2022年从数学思想方法的培养角度审视小学数学竞赛的训练与辅导之模拟练习题解答 .pdf

学习必备欢迎下载数形结合思想模拟练习1：1. 柳卡问题 每天中午有一艘轮船由哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。 轮船在途中均要航行七天七夜。且均沿同一航线航行。试问今天中午从哈佛开出的一艘轮船在到达纽约前（途中） 能遇上几艘从纽约开来的同一公司的轮船?（这是十九世纪在一次世界科学会议期间, 法国数学家柳卡向在场的数学家们提出的一个问题, 它难倒了在场的所有数学家, 连柳卡本人也没有彻底解决。后来有一位叫斯图姆的数学家通过图解法, 才使问题最终得到解决, 你能想出来是怎样解决的吗？） 答案如下图13 艘。 分析与解：2. 甲、乙二人上午8 时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6 千米，中午12 点甲到达西村后立即返回东村，在距西村15 千米处遇到乙。问：东、西两村相距多远？ 答案60 千米 分析与解： 两人相遇时甲比乙多走30 千米，此时已走了306=5（时） ，是下午 1 点。说明甲每小时走15 千米，所以东、西两村相距15（ 12-8 ）=60（千米）。4 小时后甲比乙多行64=24（千米），刚好是甲返回15 千米所行时间里与乙相遇的路程，则这段时间里乙行了24-15=9 （千米），两者刚好相差6 千米，说明刚好是1 小时。说明 15 和 9 分别是两者的速度。所以东、西两村相距15（ 12-8）=60（千米）。3. 甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，两人同向而行，甲26 分钟赶上乙；两人相向而行， 6 分钟可相遇。已知乙每分钟行50 米，求 A，B两地的距离。 答案 780 米 分析与解：先根据题意画出草图，由图可知甲26 分钟行的路程等于甲、乙各6 分钟相遇的路程加上乙 26 分钟行的路程。则甲20 分钟行的路程等于乙32 分钟行的路程。则甲速为50 （ 26+6）（ 26-6 ）=80（米） A，B两地距离为（ 80+50） 6=780（米） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载设甲每分钟走x 米。由 A， B两地距离可得 （x+50）6= （x-50 ）26 解得 x=80 （米）。所以 A ，B两地距离为（80+50） 6=780（米） 。4. 某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答： “10 分钟前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了10 分钟，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车的速度是人步行速度的3 倍，那么，汽车速度是人步行速度的多少倍？ 答案 7 倍分析与解： 如图：汽车与自行车的速度差等于自行车与行人的速度和，以行人的速度为1，则自行车的速度为 3，汽车的速度为3 2+1=7。5. 某人沿着电车道旁的便道以4.5 千米 / 时的速度步行，每7.2 分钟有一辆电车迎面开过，每 12 分钟有一辆电车从后面追过。如果电车按相等的时间间隔发车，并以同一速度不停地往返运行， 那么电车的速度是多少？电车发车的时间间隔是多少？ 答案 18 千米 /时；9分。 分析与解：如图：提示：与案例2 类似，由 7.2 ，12=36 ，假设此人向前走36 分钟，再向回走36 分钟，共遇到同方向的车367.2+36 12=8（辆），两车间隔（ 36+36） 8=9（分） 。电车速度为 4.5 7.2 （ 9-7.2 ）=18 （千米 / 时） 。 （注 7.2 （ 9-7.2 ）表示人行7.2 分钟的路程 =车行 1.8 分钟的路程。 ）6. 铁路旁有一条小路，一列长110 米的火车以30 千米 / 时的速度向南驶去，8 点时追上向南行走的一名工人，15 秒后离他而去，8 点 6 分迎面遇到一个向北行走的农民，12 秒后离开这个农民。问：工人与农民何时相遇？ 答案 8 点 30 分分析与解： 如图：则火车每分钟行30100060=500（米） ，8 点时工人与农民相距（500+50） 6=3300（米） ，两人相遇还需3300（ 60+50）=30（分），即 8 点 30 分两人相遇。7. 小红从家到火车站赶乘火车，每小时行4 千米，火车开时她还离车站1 千米；每小时行 5 千米，她就早到车站12 分钟。小红家离火车站多少千米？ 答案 9 千米 分析与解： 如图：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载根据追及问题或用盈亏问题的思想分析可得：（ 512 60+1） （5-4 ） =2 （小时）。则小红家距车站42+1=9（千米）。设小红出发时离火车开还有x 时。由到车站的距离可列方程解得 x=2。则小红家距车站4219（千米）。