2022年信息论与编码试卷及答案 .pdf

一、 （11 ）填空题（1）1948 年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。（2）必然事件的自信息是0 。（3）离散平稳无记忆信源X 的 N 次扩展信源的熵等于离散信源X 的熵的N 倍。（4）对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为_信源符号等概分布_。（5）若一离散无记忆信源的信源熵H（X）等于 2.5， 对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为3 。（6）对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟一的是香农编码。（7）已知某线性分组码的最小汉明距离为3，那么这组码最多能检测出_2_个码元错误，最多能纠正 _1_个码元错误。（8）设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要待传送的信息传输率R_小于 _C（大于、小于或者等于） ，则存在一种编码，当输入序列长度n 足够大，使译码错误概率任意小。（9）平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与 _译码规则 _和_编码方法_有关二、 （9 ）判断题（1）信息就是一种消息。（）（2）信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现信息传输、存储和处理的有效性和可靠性。（）（3）概率大的事件自信息量大。（）（4）互信息量可正、可负亦可为零。（）（5）信源剩余度用来衡量信源的相关性程度，信源剩余度大说明信源符号间的依赖关系较小。（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 44 页（6）对于固定的信源分布，平均互信息量是信道传递概率的下凸函数。（）（7）非奇异码一定是唯一可译码，唯一可译码不一定是非奇异码。（）（8）信源变长编码的核心问题是寻找紧致码（或最佳码），霍夫曼编码方法构造的是最佳码。（）（9）信息率失真函数R(D) 是关于平均失真度D 的上凸函数 . ( ) 三、（5 ）居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高 1.6 米以上的，而女孩中身高1.6 米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高1.6 米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？解：设 A表示“大学生”这一事件，B表示“身高 1.60 以上”这一事件，则 P(A)=0.25 p(B)=0.5 p(B|A)=0.75 （2分）故 p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375 （2分） I(A|B)=-log0.375=1.42bit （1分）四、 （5 ）证明：平均互信息量同信息熵之间满足I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)证明：YXHXHyxpyxpxpyxpxpyxpyxpYXIXXYjijiYijiXYijijilogloglog;（2分）同理XYHYHYXI;（1分）则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 44 页YXIYHXYH;因为XYHXHXYH（1分）故YXIYHXHXYH;即XYHYHXHYXI;（1分）五、 （18 ）.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：1） 黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X 的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵XH；2）假 设 黑 白 消 息 出 现 前 后 有 关 联 ， 其 依 赖 关 系 为，求其熵XH。3）分别求上述两种信源的冗余度，比较它们的大小并说明其物理意义。解： 1）信源模型为（1分）（2分）2）由题意可知该信源为一阶马尔科夫信源。（2分）由（4分）得极限状态概率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 44 页（2分）（3分）3）119. 02log)(121XH（1分）4 4 7.02l o g)(122XH（1分）12。说明： 当信源的符号之间有依赖时，信源输出消息的不确定性减弱。而信源冗余度正是反映信源符号依赖关系的强弱，冗余度越大，依赖关系就越大。（2分）六、 （18 ）.