=1.又ABC的面积为1242sinBAC=23,所以ABD的面积为3.解法二:由余弦定理得cos C=27,在RtACD中,CAD=90,cos C=ACCD,CD=7,AD=3,DB=CD=7,SABD=SACD=1227sin C=737=3.解法三:BAD=6,由余弦定理得cos C=27,CD=7,AD=3,SABD=1243sinDAB=3.解法四:过B作BE垂直AD,交AD的延长线于E,在ABE中,EAB=23-2=6,AB=4,BE=2,BE=CA,从而可得ADCEDB,BD=DC,即D为BC中点,SABD=12SABC=121224sinCAB=3.B组自主命题省(区、市)卷题组考点一正弦定理与余弦定理1.(2017山东,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A2.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=13,BC=3,C=120,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A3.(2019浙江,14,6分)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD=,cosABD=.答案1225;72104.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60,则sin B=,c=.答案217;35.(2019天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;(2)求sin2B+6的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.体现了对数学运算这一核心素养的重视.(1)在ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,得bsin C=csin B,又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=43a,c=23a.由余弦定理可得cos B=a2+c2-b22ac=a2+49a2-169a22a23a=-14.(2)由(1)可得sin B=1-cos2B=154,从而sin 2B=2sin Bcos B=-158,cos 2B=cos2B-sin2B=-78,故sin2B+6=sin 2Bcos 6+cos 2Bsin 6=-15832-7812=-35+716.思路分析(1)由已知边角关系:3csin B=4asin C利用正弦定理,得三边比例关系,根据余弦定理即可求出cos B.(2)由(1)利用同角三角函数基本关系式,求出sin B,再由二倍角公式求出sin 2B、cos 2B,代入两角和的正弦公式即可求出sin2B+6的值.易错警示角B为三角形内角,故sin B>0,由cos B求sin B仅有一正解.6.(2019北京,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12.(1)求b,c的值;(2)求sin(B-C)的值.解析本题主要考查正弦、余弦定理,同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式等知识点,考查学生的运算能力,以及利用方程思想解决数学问题的能力,同时体现了直观想象的核心素养.(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b2=32+c2-23c-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c-12.解得c=5.所以b=7.(2)由cos B=-12得sin B=32.由正弦定理得sin C=cbsin B=5314.在ABC中,B是钝角,所以C为锐角.所以cos C=1-sin2C=1114.所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=437.7.(2019江苏,15,14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=2,cos B=23,求c的值;(2)若sinAa=cosB2b,求sinB+2的值.解析本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.(1)因为a=3c,b=2,cos B=23,由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac,得23=(3c)2+c2-(2)223cc,即c2=13.所以c=33.(2)因为sinAa=cosB2b,由正弦定理asinA=bsinB,得cosB2b=sinBb,所以cos B=2sin B.从而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=45.因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B=255.因此sinB+2=cos B=255.8.(2018天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsin A=asin B,又由bsin A=acosB-6,得asin B=acosB-6,即sin B=cosB-6,可得tan B=3.又因为B(0,),可得B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=7.由bsin A=acosB-6,可得sin A=37.又a<c,故cos A=27.因此sin 2A=2sin Acos A=437,cos 2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=43712-1732=3314.解题关键(1)利用正弦定理合理转化bsin A=acosB-6是求解第(1)问的关键;(2)由余弦定理及已知条件求得sin A,利用a<c确定cos A>0是求解第(2)问的关键.失分警示(1)忽略a<c这一条件,从而导致cos A有两个值,最终结果出现增解;(2)不能熟记二倍角公式以及两角差的正弦公式,从而导致结果出错.考点二解三角形及其综合应用1.(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.答案92.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.答案152;1043.(2018北京,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求A;(2)求AC边上的高.解析(1)在ABC中,因为cos B=-17,所以sin B=1-cos2B=437.由正弦定理得sin A=asinBb=32.由题设知2<B<,所以0<A<2.所以A=3.(2)在ABC中,因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=3314,所以AC边上的高为asin C=73314=332.方法总结处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.4.(2017天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=35.(1)求b和sin A的值;(2)求sin2A+4的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.(1)在ABC中,因为a>b,故由sin B=35,可得cos B=45.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=13.由正弦定理asinA=bsinB,得sin A=asinBb=31313.所以,b的值为13,sin A的值为31313.(2)由(1)及a<c,得cos A=21313,所以sin 2A=2sin Acos A=1213,cos 2A=1-2sin2A=-513.故sin2A+4=sin 2Acos4+cos 2Asin4=7226.方法总结1.利用正、余弦定理求边或角的步骤:(1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出;(2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解;(3)在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用.2.解决三角函数及解三角形问题的满分策略:(1)认真审题,把握变形方向;(2)规范书写,合理选择公式;(3)计算准确,注意符号.C组教师专用题组考点一正弦定理与余弦定理1.(2016课标,8,5分)在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则cos A=()A.31010B.1010C.-1010D.-31010答案C2.(2014课标,4,5分)钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=2,则AC=()A.5B.5C.2D.1答案B3.(2015天津,13,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为315,b-c=2,cos A=-14,则a的值为.答案84.(2015广东,11,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,sin B=12,C=6,则b=.答案15.(2015重庆,13,5分)在ABC中,B=120,AB=2,A的角平分线AD=3,则AC=.答案66.(2015北京,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC=.答案17.(2015福建,12,4分)若锐角ABC的面积为103,且AB=5,AC=8,则BC等于.