模拟练习2：1.41+81+161+321+641+1281+2561+5121+1024141 21024110245112.31+61+121+241+481+961+1921+384131238413842553.51+101+201+401+801+1601+3201+640151 264016402554.74+72+71+141+281+561+1121+224174222412242555.68+34+17+8.5+4.25+2.125+1.0625+ 682136 6.21+61+121+201+301+421+561+721+90111011097.21+65+1211+2019+3029+4241+5655+7271+90899（ 1101）1098模拟练习3：1. 一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27 头牛吃 6 周或供 23 头牛吃 9 周。那么，可供21 头牛吃几周？设1 头牛一天吃的草为1 份。那么， 10 头牛 20 天吃 200 份，草被吃完； 15 头牛 10 天吃 150 份，草也被吃完。前者的总草量是200 份，后者的总草量是150 份，前者是原有的草加20 天新长出的草，后者是原有的草加10 天新长出的草。 答案12 周分析与解： 如图：设 1 头牛 1 周吃的草为1 份。则牧场每周新长草 （23927 6） （9 6） 15 （份）。则草地原有草（2715） 672（份）可供21 头牛吃 72（ 2115） 12（周）。2. 一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17 头牛吃30 天或供19 头牛吃24天。 有一群牛， 吃了 6 天后卖掉4 头， 余下的牛又吃了2 天将草吃完， 这群牛原来有多少头？ 答案 40 头分析与解： 如图：设 1 头牛 1 天吃的草为1 份。则牧场每天新长草（17301924）（3024）9 （份）。则草地原有草（179） 30240（份）这群牛8 天应吃掉草2409 842320（份），所以这群牛有3208 40（头）。3. 经测算，地球上的资源可供100 亿人生活100 年，或可供80 亿人生活 300 年。假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载多少亿人？ 答案 70 亿分析与解： 如图：设 1 亿人生活1 年消耗的资源为1 份。则地球每年新生成资源（80300100100）（300100） 70（份）。当新生成的资源不少于每年消耗掉的资源时，地球上的资源才不至于减少。所以地球最多能养活70 亿人。4. 有一水池，池底有泉水不断涌出。用10 部抽水机20 时可以把水抽干；用15 部同样的抽水机，10 时可以把水抽干。那么，用25 部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？ 答案 5 时分析与解： 如图：设 1 部抽水机1 时抽出的水为1 份。则水池中每小时涌出泉水（10201510）（2010） 5（份）。则水池原有水 （105）20 100 （份），25 部抽水机抽干需100 （ 255）5 （时）。5. 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。如果同时开放 3 个检票口，那么40 分钟检票口前的队伍恰好消失；如果同时开放4 个检票口，那么25分钟队伍恰好消失。如果同时开放8 个检票口，那么队伍多少分钟恰好消失？ 答案 10 分分析与解： 如图：设 1 个检票口1 分钟通过的旅客为1份。则每分钟新来旅客 （340425） （4025）34（份）。则原有旅客 （334）403200（份），开 8 个检票口需3200（834）10（分）。6. 两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬， 两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20 分米，另一只爬15 分米。 黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用5 个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？ 答案 15 米分析与解： 如图：每夜下划（ 205155）（ 65）10（分米）。则井深（ 2010） 5 150（分米） 15（米） 。7. 两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20 秒钟里，男孩可走27 级梯级，女孩可走24 级梯级，结果男孩走了2 分钟到达另一端，女孩走了3 分钟到达另一端。问：该扶梯共多少级？答案 54 级精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载分析与解： 如图：自动扶梯每分钟走24 （ 18020） 27（ 12020） （ 32）54（级）。则自动扶梯共有27 （120 20） 54 2 54（级）。