2022年直角三角形知识点及复习 2.pdf
直角三角形知识点一、直角三角形的性质1、Rt的两个锐角互余（A+B=90）2、斜边上的中线等于斜边的一半（若D 为斜边 AB 的中点，则CD12AB ）3、30角所对直角边等于斜边的一半（若A 30， C=90， CB=12AB ）4、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方（若C=90，则222abc ）二、直角三角形的判定1、有两个锐角互余的是直角三角形。2、如果一个三角形中，一条边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角为903、勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足222abc ，则 C90。用法： （1）选出最大边； （2）计算较小两边的平方和；（3）比较最大边的平方与较小两边的平方和；（4）如果两者相等，则最大边所对的角为直角。三、常用几个结论：（1）（2）直角三角形斜边上的高两直角边乘积除以斜边。公式为cabhc（3）常见的勾股数：（3k，4k，5k） （5k，12k，13k） （7k，24k，25k） （8k，15k，17k） （9k，40k，41k）（4）在求曲面上的最短距离时，先把曲面展开成平面图形，画出起点到终点的线段，就是最短距离，一般需要用到勾股定理。（ 1）蚂蚁沿着圆柱表面爬行，最短距离例 1 如图 1 有一个圆柱 ,它的高等于12cm ,底面周长为10cm，在圆柱的下底面A 点上有一只蚂蚁， 他想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物， 需要爬行的最短路程是多少? 分析：可以把圆柱的侧面展开，其展开图为矩形，如图3所示。连接AC，则 AC 即为小虫爬行的最短路线，可用勾股定理求得其长。300 x2x3x450 x2xx图 1 图 2 半周长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页解：若沿着曲面走，则：AB=1210=5，BC=12，所以 AC=2251213若走折线A=D=C ，则 AC+DC=12+10 12+1013 最短路程为13cm。一般情况：走曲面221()lrh，走折线22lrh ，只需比较这两者的大小即可。变式 1如图 2，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为 2，AB 、CD 分别是两底面的直径。若一只小虫从A 点出发，一直沿侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是_。 （结果保留根式）22变式 2 如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点 S 处有一蜘蛛， 与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点 F 处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度。解：如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点S，F 各自所在的母线为矩形的一组对边，上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边。该矩形上的线段SF 即为所求的最短路线。过点 S作点 F 所在母线的垂线，得到SEFRt。)(34)1118(3022cmSF。（2）蚂蚁沿着长方体表面爬行，最短距离例 2 如图， 长方体的长为15,宽为 10,高为 20,，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点1C ，需要爬行的最短距离是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1abcP1P2P3分析：假设长方体的长宽高为abc、 、，则可能有三条路径：22111=AP C()labc，22221=AP C()labc22331=AP C()lacb然后比较三者大小。变式 1：如图，长方体的长为15,宽为 10,高为 20,点 B 到点 C 的距离是5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是多少？（课本P29,12）ABC变式 2：一只蚂蚁欲爬一棵3 米高的树， 树的直径为1 米，若蚂蚁绕着树爬了三圈到达树顶，（1）求蚂蚁爬行的最短距离。（2）若爬 n 圈到达树顶呢？解析因树为圆柱形，蚂蚁在树的表面上爬行，所以本题应该先分析蚂蚁的爬行路线，将圆柱形展开，所以蚂蚁的爬行路线如图二所示：ACDB 且 AC=CD=BD ，从图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页中可以知道， AM 为圆柱的底面圆的周长，CM 的长为 1，AC=，所以蚂蚁行走的最短距离为3。或者用下图（n 圈类推），AB=22222(3 )331ACBCABC变式 4：一个台阶如图， 阶梯每一层高20cm，宽 40cm，长 50cm，一只蚂蚁从A 点爬到 B点，最短的路程是多少？解答：按照直棱柱的表面展开图知识，最短距离为cmAB130402040205022但在我们作业中却出现了54050202040405022AB（cm）1.勾股定理复习学习路线图一、温故知新勾股定理：勾股定理的逆定理：二、示例类型一已知两边求第三边例 1在直角三角形中,若两边长分别为1cm，2cm ，则第三边长为_类型二构造 Rt，求线段的长例 2如图，将一个边长分别为4、8 的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与 A 点重合，求EB 的长CPABCDEABCDEFBA例 3 如图，P 为边长为2 的正方形ABCD 对角线 AC 上一动点， E 为 AD 边中点，求 EP+DP最小值。5040402020BAcbaCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页例 4、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是_dm. 类型三判别一个三角形是否是直角三角形例 5、如图，正方形ABCD 中， F 为 DC 的中点， E 为 BC 上一点，且CE=14BC 你能说明AFE 是直角吗？