2021届课标版高考理科数学大一轮复习精练：专题十六　不等式选讲（试题部分） .docx

专题十六不等式选讲探考情 悟真题【真题探秘】【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.绝对值不等式(1)理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式几何意义证明以下不等式:|a+b|a|+|b|.|a-b|a-c|+|c-b|.(2)会利用绝对值的几何意求解以下类型的不等式: |ax+b|c;|ax+b|c;|x-a|+|x-b|c.(3)了解证明不等式的基本法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法2019课标,23,10分2018课标,23,10分解绝对值不等式,含有绝对值的恒成立、参数取值范围的问题不等式的性质和解法2017课标,23,10分2017课标,23,10分解绝对值不等式,含有绝对值的存在性、参数取值范围的问题不等式的性质和解法2016课标,24,10分画绝对值函数的图象,解绝对值不等式不等式的性质和解法2.不等式的证明2019课标,23,10分2019课标,23,10分2017课标,23,10分不等式的证明基本不等式分析解读从近五年的考查情况来看,本专题内容是高考的考查热点,主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明,多以解答题的形式呈现,难度中等,分值为10分.主要考查学生的数学运算能力、分类讨论思想和数形结合思想的应用.破考点 练考向【考点集训】考点一绝对值不等式1.(2020届云南昆明第二次月考,23)已知函数f(x)=|ax-1|(a>0).(1)设不等式f(x)2的解集为A,集合B=x|-2<x<2,若AB,求实数a的取值范围;(2)若不等式f(x)+f1ax+2a>32对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)由|ax-1|2,得-2ax-12,又a>0,-1ax3a,得A=-1a,3a.B=x|-2<x<2,且AB,-1a>-2,3a<2,解得a>12,a>32,a>32.a的取值范围是32,+.(4分)(2)由题意,得|ax-1|+|x+1|>32对一切实数x恒成立,设h(x)=|ax-1|+|x+1|,因为a>0,所以h(x)=-(a+1)x,x<-1,(1-a)x+2,-1x1a,(a+1)x,x>1a,(6分)所以h(x)在(-,-1)上单调递减,在1a,+上单调递增,(7分)当0<a1时,h(x)在-1,1a上单调递增,h(x)min=h(-1)=a+1>32,12<a1.(8分)当a>1时,h(x)在-1,1a上单调递减,h(x)min=h1a=1a+1>32,1<a<2.(9分)综上所述,a的取值范围是12,2.(10分)2.(2018豫南九校5月联考,23)已知函数f(x)=|x+1|+|x-3|.(1)若关于x的不等式f(x)<a有解,求实数a的取值范围;(2)若关于x的不等式f(x)<a的解集为b,72,求a+b的值.解析(1)不等式等价于a>f(x)min, f(x)=2x-2,x>3,4,-1x3,2-2x,x<-1,绘制函数f(x)的图象如图所示,观察函数的图象,可得实数a的取值范围是(4,+).(2)由题意可得x=72是方程|x+1|+|x-3|=a的解,所以a=72+1+72-3=5,求解绝对值不等式|x+1|+|x-3|<5可得-32<x<72.故b=-32,a+b=5-32=72.考点二不等式的证明1.(2020届山西太原五中10月月考,23)设函数f(x)=|x+1|+|x-1|,已知不等式f(x)23的解集为M.(1)求M;(2)当a,bM时,证明:3|a+b|ab+3|.解析(1)f(x)=|x+1|+|x-1|=-2x,x<-1,2,-1x1,2x,x>1.当x<-1时,由-2x23,得x-3;当-1x1时, f(x)=223;当x>1时,由2x23,得x3.所以M=-3,3.(2)证明:当a,bM,即-3a,b3时,3(a+b)2-(3+ab)2=3(a2+2ab+b2)-(9+6ab+a2b2)=(a2-3)(3-b2)0,3(a+b)2(3+ab)2,3|a+b|3+ab|.2.(2019河南郑州二模,23)关于x的不等式|x-2|<m(mN*)的解集为A,且32A,12A.(1)求m的值;(2)若a,b,c均为正实数,且ab+bc+ca=mabc,求证:a+4b+9c36.解析(1)32A,12A,32-2<m,12-2m,12<m32,mN*,m=1.(2)证明:由(1)及已知得1a+1b+1c=1,又a,b,c均为正实数,a+4b+9c=(a+4b+9c)1a+1b+1c=14+4ba+ab+9ca+ac+9cb+4bc14+24baab+29caac+29cb4bc=36,当且仅当a=2b=3c时等号成立,故a+4b+9c36.思路分析(1)根据题意可得32-2<m,12-2m,即可求出m的值;(2)由(1)及已知条件得1a+1b+1c=1,再利用1的代换构造基本不等式即可证明.炼技法 提能力【方法集训】方法1含绝对值不等式的解法1.(2020届武汉第十六中学开学考试,23)已知函数f(x)=|x-a|+|x+1|.(1)若a=2,求不等式f(x)>x+2的解集;(2)如果关于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,求实数a的取值范围.