2022年第五章相交线与平行线 3.pdf

优质资料欢迎下载相交线与平行线（教师教案）第一段 典型例题【开课】 教师在正式开课前，先把本次课程的内容简单概括一下：今天的内容主要包括以下几部分内容：一相交线、垂线的概念二同位角、内错角、同旁内角等的概念三平行线的的性质和判定【课程目标】1. 理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角”；2. 理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；3. 理解平行线的概念，正确地表示平行线，会利用三角尺、直尺画平行线，理解平行公理和平行公理的推论；4. 掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质；5. 能综合运用平行线的性质和判定证明和计算。【课程安排】1 教师简要介绍本次课程的关键点，同学做题，然后教师讲解2 教师总结，学生做综合练习（第二段）教师讲解【教师讲课要求】教师先将第一段练习发给每一位学生，学生做题时教师必须巡视，了解学生做题情况，学生完成练习后，教师进行讲解。第一部分相交线、垂线课时目标： 理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角” ；理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；教师讲课要求【知识要点】 ：请学生看一下做好上课的准备（一）相交线1. 相交线的定义在同一平面内， 如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1 所示，直线AB 与直线 CD 相交于点 O。ODCBA4321ABCDO21OCBA图 1 图 2 图 3 2. 对顶角的定义若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图 2 所示， 1 与 3、 2 与 4 都是对顶角。注意：两个角互为对顶角的特征是：（1）角的顶点公共；（2） 角的两边互为反向延长线；（3）两条相交线形成2 对对顶角。3. 对顶角的性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页优质资料欢迎下载对顶角相等。4. 邻补角的定义如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3 所示， 1 与 2 互为邻补角，由平角定义可知1 2180。（二）垂线1. 垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。A B C D 1 A B C D 1 图 4 如图 4 所示，直线AB 与 CD 互相垂直，垂足为点O，则记作 ABCD 于点 O。其中“”是“垂直”的记号；是图形中“垂直”( 直角 ) 的标记。注意：垂线的定义有以下两层含义：（1） ABCD（已知）（2） 190 （已知） 1 90 （垂线的定义） ABCD（垂线的定义）2. 垂线的性质（1）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（2）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。即垂线段最短。3. 点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。mDCBAP图 5 图 6 如图 5 所示， m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线 m 的距离。4. 垂线的画法（工具：三角板或量角器）5. 画已知线段或射线的垂线（1）垂足在线段或射线上（2）垂足在线段的延长线或射线的反向延长线上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页优质资料欢迎下载（三） “三线八角”两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图 6 所示。（1）同位角：可以发现1 与 5 都处于直线l的同一侧，直线a、b的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有2 与 6， 3 与 7， 4 与 8。（2）内错角：可以发现3 与 5 都处于直线l的两旁，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有4 与 6。（3）同旁内角：可以发现4 与 5 都处于直线l的同一侧，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有3 与 6。范例 1. 判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。（1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；（2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；（3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；（4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。分析： 本题考查学生对基本概念的理解是否清晰。（1） 、 （2）都是对点到直线的距离的描述， 由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”可判断 （1） 、 （ 2）都是错的；由对顶角相等且互补易知，这两个角都是90 ，故（ 3）正确；同一平面内，两条直线的位置关系是相交或平行，必须强调“在同一平面内”。解答： （1）这种说法是错误的。