2022年人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案 .pdf

第 1 页，共 19 页人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1.锐角 ?中，已知 ?= 3，?=?3，则 ?2+ ?2+ 3?的取值范围是 (?)A. (5，15B. (7，15C. (7，11D. (11，152.在?中， 角?，?，?的对边分别为?，?，?， 且满足 sin?= 2sin?cos? ， 则?的形状为 (?)A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形3.在?中， ? = 60，?= 1，?= 3，则?-2?+?sin?-2sin?+sin?的值等于(?)A. 2 393B. 263 3C. 83 3D. 2 34.在?中，有正弦定理：?sin?=?sin?=?sin?= 定值，这个定值就是?的外接圆的直径 .如图 2 所示，?中，已知 ? = ? ，点 M 在直线 EF 上从左到右运动(点M 不与 E、F 重合 ) ，对于 M 的每一个位置，记?的外接圆面积与?的外接圆面积的比值为? ，那么 (?)A. ? 先变小再变大B. 仅当 M 为线段 EF 的中点时， ? 取得最大值C. ? 先变大再变小D. ? 是一个定值5.已知三角形ABC 中， ? = ?，?边上的中线长为3，当三角形ABC 的面积最大时， AB 的长为 (?)A. 2 5B. 3 6C. 2 6D. 3 56.在?中，?，?，? 分别为内角 ?，?，? 所对的边， ?= ? ，且满足sin?sin?=1-cos?cos?.若点 O 是?外一点， ?= ?(0 ? ?)，? = 2? = 2，平面四边形OACB面积的最大值是(?)A. 8+5 34B. 4+5 34C. 3D. 4+5 327.在?中，?= 1，?= ?， ? = 30，则使 ?有两解的x的范围是 (?)A. (1，2 33)B. (1，+ )C. (233，2)D. (1，2)8.?的外接圆的圆心为O，半径为1，若 ? + ? ? ? = 2 ? ，且| ? | = | ? ? ? |，则?的面积为 (?)A. 3B. 32C. 2 3D. 19.在?中，若 sin?sin?= cos2?2，则 ?是(?)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页第 2 页，共 19 页A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形10.在?中，已知 ? = 60.?，?，? 分别为 ?， ?， ?的对边，则?+?+?+?为(?)A. 3 - 2 3B. 1C. 3 - 2 3或 1D. 3 + 2 311.设锐角 ?的三内角A、B、 C 所对边的边长分别为a、b、c， 且 ?= 1，?= 2? ，则 b 的取值范围为 (?)A. ( 2， 3)B. (1， 3)C. ( 2，2)D. (0，2)12.在?中，内角 ?，?，? 所对边的长分别为?，?，? ，且满足 2?cos? = ?cos? +?cos?，若?= 3，则 ? + ? 的最大值为 (?)A. 2 3B. 3C. 32D. 9二、填空题（本大题共7 小题，共35.0 分）13.设?的内角 ?，?，? 所对的边分别为?，?，? 且?cos? +12? = ? ，则角 A 的大小为 _ ；若 ?= 1，则 ?的周长 l 的取值范围为 _ 14.在?中， ?， ?， ?所对边的长分别为?，?，?.已知? + 2? = 2?，sin?= 2sin?，则 sin?2= _ 15.已知 ?中，角 A、B、 C 的对边分别是a、 b、c，若 ?- ?= ?cos? - ?cos?，则?的形状是 _ 16.在?中，若?2?2=tan?tan?，则 ?的形状为 _ 17.在?中，角?，?，?的对边分别为?，?，?，若 (?- ?)sin?= ?sin? -?sin?，且?2+ ?2- 6(?+ ?)+ 18 = 0，则 ? ? + ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? =_ 18.如果满足 ?= 60，? = 12，? = ? 的三角形恰有一个， 那么 k 的取值范围是_ 19.已知 ?的三个内角 ?，?，? 的对边依次为?，?，? ，外接圆半径为1，且满足tan?tan?=2?-?，则 ?面积的最大值为_ 三、解答题（本大题共11小题，共132.0 分）20.在锐角 ?中， ?，?，? 是角 ?，?，? 的对边，且 3?= 2?sin? (1) 求角 C 的大小；(2) 若?