解析(1)当a=2时, f(x)=-2x+1(x<-1),3(-1x<2),2x-1(x2),不等式f(x)>x+2等价于x<-1,-2x+1>x+2或-1x<2,3>x+2或x2,2x-1>x+2,解得x<1或x>3.故原不等式的解集为x|x<1或x>3.(2)f(x)=|x-a|+|x+1|(x-a)-(x+1)|=|a+1|,当(x-a)(x+1)0时取等号,若关于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,只需|a+1|<2,解得-3<a<1,即实数a的取值范围是(-3,1).2.(2019安徽合肥第一次教学质量检测,23)设函数f(x)=|x+1|.(1)若f(x)+2x>2,求实数x的取值范围;(2)设g(x)=f(x)+f(ax)(a>1),若g(x)的最小值为12,求a的值.解析(1)f(x)+2x>2即|x+1|>2-2xx+10,x+1>2-2x或x+1<0,-x-1>2-2xx>13,实数x的取值范围是13,+.(2)a>1,-1<-1a<0,g(x)=-(a+1)x-2,x(-,-1),(1-a)x,x-1,-1a,(a+1)x+2,x-1a,+.易知函数g(x)在-,-1a上单调递减,在-1a,+上单调递增,g(x)min=g-1a=1-1a.1-1a=12,解得a=2.方法2与绝对值不等式有关的最值问题1.(2020届甘肃顶级名校阶段测试一,23)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|a-x|+|x+b|+c.(1)当a=b=c=1时,求不等式f(x)>3的解集;(2)当f(x)的最小值为3时,求1a+1b+1c的最小值.解析(1)f(x)=|x-1|+|x+1|+1,x-1,1-2x>3或-1<x<1,3>3或x1,2x+1>3,解得x<-1或x>1,故原不等式的解集为x|x<-1或x>1.(2)f(x)=|x-a|+|x+b|+c|a-x+x+b|+c=|a+b|+c=a+b+c=3,1a+1b+1c=13(a+b+c)1a+1b+1c=133+ba+ab+ca+ac+cb+bc13(3+2+2+2)=3,当且仅当a=b=c=1时取等号,故1a+1b+1c的最小值为3.2.(2019安徽黄山第二次质量检测,12)已知f(x)=|2-x|-|4-x|.(1)关于x的不等式f(x)a2-3a恒成立,求实数a的取值范围;(2)若f(m)+f(n)=4,且m<n,求m+n的取值范围.解析(1)f(x)=2(x4),2x-6(2<x<4),-2(x2),f(x)min=-2,(3分)f(x)a2-3a恒成立,a2-3af(x)min=-2,解得1a2.(5分)(2)由(1)知f(x)max=2,f(m)2, f(n)2,则f(m)+f(n)4,(8分)又f(m)+f(n)=4,所以f(m)=f(n)=2,于是n>m4,故m+n>8.(10分)【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一绝对值不等式1.(2019课标,23,10分)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x(-,1)时, f(x)<0,求a的取值范围.解析本题考查不等式的基本性质,绝对值不等式的求解,以及含有参数的绝对值不等式恒成立问题.通过对绝对值不等式的分类讨论考查学生的化归与转化的能力,体现了逻辑推理的核心素养.(1)当a=1时, f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x<1时, f(x)=-2(x-1)2<0;当x1时, f(x)0.所以,不等式f(x)<0的解集为(-,1).(2)因为f(a)=0,所以a1,当a1,x(-,1)时, f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0,所以,a的取值范围是1,+).思路分析(1)当a=1时,求解绝对值不等式只需分类讨论去掉绝对值.(2)首先关注f(a)=0,求得a1,这样不需要分类讨论就可以去掉绝对值,得到f(x)=2(a-x)(x-1)<0,求解即可.2.(2018课标,23,10分)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.解析(1)当a=1时, f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x-1,2x,-1<x<1,2,x1.故不等式f(x)>1的解集为xx>12.(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|<1成立.若a0,则当x(0,1)时|ax-1|1;若a>0,则|ax-1|<1的解集为x|0<x<2a,所以2a1,故0<a2.综上,a的取值范围为(0,2.方法技巧1.研究含有绝对值的函数问题时,常根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,从而转化为分段函数来解决.2.对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题,常利用绝对值三角不等式解决.3.不等式的恒成立问题可转化为函数的最值问题.注意在xD上,当f(x)存在最小值时, f(x)>a恒成立a<f(x)min,当f(x)存在最大值时, f(x)<a恒成立a>f(x)max.3.