因为垂线是直线，它的长度不能度量，应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离”。（2）这种说法是错误的。因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度。（3）这种说法是正确的。（4）这种说法是错误的。因为只有在同一平面内，两条直线的位置关系才是相交或平行。如果没有“在同一平面内”这个前提，两条直线还可能是异面直线。说明： 此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质，弄清易混概念。范例 2. 如下图（ 1）所示，直线DE、BC 被直线 AB 所截，问1424与，与，34与各是什么角？A D 1 2 3 E 4 B C 图（ 1）分析： 已知图形不标准，开始学不容易看，可把此图画成如下图（2）的样子，这样就容易看了。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页优质资料欢迎下载A D 1 2 3 E 4 B C 图（ 2）答案：14与是同位角，24与是内错角，34与是同旁内角。范例 3 如下图（ 1），l2 3 6 4 5 1 2 l1 l3图（ 1）（ 1）12与是两条直线_ 与 _ 被第三条直线_所截构成的 _角。（ 2）13与是 两 条 直 线 _ 与 _ 被 第 三 条 直 线_所截构成的 _角。（ 3）34与是两条直线_与 _ 被第三条直线_所截构成的 _角。（ 4）5与6 是两条直线_ 与 _ ，被第三条直线_所截构成的 _角。分析：从较复杂的图形中分解出有关角的直线，因此可以得到13与是由直线ll13，被第三条直线l2所截构成的同位角，如下图（2），类似可知其他情况。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页优质资料欢迎下载l2 3 1 l1 l3图（ 2）答案： （1）1 与2 是两条直线ll23与被第三条直线l1所截构成的同位角。（2）1 与3 是两条直线ll13与被第三条直线l2所截构成的同位角。（3）34与是两条直线ll13与被第三条直线l2所截构成的内错角。（4）5 与6 是两条直线ll12与被第三条直线l3所截构成的同旁内角。范例 4 按要求作图，并回答问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页优质资料欢迎下载范例 5 作图题范例 6 证明垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页优质资料欢迎下载第二部分平行线课时目标 理解平行线的概念，正确地表示平行线，掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质能综合运用平行线的性质和判定证明和计算。教师讲课要求知识要点： 请学生看一下准备上课1. 平行线的概念在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。注意：（1）在平行线的定义中， “在同一平面内”是个重要前提；（2）必须是两条直线；（3）同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行，两条互相重合的直线视为同一条直线。两条直线的位置关系是以这两条直线是否在同一平面内以及它们的公共点个数m进行分类的。名称公共点个数m在同一个平面内重合直线2m相交直线1m平行直线0m不在同一个平面内异面直线0m2. 平行线的表示方法图 7 DCBA平行用 “” 表示， 如图 7 所示， 直线 AB 与直线 CD 平行， 记作 ABCD，读作 AB 平行于 CD。3. 平行线的画法4. 平行线的基本性质（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。（2）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。5. 平行线的判定方法：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（4）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。（5）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。6. 平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线平行，同位角相等。（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简记：两直线平行，内错角相等。（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记：两直线平行，同旁内角互补。范例 1 如图，已知AMF= BNG=75 ， CMA=55 ，求 MPN 的大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页优质资料欢迎下载PNMABEFGHCD答案： 50解析： 因为 AMF= BNG=75 ，又因为BNG= MNP ，所以 AMF= MNP，所以 EF GH，所以 MPN= CME ，又因为 AMF=75 ， CMA=55 ，所以 AMF+ CMA=130 ，即 CMF=130 ，所以 CME=180 130=50，所以 MPN=50 范例 2 如图， 1 与 3 为余角， 2 与 3 的余角互补，4=115， CP 平分 ACM ，求PCM 答案： 57.5解析： 因为 1+3=90， 2+（90 3）=180，所以 2+1=180，所以 ABDE， 所以 BCN= 4=115， 所以 ACM=115 ， 又因为 CP平分 ACM ， 所以 PCM=12ACM=12115=57.5，所以 PCM=57.5范例 3 如图，已知：1+2=180， 3=78，求 4 的大小答案： 102解析： 因为 2=CDB ，又因为 1+2=180，所以1+CDB=180 ，所以得到ABCD，所以 3+ 4=180，又因为 3=78，所以 4=102范例 4 如图，已知：BAP 与 APD 互补， 1=2，说明： E=F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页优质资料欢迎下载解析： 因为 BAP 与 APD 互补，所以ABCD，所以 BAP= CPA，又因为 1=2，所以 BAP 1= CPA 2，即 EAP= FPA，所以 EAPF，所以 E=F 范例 5 如图，已知AB CD，P 为 HD 上任意一点，过P 点的直线交HF 于 O 点，试问：HOP、 AGF 、 HPO 有怎样的关系？