FEDCBA类型四实际运用例 6、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭。近日，A 城气象局测得沙尘暴中心在A 城的正西方向240km 的 B 处，以每时12km 的速度向北偏东60度方向移动（如图） ，距沙尘暴中心150km 的范围为受影响区域。A 城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？若A 城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？东西北AB类型五、拼图例 6、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示 )已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、 2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则1234SSSS_练习：1、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是_2、如图 4 为某楼梯 ,测得楼梯的长为5 米,高 3 米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米 ? 5 米3 米3、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5 ，高为 12 ，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6 ，问吸管要做多长？ABl321S4S3S2S1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页ABCDEF9米12米4、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到 B 点，则最少要爬行cm 5、在直角 ABC 中，斜边长为2，周长为2+6，求 ABC 的面积6、 如图，一根旗杆在离地面9 米处断裂，旗杆顶部落立离旗杆底部12 米处，旗杆折断之前有多高？7、 在下图中， BC 长为 3 厘米， AB 长为 4 厘米， AF 为 12 厘米，求正方形CDEF 的面积。8、 一架云梯长25 米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4 米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 米吗？9、小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1 米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5 米，你能帮它计算一下旗杆的高度10、点 A 是一个为半径300m 的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C 两个村庄，在 BC 两个村庄之间修一条长1000m 的笔直公路将两村连通，经测量得ABC=45 ，ACB=30 ，问次公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。ABCDCBA11、如图，在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，其中，BC=6， AD 4，AB 5， 求证：ABAC 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页12、如图，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，则不难证明123SSS . (1) 如图，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形， 其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，那么1S 、2S 、3S 之间有什么关系？(不必证明 ) (2) 如图，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，请你确定1S 、2S 、3S 之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，请你猜想1S 、2S 、3S 之间的关系 ?. 用勾股定理解题应注意的几个问题一、注意分清直角边和斜边1、在 RtABC中， a=8 ， b=10 ，90B，求第三边长c二、注意定理的应用条件2 、已知ABC中，三边长a、b、c 为整数，其中a=3 ， b=4 ，求第三边c 的长三、注意定理和逆定理的区别（语言的叙述）3、判断下列三条线断能否构成直角三角形：a=3、b=4、 c=5四、注意分类讨论4、在 RtABCV中，已知两边长为3、4， （ 1）求第三边的长 （2）求斜边上的高。5、已知在 ABC 中， AB=4 ， AC=3，BC 边上的高等于2.4，求 ABC 的周长6、已知在 RtABC 中，两直角边的长为20 和 15，90BAC， ，CD 为 斜 边 上 的高，求 BD 的长练习 1 1、在ABC 中， B=90 ，a、b、c 分别是 A、 B、 C 的对边，若a=3，b=4，求 c 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页2、在ABC 中， AB=5，AC=10，BC 边上的高AD=4，求 BC 的长3、一个三角形的三边的长分别是32a，52b，2c问这个三角形是直角三角形吗？4、已知 ABC 的三边的长分别是BC=41，AC=40 ， AB=9试说明 ABC 是直角三角形小华是这样解的：因为BC=41，AC=40 ， AB=9，所以222BCACAB，所以 C=90 ，所以 ABC 是直角三角形小华的解题是否有错误，如果有错，错误的原因是什么？5、下列长度的各组线段构成勾股数的是（）0.07, 0.24, 0.25 6,8,10 7,8,10 34 155，小丽选择了 , ,.她的选择正确吗?为什么 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