(2018课标,23,10分)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x0,+)时, f(x)ax+b,求a+b的最小值.解析本题考查函数的图象与绝对值不等式恒成立问题.(1)f(x)=-3x,x<-12,x+2,-12x<1,3x,x1.y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a3且b2时, f(x)ax+b在0,+)成立,因此a+b的最小值为5.易错警示对“零点分段法”的理解不到位若不等式含有两个或两个以上的绝对值并含有未知数,通常先把每个绝对值内代数式等于零时的未知数的值求出(即零点),然后将这些零点标在数轴上,此时数轴被零点分成了若干段(区间),在每一区间里,每一个绝对值符号内的代数式的符号确定,此时利用绝对值的定义可以去掉绝对值符号.解后反思绝对值不等式问题常见类型及解题策略(1)直接求解不等式,主要利用绝对值的意义、不等式的性质想办法去掉绝对值符号求解.(2)已知不等式的解集求参数值,利用绝对值三角不等式或函数求相应最值,再求参数的取值范围.4.(2017课标,23,10分)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.解析本题考查含绝对值的不等式的解法,考查学生的运算求解能力以及对数形结合思想的应用能力.(1)解法一(零点分段法):当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.当x<-1时,式化为x2-3x-40,无解;当-1x1时,式化为x2-x-20,从而-1x1;当x>1时,式化为x2+x-40,从而1<x-1+172.所以f(x)g(x)的解集为x|-1x-1+172.解法二(图象法):由已知可得g(x)=2x,x>1,2,-1x1,-2x,x<-1,当a=1时, f(x)=-x2+x+4,两个函数的图象如图所示.易得图中两条曲线的交点坐标为(-1,2)和-1+172,-1+17,所以f(x)g(x)的解集为x|-1x-1+172.(2)解法一(等价转化法):当x-1,1时,g(x)=2.所以f(x)g(x)的解集包含-1,1等价于当x-1,1时f(x)2.又f(x)在-1,1内的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)2且f(1)2,得-1a1.所以a的取值范围为-1,1.解法二(分类讨论法):当x-1,1时,g(x)=2,所以f(x)g(x)的解集包含-1,1等价于x-1,1时f(x)2,即-x2+ax+42,当x=0时,-x2+ax+42成立;当x(0,1时,-x2+ax+42可化为ax-2x,而y=x-2x在(0,1单调递增,最大值为-1,所以a-1;当x-1,0)时,-x2+ax+42可化为ax-2x,而y=x-2x在-1,0)单调递增,最小值为1,所以a1.综上,a的取值范围为-1,1.思路分析(1)利用零点分段法或图象法解含绝对值的不等式;(2)根据题设可去掉绝对值,进而转化为不等式恒成立问题进行求解.方法总结含绝对值不等式问题的常见解法:(1)含绝对值的不等式求解问题,常利用零点分段讨论法或数形结合法求解.(2)与恒成立相关的求参问题,常构造函数转化为求最值问题.5.(2016课标,24,10分)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当xR时, f(x)+g(x)3,求a的取值范围.解析(1)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+26得-1x3.因此f(x)6的解集为x|-1x3.(5分)(2)当xR时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当xR时, f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3.(7分)当a1时,等价于1-a+a3,无解.当a>1时,等价于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范围是2,+).(10分)方法指导(1)将a=2代入不等式,化简后去绝对值求解;(2)要使f(x)+g(x)3恒成立,只需f(x)+g(x)的最小值3即可,利用|a|+|b|ab|可求最值.考点二不等式的证明1.(2019课标,23,10分)设x,y,zR,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)213成立,证明:a-3或a-1.解析本题主要考查不等式的证明以及基本不等式的应用,考查学生推理论证的能力,考查了逻辑推理的核心素养.(1)由于(x-1)+(y+1)+(z+1)2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)3(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2,故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)243,当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明:由于(x-2)+(y-1)+(z-a)2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)3(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2,故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2(2+a)23,当且仅当x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)2313,解得a-3或a-1.