8. 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开 4 个检票口需30 分钟， 同时开 5 个检票口需20 分钟。 如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分钟？ 答案 12 分分析与解： 如图：旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。设 1 个检票口1 分钟检票的人数为1 份，则每分钟新来旅客 （430- 520）（30-20 ）=2（份）。假设让 2 个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消， 其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为（4-2 ）30=60（份）或（5-2 ）20=60（份）。同时打开 7 个检票口时， 让 2 个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要60（ 7-2） =12（分） 。9.一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。 如果同时打开2 个出水管， 那么 8 分钟后水池空； 如果同时打开3 个出水管，那么 5 分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？ 答案 40 分分析与解： 如图：设 1 个出水管1 分钟排出的水为1 份。则每分钟进水量答：出水管比进水管晚开40 分钟。模拟练习4：1. （学区选拔赛题10）如左下图，由边长为1cm的正六边形排成一长条形链子。其中每个黑色六边形与6 个白色六边形相邻。若链子上有366 个白色六边形，则此链子有（）个黑色六边形。 答案 91 个分析与解： 根据图形分析可得规律：每增加一个黑色六边形，则需增加 4 个白色六边形，即可得若链子上有n 个黑色六边形，则此链子共有2+4n 个白色六边形。根据题意分析反思考可得： 其中左边第一个黑色六边形与6 个白色六边形相邻即每增加一个黑色六边形，则需增加 4：若链子上有366 个白色六边形，则链子共有黑色六边形（366-2 ） 4=91 个。点评：此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力。解题的关键是发现规律：多一个黑色六边形，多4 个白色六边形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载2. （学区选拔赛题14）如右上图，是由相同长度小棒搭成的三角形图形，图1 的三角形边长是由一根小棒构成，图 2 的三角形边长是由二根小棒构成，图 3 的三角形边长是由三根小棒构成，问当三角形的边长由15 根小棒构成时的图形共需小棒（）根。 答案 360 根分析与解： 根据图形分析可得规律：边长是1 根小棒的三角形根数是1 3=3（根） ，边长是 2 根小棒的三角形根数是（1+2） 3=9（根） ，边长是 3 根小棒的三角形根数是（1+2+3） 3=18 （根） ，可得若边长是n 根小棒的三角形根数是（1+2+3+n） 3= （1+n）n2 3 （根） ，则边长是15 根小棒的三角形根数是（1+15） 15 2 3=360（根）。3. 将长为30 厘米，宽为10 厘米的长方形白纸，按如下中图的方法粘贴起来，粘贴部分的宽为3 厘米，求20 张白纸粘贴后的总面积是多少？ 答案 5430 平方厘米 分析与解： 根据图形分析可得规律：最后一张白纸最右边除去3cm后，从每张左起到粘贴处左边长各为27cm ，则 20 张白纸粘贴后的长为（30 3）203543（cm） ，所以面积为 543 105430（平方厘米）。4. 左上图是由18 个边长为1 厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。 答案 48 平方厘米 分析与解： 如果一面一面去数，那么虽然可以得到答案，但太麻烦，而且容易出错。仔细观察会发现，这个立体的上面与下面、左面与右面、前面与后面的面积分别相等。则如上图所示，可求得表面积为（978）2=48（厘米2）。5.有 30 个边长为1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色。求被涂成红色的表面积。 答案 56 平方厘米 分析与解： 方法同题 4，可求得表面积为（1010）2 16=56（厘米2）6. 用四条直线最多能将一个圆分成几块？用100 条直线呢？ 答案 11 块， 5051 块分析与解： 4 条直线时，我们可以试着画，100 条直线就不可能再画了，所以必须寻找到规律。如下图所示，一个圆是1 块；1 条直线将圆分为2 块，即增加了1 块； 2 条直线时，当 2 条直线不相交时，增加了1 块，当 2 条直线相交时，增加了2 块。由此看出，要想分成的块尽量多，应当使后画的直线尽量与前面已画的直线相交。