2022年空间点到直线距离的多种解法 .pdf
1 空间点到直线距离的多种解法摘 要在空间解析几何中，空间点、直线、平面之间的关系是学习的重点，点和直线的位置关系包括两种：点在直线上，点在直线外.当点在直线外时，点到直线距离的计算随之出现.关于解决点到直线距离的问题，涵盖了空间解析几何中两点间距离、向量运算、直线方程、平面方程等诸多知识点.本文将对一具体例题，介绍点到直线距离的多种解法. 关键词点、直线、距离、向量、平面、解法例：求点 A2，4，1到直线 L：32221zyx的距离1 运用向量积的计算及向量积的几何意义已知直线方程111xxyyzzXYZ，直线外一点A000,xyz，直线上一点111,xyz，以v和A构成平行四边形，这里v v为底的高 . 即d=vvA=222101010101010ZYXYXyyxxXZxxzzZYzzyy解：如图 1 ，过点 A作直线 L 的垂线，垂足为 B. 设-1，0，2为 L 上任一点，v=2，2，-3 为 L 的方向向量 . 以v和A为两边构成平行四边形S=vA， 显然点 A到直线 L 的距离 AB 就是这平行四边形的对应于以v为底的高即 AB =vS=vvA=222222322224323313214=3 2 运用平面方程、参数方程及线面交点的方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 111xxyyzzXYZ转化成参数方程111xXtxyYtyzZtz由此设出垂足B 坐标，又因为垂足 B在平面方程上，即可得出B点坐标. 再由两点间距离公式得出点到直线的距离 . 解：先求过点 A与直线 L 垂直的平面方程 . 用点法式，得2x-2 +2(y-4)-3(z-1)=0 即 2x+2y-3z-9=0 将直线 L 方程用参数方程表示为23212tztytx由此设垂足 B的坐标为 2t-1 ，2t,-3t+2因 B 在垂面上得 4t-2+4t+9t-6-9=0 即 t=1 所以点 B坐标为 1，2，-1 所以 AB =222)11()24() 12(=3 3 运用两点间距离公式及参数方程的方法将直线方程111xxyyzzXYZ转化成参数方程，可设出直线上任一点A的表达式，用取A最小值的方法即得出点到直线的距离. 解：由直线 L 的参数方程23212tztytx可设 L 上任一点的坐标为 2t-1,2t,-3t+2由两点距离公式得A=222) 13()42()32(ttt =2634172tt =91172t可得当 t=1 时， A最小值为 3 所以点到直线距离为3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 4 运用两向量垂直，数量积为零的结论由直线方程111xxyyzzXYZ可设出垂足B 的坐标，显然vAB, 由vAB=0得到点 B的坐标，由两点距离公式得到点到直线的距离. 解：由直线 L 的参数方程，可设垂足B的坐标为 2t-1,2t,-3t+2直线 L 的方向向量v=2，2，-3 AB =2t-3,2t-4,-3t+1 显然ABv ，得ABv =0 即 2(2t-3)+2(2t-4)-3(-3t+1)=0 得 t=1 所以点 B坐标为 1，2，-1 即AB =222) 11()24() 12(=3 5 运用向量及三角函数的方法连接直线上的点与线外点 A得到与直线的夹角，则 cos=vAvA，sin= 21 cos， d=A sin即得点到直线的距离解： 如图 1 ，A=3，4，-1 ，v=2，2，-3 cos=vAvA=2617sin= 21 cos=263A=222) 1(43=26AB=Asin=3 6 利用点到平面距离公式的方法确定线外点A 和直线所确定的平面并作出一个过直线且垂直于点和直线所确定平面的另一平面，所求d 即为点到作出平面的距离. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4 解： 如图(2), 设点 A和直线 L所确定的平面为，过直线 L 且垂直于的平面为. 于是所求距离d 即为点 A到平面的距离 . 设平面的法向量为 n，则 nv另一方面， nn n 为平面的法向量因此n= nv而 n =vA所以n=vAv=AvvvvA =3,2,23,2 ,21,4 , 3-1,4,33,2, 23,2, 2 =172,2,1不妨取 n=2,2,1. 得平面的方程为-(x+1)-2y-2(z-2)=0 即 x+2y+2z-3=0 d=222221312422=3 7 运用点与点关与直线对称的方法. 找出直线外一点 A的对称点 A ，可知vAA=0得到一个式子 1 ，又因AA中点在直线上可得到另一个式子2 ，解出由 1 2两式所组成的方程组，即得 A 的坐标，由 d=2AA得出点到直线的距离 . 解：设点 A关于直线 L 的对称点为zyxA,，则vAA=0 即zyx134222=0 又AA的中点21,24,22zyxa在直线 L 上即32212242122zyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 解 式组成的方程组，得A 的坐标为3,0 ,0. AA=4,4,2d=222442212AA=3 8 运用求极限的方法. 对于直线上任一点，由直线方程111xxyyzzXYZ得出的坐标，得到 AM 的表达式，利用取极小值的方法，即得点到直线的距离. 解：设为直线 L 上一点由32221zyx知点坐标为243, 1yyy. AM =222)1243()4()21(yyy = 26174172yy对于26174172yyx因4170 故 x 有极小值 . 极小值为抛物线26174172yyx顶点的纵坐标 . x=9 AM 有极小值 3 d=3. 9 运用球面和直线相切的方法以直线外一点为中心作一球面并与直线相切，中心到切点的距离即半径也就是点到直线的距离 . 解：设球面方程为2222142dzyxv, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 0134222111zyx1又为球面上一点2212121142dzyx2又32221111zyx3由123消去111zyx得 d=3 所以点到直线距离为3. 参考文献：3 傅文德 . 求点到直线距离的几种方法.高等数学研究. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