难点突破(1)考虑到x+y+z=1,(x-1)+(y+1)+(z+1)=(x+y+z)+1=2,将x-1,y+1,z+1分别看作一个整体,转化为已知三数之和为定值,求它们平方和最小值的问题.和的平方与平方和之间存在等量关系(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,借助基本不等式可消去乘积,得到(a+b+c)23(a2+b2+c2).(2)只需证明(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2min13,求(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2min的方法同第(1)问.2.(2017课标,23,10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.证明本题考查不等式的证明.(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+3(a+b)24(a+b)=2+3(a+b)34,所以(a+b)38,因此a+b2.失分警示运用直接法证明不等式时,可以通过分析和应用条件逐步逼近结论,在证明过程中易因逻辑混乱而失分.B组自主命题省(区、市)卷题组考点一绝对值不等式1.(2015重庆,16,5分)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=.答案-6或42.(2019江苏,21C,10分)设xR,解不等式|x|+|2x-1|>2.解析本题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.当x<0时,原不等式可化为-x+1-2x>2,解得x<-13;当0x12时,原不等式可化为x+1-2x>2,即x<-1,无解;当x>12时,原不等式可化为x+2x-1>2,解得x>1.综上,原不等式的解集为x|x<-13或x>1.考点二不等式的证明1.(2016江苏,21D,10分)设a>0,|x-1|<a3,|y-2|<a3,求证:|2x+y-4|<a.证明因为|x-1|<a3,|y-2|<a3,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|2|x-1|+|y-2|<2a3+a3=a.2.(2015湖南,16(3),6分)设a>0,b>0,且a+b=1a+1b.证明:(1)a+b2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.证明由a+b=1a+1b=a+bab,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2ab=2,即a+b2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.C组教师专用题组考点一绝对值不等式1.(2015山东,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-,4)B.(-,1)C.(1,4)D.(1,5)答案A2.(2018课标,23,10分)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范围.解析(1)当a=1时, f(x)=2x+4,x-1,2,-1<x2,-2x+6,x>2.可得f(x)0的解集为x|-2x3.(2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)1等价于|a+2|4.由|a+2|4可得a-6或a2.所以a的取值范围是(-,-62,+).方法总结解含有两个或两个以上绝对值的不等式,常用零点分段法或数形结合法求解;求含有两个或两个以上绝对值的函数的最值,常用绝对值三角不等式或数形结合法求解.3.(2016课标,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.解析(1)f(x)=x-4,x-1,3x-2,-1<x32,-x+4,x>32,(3分)y=f(x)的图象如图所示.(5分)(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;(6分)当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,(7分)故f(x)>1的解集为x|1<x<3;f(x)<-1的解集为x|x<13或x>5.(9分)所以|f(x)|>1的解集为x|x<13或1<x<3或x>5.(10分)4.(2016课标,24,10分)已知函数f(x)=x-12+x+12,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|<|1+ab|.解析(1)f(x)=-2x,x-12,1,-12<x<12,2x,x12.(2分)当x-12时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;(3分)当-12<x<12时, f(x)<2恒成立;(4分)当x12时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.