= 2，且 ?的面积为3 32，求 c 的值21.在?中，角 ?，?，? 的对边分别为?，?，?. 已知 ?sin? = 3?cos?(1) 求角 A 的大小；(2) 若?= 7，?= 2，求 ?的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页第 3 页，共 19 页22.已知 ?中，内角 ?，?，? 所对的边分别为?，?，? ，且满足 ?sin? - ?sin? =(?- ?)sin? (1) 求角 C 的大小；(2) 若边长 ? = 3，求 ?的周长最大值23.已知函数 ?(?) = 3sin?cos? -cos2?-12，? (1) 求函数 ?(?) 的最小值和最小正周期；(2) 已知 ?内角 ?，?，? 的对边分别为 ?，?，? ，且 ? = 3，?(?) = 0，若向量? ? ? = (1，sin?)与? = (2，sin?)共线，求 ?，? 的值24.已知 ?中， ? ? ?，?= cos?，? = cos?，? = sin?(1) 求?的外接圆半径和角C 的值；(2) 求?+ ?+ ? 的取值范围25.?中，角 ?，?，? 的对边分别是?，?，? 且满足 (2?-?)cos? = ?cos?，(1) 求角 B 的大小；(2) 若?的面积为为3 34且?= 3，求 ? + ? 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页第 4 页，共 19 页26.已知 ?，?，? 分别为 ?的三个内角 ?，?，? 的对边， ?= 2且(2 + ?)(sin?-sin?) = (? -?)sin?(1) 求角 A 的大小；(2) 求?的面积的最大值27.已知函数 ?(?) = 2cos2? + 2 3sin?cos?(? ?) () 当?0，? 时，求函数 ?(?) 的单调递增区间；() 若方程 ?(?) - ? = 1在 ?0，?2内恒有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围28.已知 A、B、C 是?的三个内角，向量? ? ? = (cos?+ 1， 3)，? = (sin?，1)，且? ? ? / ?；(1) 求角 A；(2) 若1+sin2?cos?2?-sin?2?= -3 ，求 tan?29.在?中，角?，?，?的对边分别是?，?，?，已知 sin?+ cos?= 1 - sin?2(1) 求sin?的值(2) 若 ?2+ ?2= 4(?+ ?)-8，求边 c 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页第 5 页，共 19 页30.在?中，角?，?，? 所对的边分别为?，?，? ，且满足： (?+ ?)(sin? - sin?) =sin?(? - ?)(?) 求角 C 的大小；(?)若 ? = 2，求 ? + ? 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页第 6 页，共 19 页答案和解析【答案】1. D2. A3. A4. D5. A6. A7. D8. B9. B10. B11. A12. A13. 60；(2，314. 2415. 等腰三角形或直角三角形16. 等腰三角形或直角三角形17. -27218. 0 ?12或?= 8 319. 33420. 解： (1) ?是锐角， ?，?，? 是角 ?，?，? 的对边，且 3?= 2?sin?由正弦定理得： 3sin?= 2sin?sin? ?是锐角，sin?=32，故?=?3；(2)? = 2，且 ?的面积为3 32，根据 ?的面积 ?=12?sin?=122 ? sin?3=332解得： ?= 3由余弦定理得?2= ?2+ ?2- 2?cos?= 4 + 9 - 2 3 = 7? = 7故得 c 的值为 721. (本题满分为14 分 )解：(1) ?sin? = 3?cos?，由正弦定理得sin?sin?= 3sin?cos?. (3分)又 sin?0，从而 tan?= 3.(5分 )由于 0 ? 0，所以 ? = 3.(11 分)故 ?的面积为 ?=12?sin?=3 32.(14 分)解法二：由正弦定理，得 7sin?3=2sin?，从而 sin?= 217，(9 分)又由 ? ? 知 ? ? ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页第 7 页，共 19 页所以 cos?=2 77故 sin?= sin(?+ ?)= sin(?+?3) = sin?cos?3+ cos?sin?3=3 2114.(12 分)所以 ?的面积为12?sin?