2022年第二章二次函数第二讲二次函数的表达式及应用 .pdf

学习好资料欢迎下载第二章 二次函数第二讲二次函数的表达式及应用一知识梳理知识点 1.二次函数三形式：当已知抛物线上任意三点时，通常设函数的表达式为一般式：当已知抛物线的顶点坐标和另一点时，通常设函数的表达式为顶点式：当已知抛物线与x 轴的交点或交点的横坐标时，通常设函数的表达式为交点式：知识点 2 二次函数与一元二次方程二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：acb420 时，抛物线与x轴有个交点；acb420 时，抛物线与x轴有个交点；acb420 时，抛物线与x轴没有交点 . 知识点3 一次函数0knkxy的图像与二次函数02acbxaxy的图像的交点 ，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时，两函数图象有个交点 ; 方程组只有一组解时，两函数图象只有个交点； 方程组时，两函数图象没有交点. 知识点 4 二次函数的极值（最大利润，最大面积）二次函数cbxaxy2可变形为22xacbxaxy，当 x= 时， y 有最大（小）值二典型例题剖析题型一求二次函数的表达式例 1 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点 B（4,0）C（ 8,0）D（8,8） .抛物线过点A、C两点。求：请直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的表达式题型二二次函数与一元二次方程应用例 2 已知抛物线122mxxyy D O C B A x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习好资料欢迎下载（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m 的值；（2）若抛物线与直线mxy2只有一个交点，求m 的值；【变式训练1】已知抛物线22aaxxy（1）试说明抛物线与x轴总有两个不同交点；（2）求这两个交点的距离；（3）当 a 为何值时，两交点的距离最小。题型三一次函数与二次函数应用例 3 已知抛物线cbxaxy21与直线mkxy2的一个交点是P（3,2） ，另一个交点在y 轴上，如图，要使y1 /y2,则 x 的范围题型四二次函数的极值（最大利润，最大面积）例 4 数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40 元，厂家要求售价在4070 元之间，若以每箱70 元销售平均每天销售30 箱，价格每降低1元平均每天可多销售3 箱老师要求根据以上资料，解答下列问题：（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系；（2）写出平均每天销售利润w（元）与每箱售价x（元）之间的函数关系；（3）现该商场要保证每天盈利900 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？（4）你认为每天赢利900 元，是牛奶销售中的最大利润吗？为什么？三单元检测试题一、选择题（每题 3 分，共 24 分）1，已知点（ a，8）在二次函数 ya x2的图象上，则 a 的值是（）y P(3,2) O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习好资料欢迎下载A，2 B，2 C，2D，22，抛物线yx22x2 的图象最高点的坐标是（） A.（2，2） B.（1，2） C.（1，3） D.（1，3）3，若y=(2-m)23mx是二次函数，且开口向上，则m的值为 ( ) A.5 B.-5 C.5 D.0 4，二次函数yaxbxc2的图象如图 1 所示，则下列结论正确的是（） A. abc000，B. abc000， C. abc000，D. abc000，5，如果二次函数yaxbxc2（a0）的顶点在x 轴上方，那么（）A，b24ac0B，b24ac0 C，b24ac0 D，b24ac0 6， 已知 h 关于 t 的函数关系式为 h=12gt2( g 为正常数，t 为时间 ) ，则如图 2 中函数的图像为 ( ) 7，已知二次函数y=12x23x52，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且3x1x2y2y3 B.y1y2y3y1 D.y2y3y18，关于二次函数 y=x2+4x7 的最大 ( 小)值，叙述正确的是 ( ) A.当 x=2时，函数有最大值B.x=2时，函数有最小值 C.当 x=1 时，函数有最大值D.当 x=2 时，函数有最小值二、填空题（每题 3 分，共 24 分）9，二次函数 y=122x2+3的开口方向是 _. 10，抛物线 y=x2+8x4 与直线 x4 的交点坐标是 _. 11，若二次函数 y=ax2的图象经过点（ 1，2） ，则二次函数 y=ax2的解析式是12，已知抛物线22bxxy经过点)41,(a和),(1ya，则1y的值是 .13，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A(1 ，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C (0，3) ，则二次函数的解析式是14，若函数 y=3x2与直线 y=kx+3的交点为（ 2，b） ，则 k，b . 15，函数 y=94x2，当 x=_时有最大值 _. 16，两数和为 10，则它们的乘积最大是 _，此时两数分别为_. 三、解答题（共 52 分）17，求下列函数的图像的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标 . (1) y=4x2+24x+35 ；(2) y=-3x2+6x+2 ；(3) y=x2-x+3 ；(4) y=2x2+12x+18. 18，已知抛物线C1的解析式是5422xxy，抛物线 C2与抛物线 C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式0thA0thB0thD0thC图 2 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习好资料欢迎下载19，填表并解答下列问题 : x -1 0 1 2 y1=2x+3 y2=x2 (1)在同一坐标系中画出两个函数的图像. (2)当 x 从 1 开始增大时，预测哪一个函数的值先到达16. (3) 请你编出一个二次项系数是1 的二次函数，使得当 x=4 时，函数值为 16. 