2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§9.4 双曲线及其性质（试题部分） .docx

9.4双曲线及其性质探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点双曲线的定义及标准方程了解双曲线的定义、几何性质和标准方程,知道它的简单几何性质2019课标全国,10,5分双曲线的定义及双曲线的标准方程2018课标全国,6,5分双曲线的渐近线方程双曲线的几何性质2019课标全国,12,5分双曲线的离心率圆的性质直线与双曲线的位置关系2019课标全国,10,5分双曲线的离心率同角三角函数的基本关系式分析解读从近几年的高考题来看,双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,难度不大,属中档题目,灵活运用双曲线的定义和几何性质是解决双曲线问题的关键.主要考查学生分析问题、解决问题的能力以及对数形结合思想和转化与化归思想的应用.破考点 练考向【考点集训】考点一双曲线的定义及标准方程1.(2019安徽合肥一模,3)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为4,一条渐近线为y=12x,则双曲线C的方程为()A.x216-y24=1B.x24-y216=1C.x264-y216=1D.x2-y24=1答案A2.(2019四川成都外国语学校二诊,8)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x=0的夹角为30,若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为83,则双曲线C的标准方程为()A.x24-y212=1B.x24-y28=1C.x212-y24=1D.x28-y24=1答案A3.已知点P在曲线C1:x216-y29=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是()A.6B.8C.10D.12答案C考点二双曲线的几何性质1.(2019福建泉州五中月考,6)已知双曲线的方程为x24-y29=1,则下列关于双曲线的说法正确的是()A.虚轴长为4B.焦距为25C.离心率为133D.渐近线方程为3x2y=0答案D2.(2019课标全国,12,5分)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.5答案A3.(2019河南鹤壁高中4月模拟,5)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线C右支上一点,若|PF1|+|PF2|=4a,且F1PF2=60,则双曲线C的渐近线方程是()A.3xy=0B.2x7y=0C.3x2y=0D.2x3y=0答案C考点三直线与双曲线的位置关系1.(2019河北石家庄一模,14)已知双曲线C:x2-4y2=1,过点P(2,0)的直线l与C有唯一公共点,则直线l的方程为.答案y=12(x-2)2.若双曲线E:x2a2-y2=1(a>0)的离心率为2,直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A,B两点.(1)求k的取值范围;(2)若|AB|=63,求k的值.答案(1)由ca=2,a2=c2-1得a2=1,c2=2,故双曲线方程为x2-y2=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx-1,x2-y2=1得(1-k2)x2+2kx-2=0.直线与双曲线右支交于A,B两点,1-k20,=(2k)2+8(1-k2)>0,x1+x2=-2k1-k2>0,x1x2=-21-k2>0,解得1<k<2.(2)由得x1+x2=2kk2-1,x1x2=2k2-1.|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k22kk2-12-42k2-1=63,整理得28k4-55k2+25=0,k2=57或k2=54.又1<k<2,k=52.炼技法 提能力【方法集训】方法1求双曲线的标准方程的方法1.(2019福建龙海程溪中学期中,5)若双曲线的中心为原点,F(-2,0)是双曲线的焦点,过F的直线l与双曲线交于M,N两点,且MN的中点为P(1,3),则双曲线的方程为()A.x23-y2=1B.y2-x23=1C.y23-x2=1 D.x2-y23=1答案D2.(2019广东湛江一模,11)设F为双曲线E:x2a2-y2b2=1(a,b>0)的右焦点,过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A,B两点,O为坐标原点,四边形OAFB为菱形,圆x2+y2=c2(c2=a2+b2)与E在第一象限的交点是P,且|PF|=7-1,则双曲线E的方程是()A.x26-y22=1B.x22-y26=1C.x23-y2=1 D.x2-y23=1答案D3.设动圆C与两圆C1:(x+5)2+y2=4,C2:(x-5)2+y2=4中的一个内切,另一个外切,则动圆圆心C的轨迹方程为.答案x24-y2=1方法2求双曲线的离心率(或其取值范围)的方法1.(2017课标全国,5,5分)若a>1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是()A.(2,+)B.(2,2)C.(1,2) D.(1,2)答案C2.(2019天津,6,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为()A.2 B.3C.2 D.5答案D3.(2019湖南湖北八市十二校第一次调研,8)设双曲线x2a2-y2b2=1(0<b<a)的半焦距为c,(a,0),(0,b)为直线l上的两点,已知原点到直线l的距离为34c,则双曲线的离心率为()A.233 B.3或2C.2或233 D.2答案A4.(2019广西柳州一模,11)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1、F2,双曲线上的点P满足4|PF1+PF2|3|F1F2|恒成立,则双曲线的离心率的取值范围是()A.1,32 B.32,+C.1,43 D.43,+答案C【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一双曲线的定义及标准方程1.