=3 32.(14 分)22. 解： (1) 由已知，根据正弦定理，?sin? - ?sin? = (?- ?)sin?得， ?2- ?2= (?- ?)?，即 ?2+ ?2-?2= ?由余弦定理得cos?=?2+?2-?22?=12又 ?(0，?) 所以 ?=?3(2) ?=?3，? = 3，?+ ?=2?3，?sin?=?sin?=332= 2，可得： ?= 2sin?，?= 2sin?= 2sin(2?3- ?)，? + ? + ? = 3 + 2sin?+ 2sin(2?3- ?)= 3 + 2sin?+ 2( 32cos? +12sin?)= 2 3sin(?+?6) + 3 由0 ?2?3可知，?6 ?+?65?6，可得：12 sin(?+?6) 1? + ? + ? 的取值范围 (2 3，3 3.23. 解： (1) 由于函数 ?(?) = 3sin?cos? - cos2? -12=32sin2?-1+cos2?2-12=sin(2?-?6) - 1，故函数的最小值为-2 ，最小正周期为2?2= ? (2) ?中，由于 ?(?) = sin(2? -?6) - 1 = 0，可得 2?-?6=?2，?=?3再由向量 ? ? ? = (1，sin?)与 ? = (2，sin?)共线可得 sin?- 2sin?= 0再结合正弦定理可得?= 2? ，且 ?=2?3- ? 故有 sin(2?3- ?)= 2sin?，化简可得tan?=33，?=?6，?=?2再由?sin?=?sin?=?sin?可得?sin?6=?sin?2=3sin?3，解得?= 3，?= 2 324. 解： (1) 由正弦定理?sin?= 2?= 1，?=12再由?= cos?，?= cos?，可得cos?sin?=cos?sin?，故有 sin?cos? = sin?cos? ，即 sin2?= sin2?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页第 8 页，共 19 页再由? ? ?，可得2?+ 2?= ?，?=?2(2) 由于 ? + ?+ ? = cos?+ cos?+ sin?= sin?+ cos?+ 1 = 2sin(?+?4) + 1再由 ? ?4，可得?4 ?+?4?2， 22 sin(?+?4) 1，2 2sin(? +?4) + 1 2 + 1，即 ? + ? + ? 的取值范围为(2， 2 + 1)25. 解： (1) 又 ?+ ?+ ?= ? ，即 ?+ ?= ?- ? ，sin(?+ ?)= sin(?-?)= sin? ，将 (2?- ?)cos? = ?cos?，利用正弦定理化简得：(2sin? - sin?)cos?= sin?cos? ，2sin?cos?= sin?cos? + sin?cos? = sin(?+ ?)= sin? ，在 ?中， 0 ? 0，cos?=12，又 0 ? ? ，则 ?=?3(2) ?的面积为334，sin?= sin?3= 32，?=12?sin?=34? =334，? = 3，又 ?=3，cos?= cos?3=12， 由余弦定理 ?2= ?2+ ?2- 2?cos?得： ?2+ ?2- ? = (?+ ?)2-3? = (?+ ?)2-9 = 3，(?+ ?)2= 12，则 ?+ ? = 2 326. 解： (1) ?中， ?= 2，且 (2 + ?)(sin? -sin?) = (? -?)sin? ， 利用正弦定理可得(2 + ?)(? - ?)= (?- ?)?， 即?2+ ?2- ? = 4，即?2+ ?2- 4 = ?，cos?=?2+?2-?22?=?2?=12，?=?3(2) 再由 ?2+ ?2-? = 4，利用基本不等式可得4 2? -? = ?，? 4，当且仅当 ?= ? = 2时，取等号，此时， ?为等边三角形，它的面积为12?sin?=122 2 32= 3，故 ?的面积的最大值为： 327. 解： (?)?(?) = 2cos2? + 2 3sin?cos? = cos2?+ 3sin2?+ 12sin(2? +?6) + 1令 -?2+ 2? 2?+?6 +2?(? ?)解得： ? -?3 ? +?6(?)由于 ?0，?(?) 的单调递增区间为：0，?6和2?3，?.( )依题意：由 2sin(2?+?6) + 1 = ? + 1解得：? = 2sin(2?+?6)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页第 9 页，共 19 页设函数?1= ? 与?2= 2sin(2?+?6)由于在同一坐标系内两函数在?0，?2内恒有两个不相等的交点因为： ?0，?2所以： 2? +?6?6，7?6根据函数的图象：当2?