2022年第八-十讲二次方程及不等式专题讲练 .pdf

优秀学习资料欢迎下载第八讲根与系数的关系及应用如果一元二次方程ax2bxc=0(a 0)的两根为x1，x2，那么反过来，如果x1，x2满足 x1+x2=p，x1x2=q，则 x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0 的两个根一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具1已知一个根，求另一个根利用韦达定理，我们可以通过方程的一个根，求出另一个根例 1 方程 (1998x)2-1997 1999x-1=0的大根为a，方程 x21998x-1999=0的小根为b，求a-b 的值解 先求出 a，b由观察知， 1 是方程 (1998x)2-1997 1999x-1=0的根，于是由韦达又从观察知， 1 也是方程x2 1998x-1999=0的根，此方程的另一根为-1999 ，从而 b=-1999 所以 a-b=1-(-1999)=2000例 2 设 a 是给定的非零实数，解方程解 由观察易知， x1=a 是方程的根又原方程等价于2求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧例 3 已知二次方程x2-3x1=0 的两根为 ， ，求：(3)33；(4)3-3解 由韦达定理知+=3， =1(3)33=(+ )(2- +2) =(+)(+)2-3 =3(9-3)=18 ；(4)3-3=(- )(2+2) =(-)(+)2- 例 4 设方程 4x2-2x-3=0 的两个根是 和，求 422的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载解 因为 是方程 4x2-2x-3=0 的根，所以42-2-30，即42=2342+2=2+3+2 =2(+)+3=4 例 5 已知 ，分别是方程x2x-1=0 的两个根，求25+53的值解 由于 ，分别是方程x2x-1=0 的根，所以2+ -1=0，2+-1=0 ，即 2=1- ，2=1-5=(2)2=(1- )2=(2-2+1) =(1- -2+1)=-32+2=-3(1- )+2 =5-3，3=2=(1- )=-2=-(1-)=2-1所以25+53=2(5 -3)+5(2 -1) =10( +)-11=-21 说明此解法的关键在于利用，是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要例 6 设一元二次方程ax2bxc=0 的两个实根的和为s1，平方和为 s2，立方和为s3，求 as3bs2 cs1的值解 设 x1，x2是方程的两个实根，于是所以as3bs2cs1=0说明本题最“自然”的解法是分别用a，b，c 来表示 s1，s2，s3，然后再求as3bs2cs1的值当然这样做运算量很大，且容易出错下面我们再介绍一种更为“本质”的解法另解因为 x1， x2是方程的两个实根，所以同理将上面两式相加便得as3bs2cs103与两根之比有关的问题例 7 如果方程ax2bx c=0(a 0)的根之比等于常数k，则系数a，b，c 必满足：kb2=(k 1)2ac证 设方程的两根为x1，x2，且 x1=kx2，由韦达定理由此两式消去x2得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载即kb2(k 1)2ac例 8 已知 x1，x2是一元二次方程4x2-(3m-5)x-6m20 解 首先， =(3m-5)296m20，方程有两个实数根由韦达定理知从上面两式中消去k，便得即m2-6m+5=0 ，所以m1=1，m2=54求作新的二次方程例 9 已知方程2x2-9x8=0 ，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方解 设 x1，x2为方程 2x2-9x8=0 的两根，则设所求方程为x2+px+q=0 ，它的两根为x1，x2，据题意有故所以，求作的方程是36x2-161x 34=0 例 10 设 x2-pxq=0 的两实数根为 ，(1)求以 3，3为两根的一元二次方程；(2)若以 3，3为根的一元二次方程仍是x2-px q=0，求所有这样的一元二次方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载解 (1) 由韦达定理知+=p， =q，所以3+3=(+ )(+)2-3 =p(p2-3q) ，33=()3=q3所以，以 3，3为两根的一元二次方程为x2-p(p2-3q)x+q3=0(2)由(1)及题设知由得 q=0， 1若 q=0 ，代入，得p=0， 1；若 