(2019课标全国,10,5分)已知F是双曲线C:x24-y25=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则OPF的面积为()A.32 B.52C.72 D.92答案B2.(2015课标,16,5分)已知F是双曲线C:x2-y28=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,66).当APF周长最小时,该三角形的面积为.答案1263.(2015课标,15,5分)已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y=12x,则该双曲线的标准方程为.答案x24-y2=1考点二双曲线的几何性质1.(2018课标全国,6,5分)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=2xB.y=3xC.y=22x D.y=32x答案A2.(2018课标全国,10,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.2 B.2 C.322 D.22答案D3.(2017课标全国,5,5分)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF的面积为()A.13 B.12 C.23 D.32答案D4.(2019课标全国,10,5分)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130,则C的离心率为()A.2sin 40B.2cos 40C.1sin50 D.1cos50答案D5.(2017课标全国,14,5分)双曲线x2a2-y29=1(a>0)的一条渐近线方程为y=35x,则a=.答案5B组自主命题省(区、市)卷题组考点一双曲线的定义及标准方程1.(2017天津,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y2=1 D.x2-y23=1答案D2.(2016北京,12,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(5,0),则a=;b=.答案1;23.(2016浙江,13,4分)设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.答案(27,8)考点二双曲线的几何性质1.(2019浙江,2,4分)渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是()A.22B.1C.2D.2答案C2.(2019北京,5,5分)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是5,则a=()A.6B.4C.2D.12答案D3.(2018浙江,2,4分)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是()A.(-2,0),(2,0) B.(-2,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2) D.(0,-2),(0,2)答案BC组教师专用题组考点一双曲线的定义及标准方程1.(2016天津,4,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为()A.x24-y2=1B.x2-y24=1 C.3x220-3y25=1D.3x25-3y220=1答案A2.(2015天津,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()A.x29-y213=1B.x213-y29=1C.x23-y2=1 D.x2-y23=1答案D3.(2010全国,8,5分)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,F1PF2=60,则|PF1|PF2|=()A.2 B.4 C.6 D.8答案B考点二双曲线的几何性质1.(2015四川,7,5分)过双曲线x2-y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=()A.433 B.23 C.6 D.43答案D2.(2015安徽,6,5分)下列双曲线中,渐近线方程为y=2x的是()A.x2-y24=1B.x24-y2=1 C.x2-y22=1 D.x22-y2=1答案A3.(2015重庆,9,5分)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1BA2C,则该双曲线的渐近线的斜率为()A.12 B.22 C.1 D.2答案C4.(2014大纲全国,11,5分)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为3,则C的焦距等于()A.2 B.22 C.4 D.42答案C5.(2013课标,4,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52,则C的渐近线方程为()A.y=14x B y=13xC.y=12x D.y=x答案C6.(2015湖北,9,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1<e2B.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2C.对任意的a,b,e1>e2D.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2答案B7.(2016山东,14,5分)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.答案28.(2018北京,12,5分)若双曲线x2a2-y24=1(a>0)的离心率为52,则a=.答案49.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x27-y23=1的焦距是.答案21010.(2015北京,12,5分)已知(2,0)是双曲线x2-y2b2=1(b>0)的一个焦点,则b=.答案311.(2015山东,15,5分)过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.答案2+312.