答案78.(2016浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=a24,求角A的大小.解析(1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).由已知得cos B>0,则B0,2.又A(0,),故-2<A-B<.所以,B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=a24得12absin C=a24,故有sin Bsin C=12sin 2B=sin Bcos B,因sin B0,得sin C=cos B.又B0,2,C(0,),所以C=2B.当B+C=2时,A=2;当C-B=2时,A=4.综上,A=2或A=4.评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.9.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=34,AB=6,AC=32,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(32)2+62-2326cos34=18+36-(-36)=90,所以a=310.又由正弦定理得sin B=bsinBACa=3310=1010,由题设知0<B<4,所以cos B=1-sin2B=1-110=31010.在ABD中,由正弦定理得AD=ABsinBsin(-2B)=6sinB2sinBcosB=3cosB=10.考点二解三角形及其综合应用1.(2014课标,16,5分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为.答案32.(2016课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.因为A+B+C=,故2cos Csin C=sin C.(4分)可得cos C=12,又C(0,),所以C=3.(6分)(2)由已知,得12absin C=332.又C=3,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.a+b=5.(10分)所以ABC的周长为5+7.(12分)3.(2017北京,15,13分)在ABC中,A=60,c=37a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面积.解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1)在ABC中,因为A=60,c=37a,所以由正弦定理得sin C=csinAa=3732=3314.(2)因为a=7,所以c=377=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b312,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面积S=12bcsin A=128332=63.解后反思根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.4.(2016山东,16,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=tanAcosB+tanBcosA.(1)证明:a+b=2c;(2)求cos C的最小值.解析(1)证明:由题意知2sinAcosA+sinBcosB=sinAcosAcosB+sinBcosAcosB,化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,即2sin(A+B)=sin A+sin B.因为A+B+C=,所以sin(A+B)=sin(-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=a+b2,所以cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-a+b222ab=38ab+ba-1412,当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为12.5.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B的大小;(2)求2cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cos B=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.又因为0<B<,所以B=4.(6分)(2)由(1)知A+C=34.2cos A+cos C=2cos A+cos34-A=2cos A-22cos A+22sin A=22cos A+22sin A=cosA-4.(11分)因为0<A<34,所以当A=4时,2cos A+cos C取得最大值1.(13分)6.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.解析(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.+2得AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.7.(2015陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求ABC的面积.解析(1)因为mn,所以asin B-3bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-3sin Bcos A=0,又sin B0,从而tan A=3,由于0<A<,所以A=3.(2)解法一:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及a=7,b=2,A=3,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0.因为c>0,所以c=3.故ABC的面积为12bcsin A=332.解法二:由正弦定理,得7sin3=2sinB,从而sin B=217.又由a>b,知A>B,所以cos B=277.因为A+B+C=,故sin C=sin(A+B)=sinB+3=sin Bcos3+cos Bsin3=32114.所以ABC的面积为12absin C=332.8.(2015湖南,17,12分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=2;(2)求sin A+sin C的取值范围.解析(1)证明:由a=btan A及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sin B=cos A,即sin B=sin2+A.又B为钝角,因此2+A2,故B=2+A,即B-A=2.(2)由(1)知,C=-(A+B)=-2A+2=2-2A>0,所以A0,4.于是sin A+sin C=sin A+sin2-2A=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2sinA-142+98.因为0<A<4,所以0<sin A<22,因此22<-2sinA-142+9898.由此可知sin A+sin C的取值范围是22,98.9.(2015浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=4,b2-a2=12c2.(1)求tan C的值;(2)若ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=12c2及正弦定理得sin2B-12=12sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=4,即B+C=34,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C(0,)得sin C=255,cos C=55.又因为A+B+C=,所以sin B=sin(A+C)=sin4+C,所以sin B=31010.由正弦定理得c=223b,又因为A=4,12bcsin A=3,所以bc=62,故b=3.评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2019湘东六校3月联考,5)若ABC的三个内角满足6sin A=4sin B=3sin C,则ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能答案C2.(2018山东菏泽3月联考,8)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B-c-b2=0,a2=72bc,b>c,则bc=()A.32B.2C.3D.52答案B3.(2020届四川成都毕业班摸底考试,7)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a、b、c.若向量m=(a,-cos A),n=(cos C,2b-c),且mn=0,则角A的大小为()A.6B.4C.3D.2答案B4.(2019山西3月质检,9)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,a(2sin B-3cos C)=3ccos A,点G是ABC的重心,且AG=133,则ABC的面积为()A.3B.32C.3或23D.334或3答案D5.(2019河南六市3月联考,10)在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a-cb=cosCcosB,b=4,则ABC的面积的最大值为()A.43B.23C.33D.3答案A6.(2020届湖北部分重点中学新起点考试,11)在ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且cosAa+co