+?6?6，?2sin(2?+?6) 12，1，? 1，2当2? +?6?2，7?6时， sin(2?+?6) -12，1，? -1，2所以： 1 ? 228. 解： (1) ? ? ? / ?， 3sin?-cos?= 1，2(sin? ? 32-cos? ?12) = 1，sin(?-?6) =12，0 ? ?，-?6 ?-?6 0得?4?2?2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页第 10 页，共 19 页即?2 ? ?cos?= - 74?2+ ?2= 4(?+ ?)- 8(?-2)2+ (?-2)2= 0?= 2，? = 2由余弦定理得?2= ?2+ ?2- 2?cos?= 8 + 2 7? = 1 + 730. (本题满分为12 分 )解： (?) 在?中， (?+ ?)(sin? -sin?) = sin?(? - ?) ， 由正弦定理可得：(?+ ?)(? - ?)= ?(? -?) ，即 ?2+ ?2-?2= ?，(3 分)cos?=12， 由 C 为三角形内角，?=?3.(6分)(?) 由(?) 可知2?=?sin?=2 32=4 33，(7分 )? + ?=4 33(sin?+ sin?) =4 33sin?+ sin(?+?3)=4 33(32sin?+ 32cos?)= 4sin(? +?6). (10分)0 ?2?3，?6 ?+?65?6，12 sin(?+?6) 1，2 4sin(? +?6) 4? + ? 的取值范围为 (2，4. (12 分)【解析】1. 解：由正弦定理可得，?sin?=?sin?=?sin?=332= 2，?= 2sin?，? = 2sin?， ?为锐角三角形，0 ? 90，0 ? 90且 ?+ ?= 120，30 ? 90? = 4sin?sin(120- ?)= 4sin?( 32cos?+12sin?)= 2 3sin?cos? + 2sin2?= 3sin2?+ (1 -cos2?)= 2sin(2? -30) + 1，30 ? 90，30 2?-30 150，12 sin(2? - 30) 1，2 2sin(2? - 30) + 1 4，即 2 ? 3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页第 11 页，共 19 页?= 3，?=?3，由余弦定理可得：3 = ?2+ ?2-?，可得： ?2+ ?2= ?+ 3，?2+ ?2+ 3? = 4? + 3 (11，15 故选： D由正弦定理可得，?sin?=?sin?=?sin?= 332= 2，结合已知可先表示?，? ，然后由 ?为锐角三角形及?+ ?= 120可求 B的范围，再把所求的bc 用 sin?，cos? 表示，利用三角公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求bc 的范围，由余弦定理可得?2+ ?2+3? = 4? + 3，从而可求范围本题综合考查了正弦定理和面积公式及两角和与差的正弦、余弦公式及辅助角公式的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用，属于中档题2. 解：因为 sin?= 2sin?cos? ，所以 sin(?+ ?)= 2sin?cos? ，所以 sin?cos? -sin?cos? = 0，即 sin(? - ?)= 0，因为 ?，?，? 是三角形内角，所以 ?= ? 三角形为等腰三角形故选： A通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形的判断，考查计算能力，属于基础题3. 解： ? = 60，?= 1，?= 3 =12?sin?=121 ? 32，? = 4，?2= ?2+ ?2- 2?cos?= 1 + 14 - 2 1 4 12= 13，?= 13，?-2?+?sin?-2sin?+sin?=?sin?= 1332=2 393故选： A先利用面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理可求a，再利用正弦定理求解比值本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解4. 解：设 ?的外接圆半径为?1，?的外接圆半径为?2，则由题意，?12?22= ? ，点 M 在直线 EF 上从左到右运动( 点 M 不与 E、F 重合 )，对于 M 的每一个位置，由正弦定理可得：?1=12?sin ?，?2=12?sin ?，又 ? = ?，sin ?= sin ?，可得： ?1= ?2，可得： ? = 1故选： D设 ?