信源空间为1234567()0.20.190.180.170.150.10.01XxxxxxxxP X，试分别构造二元香农码和二元霍夫曼码，计算其平均码长和编码效率（要求有编码过程）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 44 页14.3)(71iiilapL831.014.361.2)(LXHR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 44 页七（6 ）.设有一离散信道，其信道传递矩阵为2/16/13/13/12/16/16/13/12/1，并设41)(21)(41)(321xpxpxp，试分别按最大后验概率准则与最大似然译码准则确定译码规则，并计算相应的平均错误概率。1） （3分）最小似然译码准则下，有，2） （3分）最大后验概率准则下，有，八（10 ）.二元对称信道如图。1）若430p，411p，求XH、YXH|和YXI;；2）求该信道的信道容量。解： 1）共 6分符号/749.0|bitYXH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 44 页2） ，（3分）此时输入概率分布为等概率分布。（1分）九、 （18 ）设一线性分组码具有一致监督矩阵110101100110111000H1）求此分组码n=?,k=?共有多少码字？2）求此分组码的生成矩阵G。3）写出此分组码的所有码字。4）若接收到码字（101001） ，求出伴随式并给出翻译结果。解： 1）n=6,k=3, 共有 8个码字。（3分）2）设码字012345CCCCCCC由TTHC0得0000135034012CCCCCCCCCC（3分）令监督位为012CCC，则有340451352CCCCCCCCC（3分）生成矩阵为101100110010011001（2分）3）所有码字为000000，001101，010011，011110，100110， 101011，110101，111000。 （4分）4）由TTHRS得1 0 1S， （2分）该码字在第 5位发生错误，（101001）纠正为 （101011） ，即译码为 （ 101001）（1分）1.在无失真的信源中，信源输出由H(X) 来度量； 在有失真的信源中，信源输出由R(D) 来度量。2.要使通信系统做到传输信息有效、可靠和保密，必须首先信源编码，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 44 页然后 _加密 _编码，再 _信道 _编码，最后送入信道。3.带限AWGN波形信道在平均功率受限条件下信道容量的基本公式，也就是有名的香农公式是log(1)CWSNR；当归一化信道容量C/W 趋近于零时， 也即信道完全丧失了通信能力，此时Eb/N0为-1.6 dB，我们将它称作香农限，是一切编码方式所能达到的理论极限。4.保密系统的密钥量越小，密钥熵H(K)就越小 ，其密文中含有的关于明文的信息量I(M；C)就越大 。5.已知 n 7 的循环码42( )1g xxxx，则信息位长度k 为 3 ，校验多项式h(x)= 31xx。6.设输入符号表为X0，1，输出符号表为Y0，1。输入信号的概率分布为p (1/2，1/2)，失真函数为d(0，0) = d(1，1) = 0，d(0，1) =2，d(1，0) = 1，则 Dmin 0 ，R(Dmin) 1bit/symbol ，相应的编码器转移概率矩阵p(y/x)1001；Dmax0.5 ，R(Dmax) 0 ，相应的编码器转移概率矩阵 p(y/x)1010。7.已知用户A 的 RSA 公开密钥 (e,n)=(3,55)，5,11pq, 则( )n40 ，他的秘密密钥 (d,n)(27,55) 。若用户B 向用户 A 发送 m=2 的加密消息，则该加密后的消息为8 。二、判断题1.可以用克劳夫特不等式作为唯一可译码存在的判据。（）2.线性码一定包含全零码。（）3.算术编码是一种无失真的分组信源编码，其基本思想是将一定精度数值作为序列的编码，是以另外一种形式实现的最佳统计匹配编码。（）4.某一信源，不管它是否输出符号，只要这些符号具有某些概率特性，就有信息量。（）5.离散平稳有记忆信源符号序列的平均符号熵随着序列长度L 的增大而增大。（）6.限平均功率最大熵定理指出对于相关矩阵一定的随机矢量X，当它是正态分布时具有最大熵。（）7.循环码的码集中的任何一个码字的循环移位仍是码字。（）8.信道容量是信道中能够传输的最小信息量。（）9.香农信源编码方法在进行编码时不需要预先计算每个码字的长度。（）10. 在已知收码R 的条件下找出可能性最大的发码iC作为译码估计值，这种译码方法叫做最佳译码。（）三、计算题某系统（ 7， 4）码)()(01201230123456cccmmmmcccccccc其三位校验位与信息位的关系为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 44 页231013210210cmmmcmmmcmmm（1）求对应的生成矩阵和校验矩阵；（2）计算该码的最小距离；（3）列出可纠差错图案和对应的伴随式；（4）若接收码字R=1110011，求发码。解： 1. 