q=-1 ，代入，以，符合要求的方程为x2=0，x2-x=0 ，x2+x=0 ，x2-1=0 5证明等式和不等式利用韦达定理可以证明一些等式和不等式，这常常还要用判别式来配合例 11 已知实数x，y， z 满足x=6-y ，z2=xy-9 ，求证： x=y 证 因为 xy=6 ，xy=z29，所以 x，y 是二次方程t2-6t+(z2+9)=0 的两个实根，于是这方程的判别式=36-4(z2+9)=-4z2 0，即 z20因 z 为实数，显然应有z20要此两式同时成立，只有z=0，从而 =0，故上述关于t 的二次方程有等根，即x=y 例 12 若 a，b，c 都是实数，且abc=0 ，abc=1 ，证 由 abc=0 及 abc=1 可知， a，b，c 中有一个正数、两个负数，不妨设a 是正数，由题意得于是根据韦达定理知，b，c 是方程的两个根又b， c 是实数，因此上述方程的判别式因为 a0，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载a3-40，a34，例 13 知 x1，x2是方程 4ax2-4ax+a+4=0的两个实根解 (1)显然 a0，由 =16a2-16a(a+4) 0，得 a0由韦达定理知所以所以 a=9 ，这与 a0 矛盾故不存在a，使(2)利用韦达定理所以 (a+4)|16 ，即 a+4= 1， 2， 4， 8， 16结合 a0，得 a=-2 ，-3， -5，-6，-8，-12 ，-20练习八1选择：(1)若 x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)的根，则判别式=b2-4ac 与平方式M=(2ax0+b)2的关系是 (A) M(B) =M (C) =M(D) 不确定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载(2)方程 x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，则 (A)-4(B)8 (C)6(D)0 为 (A)3(B)-11 (C)3 或-11(D)11 2填空：(1)如果方程x2+px+q=0 的一根为另一根的2 倍，那么， p，q 满足的关系式是_ (2)已知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为 2 和 4，乙由于看错了某一项系数的符号，1993+5a2+9a4=_ (4)已知 a 是方程 x2-5x+1=0 的一个根，那么a4+a-4 的末位数是 _ 另一根为直角边a，则此直角三角形的第三边b=_ 3已知 ，是方程 x2-x-1=0 的两个实数根，求4+3的值4作一个二次方程，使它的两个根，是正数，并且满足关系式5如果关于x 的方程 x2+ax+b=0的两个实数根之比为45，方程的判别式的值为3，求 a，b 的值第九讲判别式及其应用一元二次方程的根的判别式()是重要的基础知识，它不仅能用于直接判定根的情况，而且在二次三项式、二次不等式、二次函数等方面有着重要的应用，是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有许多应用熟练掌握它的各种用法，可提高解题能力和知识的综合应用能力1判定方程根的情况例 1 已知方程 x2-2x-m=0 没有实数根， 其中 m 是实数 试判定方程x2+2mx+m(m+1)=0有无实数根解 因为方程x2-2x-m=0 无实数根，所以1=(-2)2-4(-m)=4+4m 0，即 m-1因为2=(2m)2-4m(m+1)=-4m0，所以方程x2+2mx+m(m+1)=0有两个不相等的实根例 2 已知常数 a 为实数，讨论关于x 的方程(a-2)x2+(-2a+1)x+a=0 的实数根的个数情况精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载实根当 a2 时，原方程为一元二次方程，其判别式=(-2a+1)2-4(a-2)a=4a+1 ，说明对于一个二次项系数含参数的方程，要按照二次项系数为零或不为零来讨论根的情况，前者为一次方程，后者为二次方程，不能一上来就用判别式2确定方程中系数的值或范围例 3 关于 x 的一元二次方程有实根，其中a 是实数，求a99+x99的值解 因为方程有实根，所以即 -a2-2a-1 0因为 -(a+1)20，所以 a+1=0 ，a=-1 当 a=-1 时，原方程为x2-2x+1=0 ，x=1 ，所以a99+x99=(-1)99+199=0例 4 若方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0 有实根，求a，b 的值解 