的外接圆半径为?1，?的外接圆半径为?2，则由题意，?12?22= ? ，由正弦定理可得： ?1=12?sin ?，?2=12?sin ?，结合 ? = ?，sin ?= sin ?，可得 ? = 1，即可得解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页第 12 页，共 19 页本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于基础题5. 解：设 ? = ? = 2?，? = ? 设三角形的顶角? ，则由余弦定理得cos?=(2?)2+?2-922?=5?2-94?2，sin?= 1- cos2?=144-9(?2-5)24?2，根据公式三角形面积?=12?sin?=122?2? ?144-9(?2-5)24?2=144-9(?2-5)22， 当?2= 5时，三角形面积有最大值.此时?= 5AB 的长： 25故选： A设 ? = ? = 2? ，三角形的顶角? ，则由余弦定理求得cos? 的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得sin?，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值时的x 即可本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力 .运算量较大6. 解： ?中， ?= ?，sin?sin?=1-cos?cos?，sin?cos? +cos?sin? = sin?，即 sin(?+ ?)= sin(?- ?)= sin?= sin? ，?= ? ，又 ?= ?， ?为等边三角形?= ?+ ?=12? ? ?sin?+12?2?sin?3=122 1 sin?+ 34(?2+ ?2- 2? ? ?cos?)= sin?-3cos?+5 34= 2sin(?-?3) +5 340 ? ?，-?3 ?-?32?3，故当 ?-?3=?2时， sin(?-?3)取得最大值为1，故 ?= 的最大值为 2 +5 34=8+5 34，故选： A依题意， 可求得 ?为等边三角形， 利用三角形的面积公式与余弦定理可求得?=2sin(?-?3) +5 34(0 ?，?sin? 1，?sin30 1，则使 ?有两解的x 的范围是 1 ? ?，?sin? ? ，即可确定出 x 的范围此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，画出正确的图形是解本题的关键8. 解：由于? + ? ? = 2 ? ，由向量加法的几何意义，O 为边 BC 中点， ?的外接圆的圆心为O，半径为 1， 三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形， ?=?2，斜边 ? = 2，又| ? | = | ? ? ? |，|?| = 1，|?| = ?2- ?2= 22- 12= 3，?=12|?| |?| =121 3 = 32故选： B由 ? + ? ? ? = 2 ? ，利用向量加法的几何意义得出?是以A为直角的直角三角形，又 | ? | = | ? ? ? |，从而可求 |?|，|?| 的值，利用三角形面积公式即可得解本题主要考查了平面向量及应用，三角形面积的求法，属于基本知识的考查9. 解：由题意 sin?sin? =1+cos?2，即 sin?sin?= 1 - cos?cos? ，亦即 cos(?- ?)= 1，?，?(0，?) ，?= ? ，故选： B利用 cos2?2=1+cos?2可得 sin?sin?=1+cos?2，再利用两角和差的余弦可求本题主要考查两角和差的余弦公式的运用，考查三角函数与解三角形的结合.属于基础题10. 解： cos?=?2+?2-?22?=12，? = ?2+ ?2-?2，?+?+?+?=?+?2+?2+?+(?+?)?+?2=?2+?2+(?+?)?2+?2+(?+?)?= 1，故选 B先通过余弦定理求得ab 和 ?2+ ?2-?2的关系式对原式进行通分，把ab 的表达式代入即可本题主要考查了余弦定理的应用.解题的关键是找到?，? 和 c的关系式11. 解：锐角 ?中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、 ?，?= 2? ，0 2?2，且 ?+ ?= 3? ，?2 3? ?6 ?3， 22 cos? 32，?= 1，?= 2? ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页第 14 页，共 19 页 由正弦定理可得：?= ?=sin2?sin?