(5分)所以f(x)<2的解集M=x|-1<x<1.(6分)(2)证明:由(1)知,当a,bM时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.(10分)5.(2015课标,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解析(1)当a=1时, f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得23<x<1;当x1时,不等式化为-x+2>0,解得1x<2.所以f(x)>1的解集为x23<x<2.(5分)(2)由题设可得, f(x)=x-1-2a,x<-1,3x+1-2a,-1xa,-x+1+2a,x>a.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),ABC的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+).(10分)解后反思分类讨论解不等式应做到不重不漏,在某个区间上解不等式时一定要注意区间的限制性.6.(2015江苏,21D,10分)解不等式x+|2x+3|2.解析原不等式可化为x<-32,-x-32或x-32,3x+32.解得x-5或x-13.综上,原不等式的解集是x|x-5或x-13.7.(2013课标,24,10分)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x-a2,12时, f(x)g(x),求a的取值范围.解析(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=-5x,x<12,-x-2,12x1,3x-6,x>1.其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是x|0<x<2.(2)当x-a2,12时, f(x)=1+a.不等式f(x)g(x)化为1+ax+3.所以xa-2对x-a2,12都成立.故-a2a-2,即a43.从而a的取值范围是-1,43.方法总结(1)解含有绝对值符号的不等式的关键是去掉绝对值符号,可利用零点分段讨论法把绝对值不等式转化为我们熟悉的一元一次不等式或一元二次不等式,也可设出函数,利用函数图象解决.(2)对于不等式恒成立求参数问题,常分离参数,进而构造函数,转化为求最值问题.考点二不等式的证明1.(2017江苏,21D,10分)已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明:ac+bd8.证明本小题主要考查不等式的证明,考查推理论证能力.由柯西不等式可得:(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).因为a2+b2=4,c2+d2=16,所以(ac+bd)264,因此ac+bd8.2.(2015课标,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则a+b> c+d;(2)a+b> c+d是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明(1)因为(a+b)2=a+b+2ab,(c+d)2=c+d+2cd,由题设a+b=c+d,ab>cd得(a+b)2>(c+d)2.因此a+b>c+d.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得a+b>c+d.(ii)若a+b>c+d,则(a+b)2>(c+d)2,即a+b+2ab>c+d+2cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要条件.思路分析(1)证明(a+b)2>(c+d)2即可.(2)两不等式的两边都为非负数,可通过两边平方来证明.易错警示在证明充要条件时,既要证明充分性,也要证明必要性,否则会扣分.3.(2014课标,24,10分)设函数f(x)=x+1a+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.解析(1)证明:由a>0,得f(x)=x+1a+|x-a|x+1a-(x-a)=1a+a2.所以f(x)2.(2)f(3)=3+1a+|3-a|.当a>3时, f(3)=a+1a,由f(3)<5得3<a<5+212.当0<a3时, f(3)=6-a+1a,由f(3)<5得1+52<a3.综上,a的取值范围是1+52,5+212.本题考查了含绝对值不等式的解法,考查了分类讨论思想.4.(2013课标,24,10分)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca13;(2)a2b+b2c+c2a1.证明(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca13.(2)因为a2b+b2a,b2c+c2b,c2a+a2c,故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)2(a+b+c),即a2b+b2c+c2aa+b+c.所以a2b+b2c+c2a1.思路分析(1)利用a2+b22ab及(a+b+c)2=1证明不等式.(2)a+b+c=1,原不等式可转化为a2b+b2c+c2a+(a+b+c)2(a+b+c).两两结合,利用基本不等式证明.