1000110010001100101110001101G101110011100100111001H2. dmin=3 3. S E 000 0000000 001 0000001 010 0000010 100 0000100 101 0001000 111 0010000 011 0100000 110 1000000 4. RHT=001接收出错E=0000001 R+E=C = 1110010 (发码 ) 四、计算题已知,X Y的联合概率,p x y为：求HX，HY，,HX Y，;IX Y解: (0)2 /3p x(1 )1 / 3p x(0)1/ 3p y(1)2 / 3p y(1/ 3,2 / 3)HXH YH0.918 bit/symbol ,(1/ 3,1/ 3,1/ 3)HX YH=1.585 bit/symbol ;()()(,)IX YH XH YH X Y0.251 bit/symbol 01XY011/31/301/3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 44 页五、计算题一阶齐次马尔可夫信源消息集,321aaaX，状态集,321SSSS，且令3 ,2, 1,iaSii，条件转移概率为03132313131214141)/(ijSaP，(1)画出该马氏链的状态转移图；(2)计算信源的极限熵。解： (1) （2）1321323112123312311411332231141wwwwwwwwwwwwww3.03.04 .0321wwwH(X|S1) =H(1/4,1/4,1/2)=1.5 比特 /符号H(X|S2)=H(1/3,1/3,1/3)=1.585 比特 /符号H(X|S3)=H(2/3,1/3)= 0.918 比特 /符号3|0.4 1.50.3 1.5850.30.918 1.3511Hw HX Siii比特 /符号六、计算题若有一信源2.08 .021xxPX，每秒钟发出2.55 个信源符号。将此信源的输出符号送入某一个二元信道中进行传输（假设信道是无噪无损的，容量为1bit/二元符号），而信道每秒钟只传递2 个二元符号。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 44 页（1）试问信源不通过编码（即x10,x21 在信道中传输）（2）能否直接与信道连接？（3）若通过适当编码能否在此信道中进行无失真传输？（4）试构造一种哈夫曼编码(两个符号一起编码)，（5）使该信源可以在此信道中无失真传输。解： 1.不能，此时信源符号通过0，1 在信道中传输，2.55 二元符号 /s2 二元符号 /s 2. 从信息率进行比较，2.55*(0.8,0.2)H= 1.84 1*2 可以进行无失真传输3. 410.640.16*20.2*3iiiKp K1.56 二元符号 /2 个信源符号此时1.56/2*2.55=1.989 二元符号 /s 1 对应的二元序列的编码效率为，则三者的关系是01 。85、在实际的游程编码过程中，对长码一般采取截断处理的方法。86、 “0”游程和“1”游程可以分别进行哈夫曼编码，两个码表中的码字可以重复， 但 C码 必须不同。87、在多符号的消息序列中，大量的重复出现的，只起占时作用的符号称为冗余位 。88、 “冗余变换” 即：将一个冗余序列转换成一个二元序列和一个缩短了的多元序列。89、L-D 编码是一种分帧传送冗余位序列的方法。90、L-D 编码适合于冗余位较多或较少的情况。91、信道编码的最终目的是提高信号传输的可靠性。92、狭义的信道编码即：检、纠错编码。93、BSC 信道即：无记忆二进制对称信道。94、n 位重复码的编码效率是 1/n 。95、等重码可以检验全部的奇数位错和部分的偶数位错。96、任意两个码字之间的最小汉明距离有称为码的最小距dmin，则 dmin=) ,(minccdcc。97、若纠错码的最小距离为dmin，则可以纠正任意小于等于t= 21mind个差错。98、若检错码的最小距离为dmin，则可以检测出任意小于等于l= dmin-1 个差错。99、线性分组码是同时具有分组特性和线性特性的纠错码。100、循环码即是采用循环移位特性界定的一类线性分组码。三、判断（每题 1 分） （50 道）必然事件和不可能事件的自信息量都是0 。错自信息量是)(ixp的单调递减函数。对单符号离散信源的自信息和信源熵都具有非负性。对单符号离散信源的自信息和信源熵都是一个确定值。错单符号离散信源的联合自信息量和条件自信息量都是非负的和单调递减的。对自信息量、条件自信息量和联合自信息量之间有如下关系：)/()()/()()(jijijijiyxIyIxyIxIyxI对自信息量、条件自信息量和互信息量之间有如下关系：)/()()/()();(ijjjiijixyIyIyxIxIyxI对精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 44 页当随即变量 X和 Y相互独立时，条件熵等于信源熵。对当随即变量 X和 Y相互独立时， I （X；Y）=H （X） 。错10、信源熵具有严格的下凸性。错11、平均互信息量 I （X；Y）对于信源概率分布p（xi ）和条件概率分布p（yj/xi）都具有凸函数性。对12、 m阶马尔可夫信源和消息长度为m的有记忆信源，其所含符号的依赖关系相同。