因为方程有实根，所以它的判别式=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2) 0，化简后得2a2+4ab+4b2-2a+1 0，所以(a+2b)2+(a-1)20，说明在本题中，只有一个不等式而要求两个值，通常是通过配方把这个不等式变形为“若干个非负数之和小于等于零”，从而可以得到一个方程组，进而求出要求的值例 5 ABC 的一边长为5，另两边长恰是方程2x2-12x+m=0 的两个根，求m 的取值范围解 设 ABC 的三边分别为a， b，c，且 a=5 ，由=122-42m=144-8m 0 并且不等式25=a2(b-c)2=(b+c)2-4bc=36-2m ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载3求某些方程或方程组的解例 6 求方程 5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0的实数解解 先把 y 看作是常数，把原方程看成是关于x 的一元二次方程，即5x2+(8y-2)x+(5y2+2y+2)=0 因为 x 是实数，所以判别式=(8y-2)2-45(5y2+2y+2) 0，化简后整理得y2+2y+1 0，即(y+1)20，从而 y=-1 将 y=-1 代入原方程，得5x2-10 x+5=0 ，故 x=1 所以，原方程的实数解为x=1，y=-1 说明(1)本题也可以把x 看作常数，把方程写成关于y 的一元二次方程，再用判别式来求解(2)本题还可以用配方的方法，把原方程变形为4(x+y)2+(x-1)2+(y+1)2=0，从而 x=1， y=-1 例 7 解方程组解 引入待定系数k，由 k +得或写成=(k+4)2-4(k+7)(k-1)=0即4证明不等式，求最大值和最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去是多少？(x-3)2+(kx-3)2=6，即(k2+1)x2-6(k+1)x+12=0，将它看成关于x 的一元二次方程因x 是实数，所以=36(k+1)2-48(k2+1)0，即k2-6k+1 0 解 由于所以yx2+(y-2)x+y=0 ，上式可以看成关于x 的一元二次方程因x 为实数，所以=(y-2)2-4y20，即3y2+4y-4 0，(3y-2)(y+2) 0当 y=-2 时，代入yx2+(y-2)x+y=0中，得 x=-1 ，即 x=-1 时， y=例 10 实数 a， b，c 满足 a+b+c=2 ，且对任何实数t，都有不等式-t2+2t ab+bc+ca 9t2-18t+10 ，证 因为对任何实数t，有-t2+2t=-(t-1)2+11，9t2-18t+10=9(t-1)2+11，当 t=1 时，便有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载1ab+bc+ca 1，所以ab+bc+ca=1 由于 a+b=2-c ，于是ab=1-c(a+b)=1-c(2-c)=(c-1)2，于是 a，b 是一元二次方程t2-(2-c)t+(c-1)2=0 的两个实数根所以=(2-c)2-4(c-1)20，即 3c2-4c 0，练习九1选择：(1)某一元二次方程根的判别式=2m2-6m+5 ，此方程根的情况是 (A)有两个不相等的实根(B)有两个相等的实根(C) 没有实根(D) 由实数 m 的值而定(2)关于 x 的方程 2kx2+(8k+1)x=-8k有两个实根，则k 的取值范围是 (3)如果关于x 的方程 mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实根，那么关于x 的方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0的实根个数为 (A)2 个(B)1 个(C)0 个(D) 不确定(4)方程 (x+1)2+(y-2)2=1 的整数解有 (A)1 组(B)2 组(C)4 组(D) 无数组(5)若 x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)的根，则判别式=b2-4ac 与平方式M=(2ax0+b)2的关系是 (A) M(B) =M (C) M(D) 不确定2填空：(1)关于 x 的方程 (a2-4)x2-2(a+2)x+1=0 恰有一个实根，则a=_ (2)设 m 是不为 0 的整数，二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根，则m=_ (3)当 m=_ 时，二次方程(m2-2)x2-2(m+1)x+1=0 有两个不等的实数根(4)p ，q 是正数，如果方程x2+px+q=0 的两个根之差是1，那么 p=_ (5)若 x 为实数，且有4y2+4xy+x+6=0 ，则使 y 取实数值的所有x 值的范围是 _ 3求方程 5x2-12xy+10y2-6x-4y+13=0的实数解4解方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载5已知 a，b 是整数， x2-ax+3-b=0 有两个不相等的实根，x2+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实根， x2+(4-a)x+5-b=0没有实根，求a，b 的值6已知 a 是实数，且关于x 的方程 x2-ax+a=0 有两个实根u，v，求证： u2+v22(u+v) 第十讲 一元二次不等式的解法形如 ax2+bx+c 0 或 ax2+bx+c 0(a 0)的不等式叫作一元二次不等式一元二次不等式的解法与二次函数、一元二次方程的根之间有着密切的联系，a0 的情况如表101 所示。a0 时，可先在不等式两边同乘-1( 不等号方向改变)，化为上述情况本讲将介绍有关处理一元二次不等式问题的方法与技巧1含参数的不等式的解法例 1 设 a 为参数，解关于x 的一元二次不等式x2(a+3)x+3a 0解 分解因式(x-3)(x-a) 0(1)若 a 3，解为 3xa；(2)若 a 3，解为 ax3；(3)若 a=3 ，原不等式变成(x-3)20，无解例 2 设 a 为参数，解关于x 的一元二次不等式ax2-(a+1)x+1 0解 (1)a=0 ，原不等式为 -x+1 0，解为 x1(2)a 0，分解因式得若 a0，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载若 a0，则例 3 对一切实数x，不等式ax2+(a-6)x+2 0 恒成立，求a 的值解 由于不等式对一切x 恒成立，故a 应该满足即所以2 a18例 4 设有不等式试求对于满足0 x 2 的一切 x 成立的 t 的取值范围解 令 y=x2-3x+2 ，0 x2，则在 0 x2 上 y 能取到的最小所以2含绝对值的不等式例 5 解不等式x2-x-5 |2x-1| x2-x-5 2x-1 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载即x2-3x-4 0，x2-x-5 1-2x ，即x2+x-6 0，综上所述，原不等式的解为x-3 或 x4例 6 解不等式 |x2-2x-3| 2解 |y|2，即 y2 或 y-2，所以，可以把原不等式分为两个不等式：x2-2x-3 2， x2-2x-3 -2 解得综合上述两个不等式的解，原不等式的解为(图 313) 3可化为一元二次不等式来解的不等式例 7 解不等式解 原不等式可化为(x-1)(x+1) 0，所以x-1 或 x1例 8 解不等式解 首先，由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载得-1x3将原不等式变形为由于上式两边均非负，故两边平方后、整理得(7-8x)216(x+1) ，所以64x2-128x+33 0，例 9 设 a0，解不等式解 因为 a0，的左端非负，因此x+1 0下面分两种情形讨论(1)x 0 时，式左右两边平方得a2x(x+1)2，整理得x2+(2-a2)x+1 0 因为 =(2-a2)2-4=a2(a2-4) ，所以 a2 时， 0，对一切x0 成立 a2 时， 0，x2+(2-a2)x+1 有实根，而且两根的积为1，和为非负数a2-2，所以两根均为正的解为及(2)-1 x0 时，式变为式两边平方、整理得x2+(a2+2)x+1 0 因为 =(a2+2)2-40，所以 x2+(a2+2)x+1 有两个不相等的实数根，由韦达定理知，两根均为负由于两根积为1，较小的根小于-1，较大的根大于-1，所以的解为综合 (1)，(2)，原不等式的解为：当 a2 时，及精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载当 0a2 时，练习十1填空：(1)不等式 5x-3x2-20 的解为 _ (2)不等式 42x2+ax a2的解为 _ (3)不等式 x2-4|x|+3 0 的解为 _ (8)若对任何实数x，不等式 kx2-(k-2)x+k 0 恒成立，则k 的取值范围是_ 2解不等式x4-3x2+203解关于 x 的不等式4不等式对一切 x 都成立，求k 的取值范围5a 为何值时，只有一个x 值满足不等式0 x2+ax+5 4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页