2022年空间向量与立体几何导学案 .pdf
学习必备欢迎下载第七章空间向量与立体几何导学案一、 引1、判断下列命题的真假(1)空间向量就是空间中的一条有向线段；(2)不相等的两个空间向量的模必不相等；(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；(4)向量 BA与向量 AB的长度相等(5)若 A、B、C、D 是空间任意四点，则有AB BCCDDA0；(6)对空间任意一点O 与不共线的三点A、B、C，若 OPxOA yOBzOC(其中 x、y、 zR)，则 P、A、B、C 四点共面。2、在正方体ABCD A1B1C1D1 中， E、F 分别为棱BC，A1B1 的中点，设 DAa，DCb，DD1 c，请用 a、b、c 表示向量 B1E，CF. 3、已知空间四边形ABCD 中， ABa，BC b，ADc，则 CD() A abc Bcab C cabD cab 4、在正方体A1B1C1D1 ABCD 中， E 是 C1D1 的中点，则异面直线DE 与 AC 夹角的余弦值为() A1010B120C.120D.10105、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(1,0,1)，b(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是() A 90 B30C45 D606、已知两平面的法向量分别为m (0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为() A 45B135C45 或 135D90二、 探 课程标准1了解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘向量运算的性质，会运用上述知识熟练地进行空间向量的运算2理解共线向量、直线的方向向量、共面向量，会用所学知识解决立体几何中有关的简单问题3掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质及运算律，会用它解决立体几何中的简单问题4理解空间向量的正交分解及其坐标的表示，掌握空间向量的坐标运算及数量积的坐标表示，会判断两个向量平行或垂直；掌握两个向量的夹角公式和向量长度的坐标计算公式，并会用这些公式解决有关问题5理解平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系6能用向量方法证明有关线、面位置关系，能够用向量方法解决线线、线面、面面的夹角及其长度问题7经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，在运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题中，体会向量方法在研究几何图形的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力 学法探究：作类比1空间向量概念、坐标表示及运算与平面向量类似，向量加法的平行四边形法则、三角形法则仍然成立共线向量定理、 数量积及其运算都是平面向量在空间的推广，空间向量基本定理，是由二维到三维的推广精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载2可类比用平面向量解决平面几何问题探究如何用空间向量解决立体几何问题(1)ab，ab，是用向量研究立体几何中线线、线面、面面平行与垂直的基本工具，直线的方向向量、平面的法向量是关键(2)cosa，ba b|a|b|是计算空间各种角的基础，但应注意线线角、线面角、二面角的范围 请填空1、空间向量的概念及表示(1)与平面向量一样，我们把空间中具有和的量叫做空间向量，向量的叫做向量的长度或模(2)与平面向量一样， 空间向量也用表示起点是 A， 终点是 B 的向量 a 也可以记作.其模记作 . (3) 的向量叫做零向量，记为0；模为的向量叫做单位向量(4) 的向量称为相等向量与向量a的向量称为a 的相反向量，记为2、空间向量的线性运算空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样(1)加法满足平行四边形法则，加法和减法满足三角形法则，加法的交换律、结合律都成立(2)实数 与向量 a 的乘积 a 是一个向量， 0 时， a 与 a 方向相同， 0 时， a 与 a 方向相反， 0 时， a，其方向是任意的，| a|. 设 、是实数，则有分配律： ( ab)结合律： ( a). 3、空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a， b， 在空间任取一点O， 作OAa， OBb， 则 AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作，其范围是0a，b ，若 a，b2，则称 a 与 b，记作 ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b 则叫做向量a， b 的数量积，(2)空间向量数量积的运算律结合律： ( a) b；交换律：a b；分配律： a (bc)4基本定理(1)共线向量定理：空间任意两个向量a、b(b 0)，ab 的充要条件是存在实数 ，使. (2)共面向量定理： 如果两个向量a，b ，p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在实数x，y 使 pxayb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c ，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使. 5 、 坐 标 运 算 ： 若123(,)aa a a，123( ,)bb b b， 则 （ 1 ）_ab，_ab，_a，_a b。（2）平行垂直的条件：若123(,)aa a a，123( ,)bb b b/ /_ab，_ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载（3）向量夹角与长度的坐标计算公式：若123(,)aa aa，123( ,)bb b b，则|_aa a，| |_bb b，cos_| |a ba bab三、 讲例题 1、如图，在四面体S-ABC 中，若 SABC，SBAC ，试证 SCAB. 例题 2、20XX 年辽宁高考（理科）第18 题.如图，直三棱柱/ABCA B C，90BAC，/,ABACAA点 M，N 分别为/A B和/B C的中点。()证明：MN平面/A ACC;()若二面角/AMNC为直二面角，求的值。例题 3、20XX 年辽宁高考（理科）第18 题如图，.ABPAC是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（I）求证：PACPBC平面平面；（II ）2.ABACPACPBA若，1，1，求证：二面角的余弦值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载例题 4、20XX 年辽宁高考（理科）第19 题. 如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且2ABBCBD，0120ABCDBC，E、F 分别为 AC 、DC 的中点 .（1）求证：EFBC； （2）求二面角EBFC的正弦值 . 例题 5、20XX 年辽宁高考（理科）第19 题如图， 长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1E = D1F= 4，过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面 所成的角的正弦值。四、 练金版教程高考总复习首选用卷数学 (理) 第 113 页考点测试46 空间向量以其运算基础 经典全面扫描第 115 页考点测试47 立体几何中的向量方法基础 经典全面扫描五、 小结与反思：六、 作业金版教程高考总复习首选用卷数学 (理) 第 113 页考点测试46 空间向量以其运算规范特训 3 年高考题组第 115 页考点测试47 立体几何中的向量方法规范特训 3 年高考题组D DC1A1E F A B C B1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
