2022年直线与方程知识点及典型例题 .pdf
学习必备精品知识点第三章直线与方程知识点及典型例题1. 直线的倾斜角定义： x 轴 正向 与直线 向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是01802. 直线的斜率定义：倾斜角不是90 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即k=tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0 , k = tan0 = 0; 当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 90, k 不存在 . 当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。例.如右图，直线l1的倾斜角= 30，直线l1 l2，求直线l1和 l2的斜率 . 解： k1=tan30=33l1 l2 k1k2=1 k2=3例： 直线053yx的倾斜角是 ( ) A.120B.150C.60D.30过两点 P1 (x1，y1)、P1(x1，y1) 的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk注意下面四点：(1)当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90 ；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。例.设直线l1经过点 A( m， 1)、B(3，4)，直线l2经过点 C(1，m)、 D(1，m+1)，当(1) l1/ / l2(2)l1l1时分别求出m 的值三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。3. 直线方程点斜式：)(11xxkyy直线斜率 k，且过点11,yx注意： 当直线的斜率为0 时，k= 0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90 时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式： y= kx+b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为bx y o 12l1l2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备精品知识点两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1) 截矩式：1xyab其中直线l与x轴交于点 (a，0)，与 y 轴交于点 (0，b),即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为a、b。注意： 一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况两个截距都不为0 或都为0 ；但不可能一个为0，另一个不为0. 其方程可设为：1xyab或 y= kx. 一般式： Ax+By+C=0 （A，B 不全为 0）注意： (1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。各式的适用范围(3)特殊式的方程如：平行于 x 轴的直线：by（b 为常数）；平行于 y 轴的直线：ax（a 为常数）；例题： 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是12，经过点A(8 ，2)；. (2)经过点 B(4,2) ，平行于 x 轴；. (3)在x轴和y轴上的截距分别是3, 32；. (4)经过两点P1(3，2)、 P2(5，4)；. 例 1：直线l的方程为Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（）AC= 0，B0 BC= 0，B0，A0 CC= 0， AB0 4. 两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,/bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。5. 已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1与 B1及 A2与 B2都不同时为零 ) 若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组0CBA0CBA222111yxyx的一组解。若方程组无解21/ ll；若方程组有无数解1l与2l重合6. 点的坐标与直线方程的关系几何元素代数表示点 P 坐标 P(xo，yo) 直线 l方程 Ax+B y+C=0 点 P(xo，yo)在直线 l 上坐标),(00yx满足方程： A x+B y+C= 0 点 P(xo，yo)是 l1、l2的交点坐标 (xo， yo)满足方程组0CBA0CBA222111yxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备精品知识点7. 两条直线的位置关系的判定公式A1B2A2B10 方程组有唯一解两直线相交,0CBCB0BABA12211221或 A1C2A2C1 0 无解两直线平行0CBCB0BABA12211221或 A1C2A2C1 = 0有无数个解两直线重合两条直线垂直的判定条件：当A1、B1、A2、B2满足时l1l2。答： A1A2+B1B2=0经典例题；例 1.已知两直线l1： x+(1+ m) y =2m 和 l2：2mx+4y+16= 0，m 为何值时l1与 l2相交平行解：例 2. 已知两直线l1：(3a+2) x+(1 4a) y + 8=0 和 l2：(5a2)x+(a+4)y 7= 0 垂直，求a 值解：例 3.求两条垂直直线l1：2x+ y +2=0 和 l2： mx+4y2=0 的交点坐标解：例 4. 已知直线l 的方程为121xy，(1)求过点（ 2， 3）且垂直于l 的直线方程；(2)求过点（ 2，3）且平行于l 的直线方程。8. 两点间距离公式：设 A(x1， y1)、B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|=212212)()(yyxx9. 点到直线距离公式：一点 P(xo，yo)到直线 l：A x+By+C= 0 的距离22ooBACBAd|yx|10. 两平行直线距离公式例：已知两条平行线直线l1和 l2的一般式方程为l1：A x+By+C1=0，l2：A x+B y+C2=0，则 l1与 l2的距离为2221BACCd例 1：求平行线l1：3x+ 4y 12=0 与 l2： ax+8y+11= 0 之间的距离。例 2：已知平行线l1：3x+2y 6=0 与 l2： 6x+4y3= 0，求与它们距离相等的平行线方程。12. 中点坐标公式：已知两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)，则线段的中点M 坐标为 (221xx，221yy) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备精品知识点例. 已知点 A(7， 4)、B(5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程。13. 对称点与对称直线的求法例 1：已知直线l：2x3y+1=0 和点 P( 1， 2). (1) 分别求：点P(1， 2)关于 x 轴、 y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称点Q 坐标(2) 分别求：直线l：2x3y+1=0 关于 x 轴、 y 轴、直线y=x、原点 O 的对称的直线方程. (3) 求直线 l 关于点 P(1， 2)对称的直线方程。(4) 求 P(1， 2)关于直线 l 轴对称的直线方程。例 2：点 P(1， 2)关于直线l： x+y 2=0 的对称点的坐标为。例 3：已知圆 C1：(x+1)2+(y1)2= 1 与圆 C2关于直线 xy1=0 对称，则圆C2的方程为：。A. (x+ 2)2+ (y2)2= 1 B. (x2)2+(y+2)2=1C. (x+2)2+ (y+2)2= 1 D. (x2)2+(y2)2=1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