= 2cos? ， 2 2cos? 3，则 b 的取值范围为( 2， 3).故选 A由题意可得0 2?2，且?2 3? ? ，解得 A 的范围，可得 cos? 的范围，由正弦定理求得?= ?= 2cos? ，根据 cos? 的范围确定出b 范围即可此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A 的范围12. 解： 2?cos? = ?cos? + ?cos?，由正弦定理，得2sin?cos?= sin?cos? + sin?cos? ，2sin?cos?= sin?，又 sin?0，cos?=12，?=?3 由余弦定理可得：3 = ?2+ ?2-?， 可得： 3 2? - ? = ?， 即有： ? 3，代入： 3 = (?+ ?)2- 3?可得： (?+ ?)2= 3 + 3? 12，? + ? 的最大值为 2 3故选： A利用正弦定理化边为角，可求导 cos? ， 由此可得B， 由余弦定理可得： 3 = ?2+ ?2- ?，由基本不等式可得：? 3，代入： 3 = (?+ ?)2-3?可得 ? + ? 的最大值该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，基本不等式的应用，考查学生运用知识解决问题的能力，属于中档题13. 解： ?cos? +12?= ? 变形得： 2?cos? + ? = 2? ，利用正弦定理得：2sin?cos? + sin?= 2sin?= 2sin(? + ?)= 2sin?cos? + 2cos?sin? ，sin?= 2cos?sin? ，即 sin?(2cos? -1) = 0，由 sin?0，得到 cos?=12，又 A 为三角形的内角，则?= 60；?= 1，sin?=32，?+ ?= 120，即 ?= 120- ? ，?sin?=?sin?=?sin?=233，即 ?=2 33sin?，? =2 33sin(120- ?)，则 ?的周长 ? = ? + ? + ? = 1 +2 33sin?+2 33sin(120-?)= 1 +2 33(32sin?+ 32cos?)= 1 + 2( 32sin?+12cos?)= 1 + 2sin(?+ 30)，0 ? 120，30 ?+ 30 150，12 sin(?+ 30) 1，即 2 1 + 2sin(? + 30) 3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页第 15 页，共 19 页则 l 范围为 (2，3故答案为： 60；(2，3将已知的等式左右两边都乘以2变形后， 利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式变形，根据sin?不为 0，得出 cos? 的值，由 A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数；由 A的度数求出 sin? 的值，及?+ ? 的度数，用 B 表示出 C，由正弦定理表示出b 与 c，而三角形ABC 的周长 ? = ?+ ? + ? ，将表示出的 b 与 c，及 a 的值代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由 B 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即可得到l 的范围此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，利用了转化的思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键14. 解： 在 ?中?+ 2? = 2?，sin?= 2sin?， 由正弦定理可得? +2? = 2?，?=2? ，联立可解得 ?= ?= 2? ， 由余弦定理可得cos?=?2+?2-?22?=2?2+2?2-?22 2? 2?=34，再由二倍角公式可得cos?= 1 -2sin2?2=34，解得sin?2=24或sin?2= - 24，再由三角形内角的范围可得?2(0，?2)故 sin?2=24故答案为：24由题意和正弦定理可得?= ?= 2? ，代入余弦定理可得cos? ，由二倍角公式和三角形内角的范围可得本题考查解三角形，涉及正余弦定理和二倍角公式，属中档题15. 解：将 cos?=?2+?2-?22?，cos?=?2+?2-?22?代入已知等式得：?- ?= ?2+?2-?22?- ? ?2+?2-?22?，整理得：?2+?2-?2?=?2+?2-?2?，当 ?2+ ?2- ?2= 0，即 ?2+ ?2= ?2时， ?