(2014浙江,17,4分)设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.答案52考点三直线与双曲线的位置关系(2014湖北,8,5分)设a,b是关于t的方程t2cos +tsin =0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线x2cos2-y2sin2=1的公共点的个数为()A.0 B.1C.2 D.3答案A【三年模拟】时间:60分钟分值:80分一、选择题(每小题5分,共55分)1.(多选题)(命题标准样题,9)下面四个命题中,假命题是()A.要唯一确定抛物线,只需给出准线和抛物线上的一点B.要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆,只需给出一个焦点和椭圆上的一点C.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线,只需给出双曲线上的两点D.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线,只需给出一条渐近线方程和离心率答案ACD2.(2020届河南十所名校第一次联考,9)已知双曲线E:x23-y2=1,F为E的左焦点,P,Q为双曲线E右支上的两点,若线段PQ经过点(2,0),PQF的周长为83,则线段PQ的长为()A.2 B.23 C.4 D.43答案B3.(2020届四川天府名校10月联考,11)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被曲线x2+y2-4x+2=0截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为()A.3 B.233C.5 D.255答案B4.(2019宁夏石嘴山三中一模,10)已知F1,F2分别为双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点.过右焦点F2的直线l:x+y=c在第一象限内与双曲线E的渐近线交于点P,与y轴正半轴交于点Q,且点P为QF2的中点,QF1F2的面积为4,则双曲线E的方程为()A.x22-y2=1 B.x22-y22=1C.x24-y24=1 D.x24-y23=1答案B5.(2020届四川南部中学摸底,11)已知直线l1与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且AB的中点M的横坐标为b,过点M且与l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点,则双曲线的离心率为()A.5+12 B.5+12C.3+12 D.3+12答案A6.(2020届河南天一第二次大联考,9)已知点P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点,点F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点I是PF1F2的内心,若SIPF1-SIPF222SIF1F2恒成立,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,2) B.(1,22)C.(1,22 D.(1,2答案D7.(2018广东广州调研,11)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,左、右顶点分别为A,B,点P是双曲线上异于A,B的点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,则kPAkPB=()A.1 B.22C.36 D.3答案A8.(2019湖北模拟,11)设F1(-c,0),F2(c,0)是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,点P是C右支上异于顶点的任意一点,PQ是F1PF2的平分线,过点F1作PQ的垂线,垂足为Q,O为坐标原点,则|OQ|()A.为定值aB.为定值bC.为定值cD.不确定,随P点位置变化而变化答案A9.(2020届安徽六校第一次联考,12)如图,F1、F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2的直线与双曲线C交于A,B两点.若|AB|BF1|AF1|=345,则双曲线的渐近线方程为()A.y=23xB.y=22xC.y=3xD.y=2x答案A10.(2019吉林长春质量监测(二),12)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y轴相交于A,B两点,O为坐标原点,若SAOF2SAOB=2,则双曲线的离心率为()A.2 B.3C.2 D.5答案B11.(多选题)(2020届山东夏季高考模拟,10)已知双曲线C过点(3,2)且渐近线为y=33x,则下列结论正确的是()A.C的方程为x23-y2=1B.C的离心率为3C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点D.直线x-2y-1=0与C有两个公共点答案AC二、填空题(每小题5分,共25分)答案8313.(2018山西太原一模,15)过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为.答案(1,5)14.(2020届百师联盟第一次联考,16)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2为其左、右焦点,线段F2A垂直于直线y=bax,垂足为点A,与双曲线交于点B,若F2B=BA,则该双曲线的离心率为.答案215.(2020届陕西百校联盟9月联考,16)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点M(x1,y1),N(-x1,y1)在双曲线C上,且x1>0,若|MN|2+|MF2|=|MF1|,且MON为等边三角形,则双曲线C的渐近线方程为.答案y=2x16.(2020届河南百校联盟10月联考,16)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),离心率为32,直线l:y=-3(x-c)与C交于A,B两点(其中点A在x轴上方),OAF和OBF的面积分别记为S1和S2,则S1S2=.答案17