再画第 3 条直线时，应当与前面2 条直线都相交，这样又增加了3 块（见左下图）；画第 4 条直线时，应当与前面3 条直线都相交，这样又增加了4 块（见右下图）。所以4条直线最多将一个圆分成1 1234=11（块）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载由上面的分析可以看出，画第 n 条直线时应当与前面已画的（n1）条直线都相交，此时将增加n 块。因为一开始的圆算1 块，所以 n 条直线最多将圆分成1（12 3 n）=1 n（n+1）2（块）。当n=100 时，可分成1100（ 1001）2=5051（块）。模拟练习5：1.1，2，3， 4，5，6 号六名运动员进行乒乓球单打循环赛。到现在为止，1，2，3，4，5 号运动员已参加比赛的场数正好等于他们的编号数。问：6 号运动员已经赛了几场？ 答案3 场2.有 A、B、C、D、E、F6 个人参加会议，见面时每两个人都要握一次手。现知道A 握了 5 次， B 握了 4 次， C 握了 3 次， D 握了 2 次， E 握了 1 次，请问F 握了几次？ 答案 3场3.有 A、B、C、D、E 五支球队，每两队之间都要赛一场。至今为止，A、D 赛了 4 场，B、C 赛了 3 场。请问： E 赛了几场？ 答案 2 场或 4 场函数与方程思想模拟练习1：1.某建筑公司有红、灰两种颜色的砖，红砖量是灰砖量的2 倍，计划修建住宅若干座。若每座住宅使用红砖80 米3，灰砖 30 米3，那么，红砖缺40 米3，灰砖剩40 米3。问：计划修建住宅多少座？ 答案 6 座 分析与解：用直接设元法。 设计划修建住宅x 座， 则红砖有（80 x-40 ） 米3， 灰砖有（30 x+40）米3。根据红砖量是灰砖量的2 倍，列出方程80 x-40= （30 x+40） 2， x=6（座）。或用间接设元法。设有灰砖 x 米3，则红砖有2x 米3。根据修建住宅的座数，列出方程。（x-40 ） 80=（2x+40） 30，x=220（米3）。由灰砖有220米3，推知修建住宅（220-40 ） 30=6（座）。同理，也可设有红砖x 米3。50 个。2.教室里有若干学生，走了10 个女生后，男生是女生人数的2 倍，又走了9 个男生后，女生是男生人数的5 倍。问：最初有多少个女生？ 答案 15 个 分析与解： 设最初有 x 个女生，则男生最初有（x-10） 2 个。根据走了10 个女生、 9个男生后，女生是男生人数的5倍，可列方程x-10= （x-10） 2-95，x=15（个）。3. 甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付4 元， 而三人行李共重150 千克。如果一个人带150 千克的行李， 除免费部分外， 应另付行李费8 元。求每人可免费携带的行李重量。 答案 30 千克 分析与解： 设每人可免费携带x 千克行李。一方面，三人可免费携带3x 千克行李，三人携带 150 千克行李超重（150-3x ）千克，超重行李每千克应付4（ 150-3x ）元；另一方面，一人携带150 千克行李超重（150-x ）千克，超重行李每千克应付8（ 150-x ）元。根据超重行李每千克应付的钱数，可列方程4（ 150-3x ）=8（ 150-x ）， x=30（千克）。4.大、小两个水池都未注满水。若从小池抽水将大池注满，则小池还剩5 吨水；若从大池抽水将小池注满，则大池还剩30 吨水。已知大池容积是小池的1.5 倍，问：两池中共有多少吨水？ 答案 80 吨 分析与解： 设小池注满水为x 吨，则大池注满水为1.5x 吨。由两池共有水量，可列方程 1.5x+5=x+30 。解得 x=50。两池共有水50+30=80（吨）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载5. 一群小朋友去春游，男孩每人戴一顶黄帽，女孩每人戴一顶红帽。在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多5 顶；在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的2 倍。问：男孩、女孩各有多少人？ 14 个男孩， 8 个女孩。 答案 14 个男孩， 8 个女孩 分析与解： 设有 x 个男孩。因为每个人看不到自己的帽子，根据男孩看的情况，有女孩（x-5-1 ）个。再根据女孩看的情况，可列方程x=（ x-5-l ） -1 2。得 x=14。6. 教室里有若干学生，走了10 个女生后，男生人数是女生的1.5 倍，又走了10 个女生后，男生人数是女生的4 倍。问：教室里原有多少个学生？ 答案 50 人 分析与解： 设原有女生x 个。根据男生人数可列方程（x-10 ） 1.5= （x-20 ） 4。解得 x=26。男生有（ 26-20 ） 4=24（个），共有学生26+24=50（个）。7. 一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是97；过了一会跑走的公羊又回到了羊群，却又跑走了一只母羊， 牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是75。 