【三年模拟】解答题(共80分)1.(2020届四川天府名校第一轮联考,23)关于x的不等式|x+m|n的解集为-6,2.(1)求实数m,n的值;(2)若实数y,z满足|my+z|<13,|y-nz|<13,求证:|z|<19.解析(1)由|x+m|n,得-nx+mn,即-n-mxn-m,则-n-m=-6,n-m=2,解得m=2,n=4.(2)证明:由(1)可知|2y+z|<13,|y-4z|<13,所以9|z|=|(2y+z)-2(y-4z)|2y+z|+2|y-4z|<13+213=1,所以|z|<19.2.(2020届四川成都外国语学校10月阶段性检测,23)已知a0,b0, f(x)=|x+a|+|2x-b|.(1)若a=0,b=2,求f(x)2的解集;(2)若f(x)的最小值为1,求a+b的最大值.解析(1)f(x)=|x|+|2x-2|=3x-2,x1,2-x,0x<1,-3x+2,x<0,x1,3x-22或0x<1,2-x2或x<0,-3x+22,解得0x43.故f(x)2的解集为0,43.(2)易知f(x)min=fb2=a+b2=1,2a+b=2.(a+b)2=2a22+b12(2a+b)12+1=3(柯西不等式),当且仅当2a+b=2,2ab=22,即a=13,b=43时等号成立,a+b的最大值为3.3.(2020届辽宁沈阳铁路实验中学10月月考,23)已知函数f(x)=|x-a|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|-1x5,求实数a的值;(2)在(1)的条件下,若存在xR使得f(x)+f(x+5)m成立,求实数m的取值范围.解析本题考查根据绝对值不等式的解集求解参数值,存在性问题,考查学生的数学运算能力.(1)由f(x)3得|x-a|3,即-3x-a3,解得a-3xa+3,又f(x)3的解集为x|-1x5,a-3=-1,a+3=5,解得a=2.(2)当a=2时, f(x)=|x-2|,f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3x2时取等号),m5时,存在xR,使得f(x)+f(x+5)m,m的取值范围为5,+).4.(2020届云南名校适应性统考,23)已知a,b,c,d为正数,且满足abcd=1,证明:(1)(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)16;(2)1ab+1bc+1cd+1ada2+b2+c2+d2.证明本题考查了不等式的证明,重点考查了基本不等式的应用,意在考查等价转化思想和逻辑推理能力.(1)因为a,b,c,d为正数,所以a+b2ab,b+c2bc,c+d2cd,d+a2ad(当且仅当a=b=c=d时等号同时成立),所以(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)2ab2bc2cd2ad=16abcd.又abcd=1,所以(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)16(当且仅当a=b=c=d时等号成立).(2)因为abcd=1,所以1ab+1bc+1cd+1ad=1ab+1bc+1cd+1adabcd=cd+ad+ab+bc.又2(a2+b2+c2+d2)=(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+d2)+(d2+a2)2ab+2bc+2cd+2da(当且仅当a=b=c=d时等号成立),所以2(a2+b2+c2+d2)21ab+1bc+1cd+1ad,即1ab+1bc+1cd+1ada2+b2+c2+d2(当且仅当a=b=c=d时等号成立).5.(2020届河南洛阳尖子生第一次联考,23)设函数f(x)=x-|x+2|-|x-3|-m,若xR,1m-4f(x)恒成立.(1)求实数m的取值范围;(2)求证:log(m+1)(m+2)>log(m+2)(m+3).解析(1)xR,1m-4f(x)恒成立,m+1mx-|x+2|-|x-3|+4恒成立.令g(x)=x-|x+2|-|x-3|+4=3x+3,x<-2,x-1,-2x3,-x+5,x>3.函数g(x)在(-,3上是增函数,在(3,+)上是减函数.(3分)g(x)max=g(3)=2,m+1mg(x)max=2,(4分)即m+1m-20m2-2m+1m=(m-1)2m0,m>0,实数m的取值范围是(0,+).(5分)(2)证明:由m>0,知m+3>m+2>m+1>1,则lg(m+3)>lg(m+2)>lg(m+1)>lg 1=0.要证log(m+1)(m+2)>log(m+2)(m+3),只需证lg(m+2)lg(m+1)>lg(m+3)lg(m+2),即证lg(m+1)lg(m+3)<lg2(m+2),又lg(m+1)lg(m+3)<lg(m+1)+lg(m+3)22=lg(m2+4m+3)24<lg(m2+4m+4)24=lg2(m+2),log(m+1)(m+2)>log(m+2)(m+3)成立.(10分)6.(2019湖南百所重点名校大联考,23)已知函数f(x)=x2-6x+9+x2+8x+16.(1)求f(x)f(4)的解集;(2)设函数g(x)=k(x-3),kR,若f(x)>g(x)对任意的xR都成立,求实数k的取值范围.解析(1)f(x)=x2-6x+9+x2+8x+16=(x-3)2+(x+4)2=|x-3|+|x+4|,f(x)f(4)即|x-3|+|x+4|9,x-4,3-x-x-49或-4<x<3,3-x+x+49或x3,x-