错13、利用状态极限概率和状态一步转移概率来求m阶马尔可夫信源的极限熵。对14、N维统计独立均匀分布连续信源的熵是N维区域体积的对数。对15、一维高斯分布的连续信源，其信源熵只与其均值和方差有关。错16、连续信源和离散信源的熵都具有非负性。错17、连续信源和离散信源都具有可加性。对18、连续信源和离散信源的平均互信息都具有非负性。对19、定长编码的效率一般小于不定长编码的效率。对20、若对一离散信源（熵为H（X） ）进行二进制无失真编码，设定长码子长度为K，变长码子平均长度为K，一般KK。 错21、信道容量 C是 I （X；Y）关于 p（xi ）的条件极大值。对22、离散无噪信道的信道容量等于log2n ，其中 n 是信源 X的消息个数。错23、对于准对称信道，当mypj1)(时，可达到信道容量C。错24、多用户信道的信道容量不能用一个数来代表。对25、 多用户信道的信道容量不能用一个数来代表，但信道的信息率可以用一个数来表示。错26、高斯加性信道的信道容量只与信道的信噪有关。对27、信道无失真传递信息的条件是信息率小于信道容量。对28、最大信息传输速率，即：选择某一信源的概率分布（p（xi ） ） ，使信道所能传送的信息率的最大值。错29、对于具有归并性能的无燥信道，当信源等概率分布时（p（xi ）=1/n） ，达到信道容量。错30、求解率失真函数的问题，即：在给定失真度的情况下，求信息率的极小值。对31、信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确定性就越小，获得的信息量就越小。错32、当 p（xi ） 、p（yj/xi）和 d（xi ，yj ）给定后，平均失真度是一个随即变量。错33、率失真函数对允许的平均失真度具有上凸性。对34、率失真函数没有最大值。错35、率失真函数的最小值是0 。对36、率失真函数的值与信源的输入概率无关。错37、信源编码是提高通信有效性为目的的编码。对38、信源编码通常是通过压缩信源的冗余度来实现的。对39、离散信源或数字信号的信源编码的理论基础是限失真信源编码定理。错40、一般情况下，哈夫曼编码的效率大于香农编码和费诺编码。对精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 44 页41、在编 m （m2 ）进制的哈夫曼码时，要考虑是否需要增加概率为0 的码字，以使平均码长最短。对42、游程序列的熵（“0”游程序列的熵与“ 1”游程序列的熵的和）大于等于原二元序列的熵。错43、在游程编码过程中，“0”游程和“ 1”游程应分别编码，因此，它们的码字不能重复。 错44、L-D 编码适合于冗余位较多和较少的情况，否则，不但不能压缩码率，反而使其扩张。 对45、狭义的信道编码既是指：信道的检、纠错编码。对46、对于 BSC信道，信道编码应当是一对一的编码，因此，消息m的长度等于码字c的长度。错47、等重码和奇（偶）校验码都可以检出全部的奇数位错。对48、汉明码是一种线性分组码。对49、循环码也是一种线性分组码。对50、卷积码是一种特殊的线性分组码。错设的取值受限于有限区间a,b ，则 X 服从 均匀分布时，其熵达到最大；如X的均值为，方差受限为2，则 X服从 高斯 分布时，其熵达到最大。2信息论不等式：对于任意实数0z，有1lnzz，当且仅当1z时等式成立。3设信源为 X=0，1，P（0）=1/8，则信源的熵为)8/7(log8/78log8/122比特/ 符号，如信源发出由m 个“ 0”和（ 100-m）个“ 1”构成的序列，序列的自信息量为)8/7(log)100(8log22mm比特/ 符号。4离散对称信道输入等概率时，输出为等概分布。5根据码字所含的码元的个数，编码可分为定长编码和变长编码。6 设DMS 为03.007.010.018.025. 037.0.654321uuuuuuPUU， 用 二 元 符 号 表 1,021xxX对其进行定长编码， 若所编的码为 000，001，010，011，100，101，则编码器输出码元的一维概率)(1xP 0.747 , )(2xP 0.253 。二、简答题（ 30 分）设信源为4/34/121xxPXX，试求（ 1）信源的熵、信息含量效率以及冗余度；求二次扩展信源的概率空间和熵。解：（1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页，共 44 页)(11)(2log/)() 3/4(log4/34log4/1)(222XHXHXHXH（2）二次扩展信源的概率空间为：XX 1x2x1x1/16 3/16 2x3/16 9/16 )9/16(log16/9)3/16(log16/3)3/16(log16/316log16/1)(2222XXH什么是损失熵、 噪声熵？什么是无损信道和确定信道？如输入输出为sr，则它们的分别信道容量为多少？答：将 H（X|Y）称为信道,|YPXXY的疑义度或损失熵，损失熵为零的信道就是无损信道，信道容量为logr 。将 H（Y|X）称为信道,|YPXXY的噪声熵，噪声熵为零的信道就是确定信道，信道容量为 logs 。信源编码的和信道编码的目的是什么？