用式子表示并证明答案： HOP=AGF HPO 解析： 过 O 作 CD 的平行线MN ，因为 AB CD，且 CDMN ，所以 ABMN ，所以AGF= MOF=HON，因为 CDMN ， HPO=PON，所以 HOP=HON PON=HON HPO，所以 HOP=AGF HPO 范例 6 如图，已知ABCD，说明： B BED D=360A B A B E F E C D C D 分析： 因为已知AB CD，所以在 BED 的内部过点E 作 AB 的平行线，将BBED D 的和转化成对平行线的同旁内角来求。解： 过点 E 作 EFAB，则B BEF=180（两直线平行，同旁内角互补）ABCD（已知）EFAB （作图）EFCD（平行于同一条直线的两直线平行） D DEF=180 （两直线平行，同旁内角互补） B BEF D DEF=360 B BED D=B BEF D DEF B BED D=360精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页优质资料欢迎下载范例 7. 小张从家（图中A 处）出发，向南偏东40方向走到学校（图中B 处） ，再从学校出发，向北偏西75的方向走到小明家（图中C 处） ，试问 ABC 为多少度？说明你的理由。解： AEBD（已知） BAE= DBA （两直线平行，内错角相等） BAE=40 （已知） ABD=40 （等量代换） CBD= ABC ABD （已知） ABC= CBD ABD （等式性质） ABD=40 （已知） ABC=75 40 =35范例8 如图， ADC= ABC ， 1 2=180， AD为 FDB的平分线，说明：BC为 DBE 的平分线。分析： 从图形上看， AE 应与 CF 平行， AD 应与 BC 平行，不妨假设它们都平行，这时欲证 BC 为 DBE 的平分线， 只须证 3=4， 而 3=C=6 ，4=5，由 AD 为 FDB的平分线知 5= 6，这样问题就转化为证AECF，且 AD BC 了，由已知条件12=180不难证明AECF，利用它的平行及ADC= ABC 的条件，不难推证AD BC。证明： 1 2=180（已知）2 7=180（补角定义） 1=7（同角的补角相等）AECF （同位角相等，两直线平行） ABC C=180（两直线平行，同旁内角互补）又 ADC= ABC （已知）， CFAB （已证） ADC C=180（等量代换）AD BC（同旁内角互补，两直线平行） 6=C， 4=5（两直线平行，同位角相等，内错角相等）又 3=C（两直线平行，内错角相等） 3=6（等量代换）又 AD 为 BDF 的平分线 5=6 3=4（等量代换）BC 为 DBE 的平分线范例 9 如图， DE，BE 分别为 BDC， DBA 的平分线， DEB= 1 2 （1）说明： AB CD （2）说明： DEB=90 分析： （ 1）欲证平行，就找角相等与互补，但就本题，直接证CDB 与 ABD 互补比较困难，而 1 2=DEB ，若以 E 为顶点， DE 为一边，在DEB 内部作 DEF=2，再由 DE，EB 分别为 CDB ， DBA 的平分线，就不难证明AB CD 了， （2）由（ 1）证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页优质资料欢迎下载得 ABCD 后，由同旁内角互补，易证1 2=90，进而证得DEB=90 证明： （ 1）以 E 为顶点， ED 为一边用量角器和直尺在DEB 的内部作 DEF=2 DE 为 BDC 的平分线（已知） 2=EDC （角平分线定义） FED=EDC（等量代换）EFDC（内错角相等，两直线平行） DEB= 1 2（已知） FEB=1（等量代换） ，EBA= EBF= 1（角平分线定义） FEB=EBA （等量代换）FEBA （内错角相等，两直线平行）又 EF DC BADC（平行的传递性）（2） ABDC（已证） BDC DBA=180 （两直线平行，同旁内角互补）又 1=12DBA ， 2=12BDC （角平分线定义） 1 2=90又 1 2=DEB DEB=90 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页优质资料欢迎下载第二段一. 选择题1. 如图 1，直线 a、b 相交， 1 120 ，则 2 3（）A. 60 B. 90 C. 120 D. 180 答案： C ab123ab1234图 1 图 2 图 3 2. 如图 2，要得到a b，则需要条件（）A. 2 4 B. 1 3180C. 1 2180 D. 2 3 答案： C 3. 如图 3，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）A. 同位角相等，两直线平行B. 内错角相等，两直线平行C. 同旁内角互补，两直线平行D. 两直线平行，同位角相等答案： A 4. 如图 4，AB ED，则 A C D（）A. 180 B. 270 C. 360 D. 540 ABCDE图 4 图 5 答案： C 5. 