这群羊原来有多少只？ 答案 49 只 分析与解： 设这群羊原有x 只。由原有公羊只数可得方程模拟练习2：1 求不定方程5x+3y=68 的所有整数解。 答案 分析与解： 容易看出，当y=1 时， x=（68-3 1） 5=13，即 x=13，y=1 是一个解。因为 x=13，y=1 是一个解，当x 减小 3，y 增大 5 时， 5x 减少 15， 3y 增大 15，方程仍然成立，所以对于x=13，y=1，x 每减小 3，y 每增大 5，仍然是解。方程的所有整数解有5 个：只要找到不定方程的一个解，其余解可通过对这个解的加、减一定数值得到。限于我们学到的知识，寻找第一个解的方法更多的要依赖“拼凑”。2用 100 元钱去买 3 元一个和7 元一个的两种商品，钱正好用完， 共有几种买法？ 答案 5 种 分析与解： 容易看出，各买10 个是一种买法。7 个 3 元的商品可以换3 个 7 元的商品，可得下面的5 种买法：。3五年级一班的43 名同学去划船，大船可坐7 人，小船可坐5 人，需租大、小船各多少条？ 答案 4 条大船， 3 条小船 分析与解： 设大船 x 条，小船 y 条。可列方程7x+5y=43 ，由 x、y 一奇一偶易得x=4，y=3。模拟练习3：1. 有一个两位数， 把数码 1 加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数之和是970。求原来的两位数。 答案 79 分析与解： 设原来的两位数为x，则（ 100+x）+（10 x+1） =970。得 x=79。2. 有一个三位数，将数码1 加在它的前面可以得到一个四位数，将数码3 加在它的后面也可以得到一个四位数，这两个四位数之差是2351，求原来的三位数。 答案 372 分析与解： 设原来的三位数为x，则（ 10 x+3）- （1000+x）=2351。解得 x=372。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载3. 一个两位数，各位数字的和的5 倍比原数大6，求这个两位数。 答案 24 或 69 分析与解： 设这个两位数为，则有（ a+b） 5- （10a+b）=6，4b-5a=6 。当 b=4，a=2或 b=9， a=6 时， 4b-5a=6 成立，所以这个两位数是24 或 69。4. 一个两位数，各位数字的和的6 倍比原数小9，求这个两位数。 答案 63 分析与解： 设这个两位数为，则有（ 10a+b）- （a+b） 6=9，得 4a-5b=9 。则 a=6，b=3，所求两位数为63。5. 一个三位数，抹去它的首位数之后剩下的两位数的4 倍比原三位数大1，求这个三位数。 答案 267 分析与解： 设三位数的百位数字为a， 后两位数为x， 则有 4x-（100a+x） =1， 3x=100a+1。因为 x 是两位数， 所以 3x300，推知 a=1 或 2。若 a=1，则 x=1013 不是整数， 不合题意；若 a=2，则 x=2013=67。所求三位数为267。模拟练习4：1. 如下左图，在三角形ABC中， BD=DF=FC ，BE=EA 。若三角形EDF的面积是1，则三角形 ABC的面积是多少？ 答案 6 分析与解： 连接 CE ，则 SACE=S BCE ，SBED=S EFD=S CFE 。2. 如下中图所示，四边形ABCD的面积是1，将 BA ，CB，DC ，AD分别延长一倍到E， F，G ，H，连结 E，F，G ， H。问：得到的新四边形EFGH的面积是多少？ 答案 5 分析与解： 连结 AF和 AC （见右图） 。容易求出 SEBF=2S ABC 。 同理可求出SHDG=2SADC 。所以 SEBF+S HDG=2S ABCD 。同理可知SEAH+S GCF=2S ABCD ，所以 S四边形EFGH=S EBF+S HDG+S EAH+S GCF+S 四边形 ABCD=5S 四边形 ABCD=5 。3如下右图， 三角形 ABC的面积是30 厘米2，AE=ED ，BD=32BC ，求阴影部分的面积和。 答案 12 厘米2 分析与解： 连结 DF。因为 AE=ED ，所以 BED与 ABE面积相等，阴影部分的面积和等于 ABF的面积。因为BD=32BC ，所以 FBC等于 FBD面积的23。又因为 AE=ED ，所以ABF与 FBD面积相等，所以。解得SABF=12 ，即阴影部分的面积和为12 厘米2。模拟练习5：1一架飞机以每小时250 千米的速度从甲机场飞往乙机场，到达乙机场上空时，因天气原因无法降落，于是立即在空中掉头，以每小时200 千米的速度按原路飞回甲机场，一共用了436小时，求甲乙两机场的空中距离是多少？ 答案 750 千米 分析与解： 路程一定， 速度之比与时间之比成反比。则去与回的时间之比为250：200=5：4，则去的时间为6.75454=3（小时），则两机场的距离是：2503=750（千米）。精选学习资料 - 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