答：信源编码的作用：（1）符号变换：使信源的输出符号与信道的输入符号相匹配；（2）冗余度压缩： 是编码之后的新信源概率均匀化，信息含量效率等于或接近于100% 。信道编码的作用：降低平均差错率。什么是限失真信源编码？答：有失真信源编码的中心任务：在允许的失真范围内把编码的信息率压缩到最小。三、综合题（ 20+15+15 ）设随机变量 1 ,0,21xxX和 1 ,0,21yyY的联合概率空间为8/18/38/38/1),(),(),(),(22122111yxyxyxyxPXYXY定义一个新的随机变量YXZ( 普通乘积 ) 计算熵 H （X） ，H（Y） ，H （Z） ，H（XZ） ，H （YZ ） ，以及 H （XYZ ） ；计算条件熵 H（X|Y） ，H （Y|X） ，H （X|Z） ，H （Z|X） ，H （Y|Z） ，H （Z|Y） ，H （X|YZ） ，H（Y|XZ）以及 H （Z|XY） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 40 页，共 44 页计算平均互信息量I （X；Y） ，I （X：Z） ，I （Y：Z） ，I （X；Y|Z） ，I （Y；Z|X）以及 I（X： ，Z|Y） 。解： （1）12log2/12log2/1)(12log2/12log2/1)(2222YHXH8/1008/308/308/1111110101100011010001000XYZ8/18/710Z8log8/1)7/8(log8/7)(22ZH8/18/302/111100100XZ8log8/1)3/8(log8/32log2/1)(222XZH8/18/302/111100100YZ8log8/1)3/8(log8/32log2/1)(222YZH（2）)3/4(log4/34log4/1(2/1)3/4(log4/34log4/1(2/1)|(2222YXH)3/4(log4/34log4/1(2/1)3/4(log4/34log4/1(2/1)|(2222XYHXY 0 1 0 1/8 3/8 1/2 1 3/8 1/8 1/2 1/2 1/2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 41 页，共 44 页) 1log10log0(8/1)3/7(log7/3)4/7(log7/4(8/7)|(2222ZXH)4log4/1)3/4(log4/3(2/1)0log01log1(2/1)|(2222XZH)1log10log0(8/1)3/7(log7/3)4/7(log7/4(8/7)|(2222ZYH)4log4/1)3/4(log4/3(2/1)0log01log1(2/1)|(2222YZH)0log01log1(8/1)0log01log1(8/3)3/4(log4/34log4/1(2/1)|(222222YZXH)0log01log1(8/1)0log01log1(8/3)3/4(log4/34log4/1(2/1)|(222222XZYH0)|(XYZH(3) )|()();(YXHXHYXI)|()();(ZXHXHZXI)|()();(ZYHYHZYI)|()|()|;(YZXHZXHZYXI)|()|()|;(ZYXHYXHYZXIZ 0 1 0 1/2 0 1/2 1 3/8 1/8 1/2 7/8 1/8 Z 0 1 0 1/2 0 1/2 1 3/8 1/8 1/2 7/8 1/8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 42 页，共 44 页设 二 元 对 称 信 道 的 输 入 概 率 分 布 分 别 为4/14/3XP， 转 移 矩 阵 为3/23/13/13/2|XYP，求信道的输入熵，输出熵，平均互信息量；求信道容量和最佳输入分布；求信道剩余度。解： （1）信道的输入熵4log4/1)3/4(log4/3)(22XH；6/112/14/12/1XYP12/512/7YP)5/12(log12/5)7/12(log12/7)(22YH)6/1 ,12/1(4/1)4/1 , 2/1 (4/3)|(HHXYH)|()();(XYHYHYXI2）最佳输入分布为2/12/1XP，此时信道的容量为)3/1 ,3/2(1HC(3) 信道的剩余度：);(YXIC设 有 ， 其 转 移 矩 阵 为2/16/13/13/12/16/16/13/12/1|XYP， 若 信 道 输 入 概 率 为25.025.05 .0XP，试确定最佳译码规则和极大似然译码规则，并计算出相应的平均差错率。解 ：8/124/112/112/18/124/112/16/14/1XYP最 佳 译 码 规 则 ：331211)()()(abFabFabF， 平 均 差 错 率 为1-1/4-1/6-1/8=11/24；极大似然规则：332211)()()(abFabFabF，平均差错率为 1-1/4-1/8-1/8=1/2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 43 页，共 44 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 44 页，共 44 页