2022年硕士研究报告生入学考试数学二试题及答案解析 .pdf

个人资料整理仅限学习使用2008 年考研数学二试卷分析、详解和评注一，选择题：(本题共 8 小题，每小题4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 (1设，则的零点个数为【】(A 0. (B 1. (C 2. (D 3【答案 】应选 (D. 【详解 】令，可得有三个零点故应选(D. (2曲线方程为，函数在区间上有连续导数，则定积分在几何上表示【】(A 曲边梯形的面积 (B 梯形的面积(C 曲边三角形面积 (D 三角形面积【答案 】 应选 (C. 【详解 】，其中是矩形面积，为曲边梯形的面积，所以为曲边三角形ACD的面积故应选(C. (3在下列微分方程中，以 . (B . (C . (D .【答案 】 应选 (D. 【详解 】由， 可知其特征根为，故对应的特征值方程为所以所求微分方程为应选 (D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页个人资料整理仅限学习使用(4 判定函数，间断点的情况【】(A) 有一个可去间断点，一个跳跃间断点 (B 有一跳跃间断点，一个无穷间断点(C 有两个无穷间断点. (D 有两个跳跃间断点. 【答案 】 应选 (A. (5设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是【】(A 若收敛，则收敛 (B 若单调，则收敛 (C 若收敛，则收敛 . (D 若单调，则收敛 . 【答案 】 应选 (B. 【详解】若若单调，则由函数在内单调有界知，若单调有界，因此若收敛故应选 (B. (6设函数连续，若，则【】(A (B (C (D【答案 】 应选 (A. 【详解】利用极坐标，得，所以故应选 (A. (7设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵若，则下列结论正确的是【】(A 不可逆，则不可逆 . (B 不可逆，则可逆 . (C 可逆，则可逆 . (D 可逆，则不可逆 . 【答案 】应选 (C. 【详解 】，故，均可逆故应选(C. (8 设，则在实数域上，与A 合同矩阵为【】(A . (B. (C . (D.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页个人资料整理仅限学习使用【答案 】 应选 (D. 【详解 】则，记，则则，正负惯性指数相同.故选 D. 二、填空题 ：(914 小题，每小题4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. (9已知函数连续，且，则【答案 】 应填(10微分方程的通解是 .【答案 】 应填(11曲线在点的切线方程为 .【答案 】 应填【详解 】(12曲线的拐点坐标为 .【答案 】【详解 】(13设，则 .【答案 】(14设 3 阶矩阵的特征值为若行列式，则_. 【答案】应填三、解答题 (1523 小题，共94 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页个人资料整理仅限学习使用(15(本题满分9 分 求极限【详解 1】( 或，或 【详解 2】(本题满分10 分 设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解，求【详解 1】由得，积分得由条件，得，即，故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页个人资料整理仅限学习使用方程组两端同时对求导得所以，从而17(本题满分11 分 计算，其中【详解 】将区域分成如图所示得两个子区域和于是(19(本题满分11 分 设是区间上 具有连续导数的单调增加函数，且对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2 倍，求函数的表达式【详解】根据题意，因为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页个人资料整理仅限学习使用旋转体体积，侧面积所以上式两边同时对求导得解得，由，得所以或(20(本题满分11 分 (I)证 明 积 分 中 值 定 理 ： 若 函 数在 闭 区 间上 连 续 ， 则 至 少 存 在 一 点，使得；(II)若函数具有二阶导数，且满足，则至少存在一点，使得【证法 1】若函数在闭区间上连续，则必存在最大值和最小值即，于是有即根据闭区间上连续函数的介值定理，在上至少存在一点，使得因此而的证II） 存在，使得由，知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页个人资料整理仅限学习使用由，利用微分中值定理，存在，使得由，利用微分中值定理，存在，使得存在存在，使得 求函数在约束条件和下的最大值和最小值【详解 1】作拉格朗日函数令解之得故所求得最大值为72, 最小值为6【 详解2】由题意知，在条件下的最值令精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页个人资料整理仅限学习使用解之得故所求得最大值为72, 最小值为6(22 (本题满分12 分 设元线性方程组，其中，I）证明行列式；II）当为何值时，该方程组有惟一解，并求III）当为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解【详解】 I）【证法1】数学归纳法记以下用数学归纳法 证明当时，结论成立当时，结论成立假设结论对小于的情况成立将按第一行展开得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页个人资料整理仅限学习使用故【注】本题 1 ）也可用递推法由得，于是I）【证法2】消元法记精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页个人资料整理仅限学习使用II） 【详解】当时，方程组系数行列式，故方程组有惟一解由克莱姆法则，将得第一列换成，得行列式为所以， (本题满分10 分 设为3 阶矩阵，为的分别属于特征值的特征向量，向量满足，(I证明线性无关；(II令，求【详解】 (I【证明】设有一组数，使得用左乘上式，得因为,，所以，即由于是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此，从而有故线性无关II ） 由 题 意 ， 而 由 I ） 知 ，线 性 无 关 ， 从 而可逆故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页个人资料整理仅限学习使用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页