如图 5 所示，1l2l， 1120 ， 2100 ，则 3（）A. 20 B. 40 C. 50 D. 60 答案： B 6. 已知：如图6， AOB 的两边OA、OB 均为平面反光镜，AOB40 ，在 OB 上有一点 P， 从 P 点射出一束光线经OA 上的 Q 点反射后， 反射光线QR 恰好与 OB 平行，则QPB的度数是（）A. 60 B. 80 C. 100D. 120 答案： B 图 7 图 8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页优质资料欢迎下载7下列说法正确的是（）A. 两条不相交的直线叫做平行线B. 同位角相等C. 两直线平行，同旁内角相等D. 同角的余角相等答案： D 8 如果 1 和 2 是两平行线a， b 被第三条直线c 所截的一对同位角， 那么（）A. 1 和 2 是锐角B. 1 2=180C. 12 1122=90D. 1=2 答案： D 9如图5，AB CD，则结论： （1） 1=2； （2） 3= 4； （3） 1 3=2 4中正确的是（）A. 只有（ 1）B. 只有（ 2）C. （1）和（ 2）C. （1） （2） （3）答案： D 图 5 10如图 6，AB CD，若 3 是 1 的 3 倍，则 3 为（）A. 45B. 135C. 120D. 90答案： B 图 6 图 7 11如图 7，DHEGBC，且 DCEF，则图中与 1 相等的角（不包括1）的个数是（）A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 答案： C 12如图 8，已知 ABCD，CE 平分 ACD ， A=110，则 ECD 的度数为（）A 110B. 70C. 55D. 35答案： D 图 8 图 9 13如图 9，如果 DEBC，那么图中互补的角的对数是（）A. 2 对B. 3 对C. 4 对D. 5 对精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页优质资料欢迎下载答案： C 二. 填空题1 如图 7，CBAB，CBA 与 CBD 的度数比是5:1，则 DBA_度， CBD的补角是 _度。答案： 72； 1622 如图 8，ACBC，CDAB，点 A 到 BC 边的距离是线段_的长，点B 到 CD 边的距离是线段 _的长，图中的直角有_， A 的余角有 _，和 A 相等的角有 _。答案：AC；BD；,ACBADCCDB；,BACD；DCB3 如图 9，当 1 _时， ABCD；当 D _180 时， ABCD；当 B _时， ABCD。答案：4；DAB；5D54321CBA图 9 图 10 4 如图 10， ABCD，直线 l 平分 AOE， 140 ，则 2 _答案：705 若两个角的两边分别平行，而一个角比另一个角的3 倍少 30 ，则两个角的度数分别是_ 。答案：1515和或52.5127.5和6如图1， 1=2（）（） （） ， D=（）（）又 D=3（已知）（） =（）（）（） （）答案： AD BE，内错角相等，两直线平行，DBE ，两直线平行，内错角相等，DBE=3，BD CE，内错角相等，两直线平行图 1 图 2 7如图 2，AD BC， 1=60， 2=50，则 A= （） ， CBD= （） ，ADB= （） ， A ADB 2=（）答案：60， 70， 70， 1808图 3，由 A 测 B 的方向是（） ，由 B 测 A 的方向是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页优质资料欢迎下载图 3 图 4 答案： 南偏东 60，北偏西609 如图 4， ab， AB a 垂足为 O， BC 与 b 相交于点 E， 若 1=43， 则 2= （） 。答案： 13310如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另一个角的4 倍少 30，则这两个角的度数分别是（）和（）答案： 42， 13811 在同一平面内有三条直线a、 b、 c， 已知 ab， 且 ca， 则 b与 c的位置关系是（） 。答案： 垂直三. 解答和证明1、如图 10，AB CD， BE 平分 ABC ，CF 平分 BCD，你能发现BE 和 CF 有怎样的位置关系么？并证明你的结论。图 10 答案： 1、平行。ABCD， ABC= DCB ， EBC=12ABC ， FCB=12DCB EBC=FCBBE CF 2、判断下面的结论是否正确，并说明理由（1）如图 11：AE 平分 CAD ，AEBC，那么 B=C 图 11 （2）如图 11：如果 B= C， AEBC，那么 AE 平分 CAD 。答案： 正确， AEBC B=DAE ， C=EAC DAE= CAE ， B= C 正确， AEBC B= DAE ， C=EAC B= C DAE= CAE ，即AE 平分 DAC 3、如图 12，AB CD， ABE= FCD， F=40，求 E 的度数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页优质资料欢迎下载图 12 答案： 3、 E=404、已知， DBF ： ABF ： BFC=1：2：3，AB CD，说明： BA 平分 EBF 图 13 答案： 设 1=x则 2=2x，3=3x ABCD 2 3=180即 2x3x=180 x=36 2x=72， EBA=180 36 72=72， EBA= 2， BA 平分EBF 5、已知 ， AOB=90 ，求作 AOC ，使其等于 的余角答案： 提示：以OB 为一边在 AOB 内部作 BOC=6 已知：如图， ABCD，直线 EF 分别交 AB 、CD 于点 E、F， BEF 的平分线与DFE 的平分线相交于点P说明 P90答案： 略精选学习资料 - - - - - 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