编出的函数解析式是什么？20，已知抛物线 y=x22x8. (1)试说明该抛物线与x 轴一定有两个交点 . (2) 若该抛物线与 x 轴的两个交点分别为A、B( A在 B的左边 )，且它的顶点为 P， 求ABP的面积 . 21，已知：如图 3，在 RtABC中， C =90， BC =4，AC =8，点 D在斜边 AB上， 分别作 DE AC ，DF BC ，垂足分别为 E、F，得四边形 DECF ，设 DE =x，DF =y. (1)用含 y 的代数式表示 AE . (2)求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围 . (3) 设四边形 DECF 的面积为 S，求出 S的最大值 . 22，某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图4 所示，其拱形图形为抛物线的一部分， 栅栏的跨径 AB间，按相同的间距 0.2 米用 5根立柱加固，拱高 OC为 0.6 米(1) 以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， 请根据以上的数据，求出抛物线y=ax2的解析式；(2) 计算一段栅栏所需立柱的总长度（精确到0.1 米）. (2006 重庆课改 )已知：m，n是方程2650 xx的两个实数根，且mn，抛物线2yxbxc的图象经过点A(0m，)，B(0n，)(1) 求这个抛物线的解析式；(2) 设（ 1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C， D的坐标和BCD的 面 积 ；（ 注 ： 抛 物 线2yaxbxc (0)a的 顶 点 坐 标 为A 图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习好资料欢迎下载2424bacbaa，） ；(3)P是线段OC上的一点， 过点P作PHx轴，与抛物线交于H点，若直线BC把PCH分成面积之比为2: 3的两部分，请求出P点的坐标答案： 解： （1）解方程2650 xx，得15x，21x由mn，有1m，5n所以点A，B的坐标分别为10A ，0 5B，将10A ，0 5B，的坐标分别代入2yxbxc，得105bcc，解这个方程组，得45bc，所以抛物线的解析式为245yxx（2）由245yxx，令0y，得2450 xx解这个方程，得15x，21x所以C点的坐标为5 0，由顶点坐标公式计算，得点2 9D，过D作x轴的垂线交x轴于M，则12795222DMCS，1295142MDBOS梯形，1255522BOCS所以2725141522BCDDMCBOCMDBOSSSS梯形（3）设P点的坐标为0a ，因 为线段BC过B，C两 点，所以BC所 在的 直线方程为5yx那么，PH与直线BC的交点坐标为5E aa，PH与抛物线245yxx的交点坐标为245H aaa，由题意，得32EHEP，即2345552aaaa解这个方程，得32a或5a（舍去）23EHEP，即2245553aaaa解这个方程，得23a或5a（舍去）DBAOCxyD H yB E A xO M C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习好资料欢迎下载P点的坐标为302，或203，参考答案：一、 1，A；2，D；3，B；4，D；5， B；6，A；7，A；8，D. 二、 9，下；10，( 4， 20) ；11，y=2x2；12，43；13，y=x24x+3；14，k92，b12；15，0、9；16，25 5 、5. 三、 17，(1) 对称轴是直线x=-3 ，顶点坐标是 (-3 ，-1) ，解方程4x2+24x+35=0，得x1=52，x2=72. 故它与x轴交点坐标是 (52，0)， (72，0) (2) 对 称 轴 是 直 线x=1 ， 顶 点 坐 标 是 (1 ， 5) ， 解 方 程 -3x2+6x+2=0 ， 得121551,133xx，故它与x轴的交点坐标是1551,0 , 1,033. (3) 对 称 轴 是 直 线x=12， 顶 点 坐 标 是1 11,24， 解 方 程x2-x+3=0 ， 得1213113,22xx，故它与x轴的交点坐标是11313,0 ,022. (4) 对称轴是直线x=-3 ，顶点坐标是 (-3 ， 0)，它与x轴的交点坐标是(-3 ，0) ；18，经检验，点A（0，5） 、B（1，3） 、C（ 1，11）都在抛物线C1上点A、B、C关于x轴的对称点分别为A（0， 5） 、B（1， 3） 、C （ 1， 11） ，它们都在抛物线 C2上设抛物线 C2的解析式为cbxaxy2，则.11, 3, 5cbacbac解得. 5,4, 2cba所以抛物线的解析式是5422xxy；19，(1) 图略， (2)y2=x2的函数值先到达16，(3) 如：y3=(x-4)2+16；20，(1) 解方程x2-2x-8=0，得x1=-2，x2=4. 故抛物线y=x2-2x-8 与x轴有两个交点 . (2) 由(1) 得A(-2 ，0) ，B(4 ，0)，故AB=6. 由y=x2-2x-8=x2-2x+1-9=(x-1)2-9. 故P点坐标为 (1 ， -9) ， 过P作PCx轴于C， 则PC=9， SABP=12ABPC=1269=27；21，(1) 由已知得DECF是矩形，故EC=DF=y，AE=8-EC=8-y. (2) DEBC，ADEABC，DEAEBCAC，即848xy. y=8-2x(0 x4).(3)S=xy=x(8-2x)=-2(x-2)2+8.当x=2 时，S有最大值8；22， （1） 由OC=0.6 ，AC=0.6 ，得点A的坐标为（ 0.6 ，0.6 ） ，代入y=ax2，得a=53，抛物线的解析式为y=53x2，（2）可设右边的两个立柱分别为C1D1，C2D2，则点D1，D2的横坐标分别为0.2 ，0.4 ，代入y=53x2，得点D1，D2的纵坐标分别为：y1=530.220.07，y2=530.420.27，立柱C1D1=0.6 0.07=0.53 ，C2D2=0.6 0.27=0.33 ，由于抛物线关于y轴对称，栅栏所需立柱的总长度为：2（C1D1+ C2D2）+OC=2（0.53+0.33 ）+0.62.3米 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页