为直角三角形；当 ?2+ ?2- ?20时，得到 ?= ?，?为等腰三角形，则 ?为等腰三角形或直角三角形故答案为：等腰三角形或直角三角形利用余弦定理表示出cos? 与cos? ，代入已知等式，整理后即可确定出三角形形状此题考查了余弦定理，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页第 16 页，共 19 页16. 解：原式可化为sin2?sin2?=sin?cos?cos?sin?sin?sin?=cos?cos? sin2?= sin2?2?= 2? 或2?= ?- 2? ?= ? 或?+ ?=?2故答案为等腰三角形或直角三角形左边利用正弦定理，右边“切变弦”， 对原式进行化简整理进而可得A 和 B 的关系， 得到答案本题主要考查了正弦定理的应用.考查了学生利用正弦定理解决三角形问题的能力17. 解：由已知 (?-?)sin? = ?sin? - ?sin?，即 ?sin? -?sin? = (?- ?)sin? ，根据正弦定理，得， ?2- ?2= (?- ?)?，即 ?2+ ?2-?2= ?由余弦定理得cos?=?2+?2-?22?=12又 ?(0，?). 所以 ?=?3?2+ ?2- 6(?+ ?)+ 18 = 0，可得 (?- 3)2+ (?-3)2= 0，所以 ?= ?= 3，三角形是正三角形，? ? + ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? = 3 3 3 cos120= -272故答案为： -272通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C 的余弦值，得到C 的值 .通过?2+ ?2- 6(?+ ?)+ 18 = 0，求出 ?，? 的值，推出三角形的形状，然后求解数量积的值本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法三角形形状的判断，向量数量积的应用，考查计算能力18. 解： (1)当? ?sin ?，即12 8 3时，三角形无解；(2)当? = ?sin ?，即12 = ?sin60，即?= 8 3时，三角形有1解；(3)当?sin ? ? ?，即?sin60 12 ?，即12 ?8 3，三角形有2个解；(4) 当0 ? ? ，即 0 ?12时，三角形有1 个解综上所述：当0 ? 12或?= 8 3时，三角形恰有一个解故答案为： 0 ?12或?= 8 3要对三角形解得各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有 2 个解，从中得出恰有一个解时 k 满足的条件本题主要考查三角形解得个数问题，重在讨论.易错点在于可能漏掉?= 8 3这种情况19. 解：由 ? = 1，利用正弦定理可得：? = 2?sin? = 2sin?，?= 2?sin? = 2sin?，tan?=sin?cos?，tan?=sin?cos?，tan?tan?=sin?cos?cos?sin?=4sin?-2sin?2sin?=2sin?-sin?sin?，sin?cos? = cos?(2sin?- sin?) = 2sin?cos? - sin?cos? ，即 sin?cos? + cos?sin?= sin(?+ ?)= sin?= 2sin?cos? ，sin?0，cos?=12，即 ?=?3，cos?=?2+?2-?22?=12，? = ?2+ ?2- ?2= ?2+ ?2- (2?sin?)2= ?2+ ?2- 3 2? - 3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页第 17 页，共 19 页? 3(当且仅当 ?= ? 时，取等号 )， ?面积为 ?=12?sin?123 32=334，则 ?面积的最大值为：3 34故答案为：3 34利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sin? 不为 0，可得出cos? 的值，然后利用余弦定理表示出cos? ，根据 cos? 的值，得出 ? = ?2+ ?2- ?2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc的最大值， 进而由 sin? 的值及 bc 的最大值， 利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值此题考查了正弦、 余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题20. (1) 利用正弦定理可求角C 的大小(2) 直接利用 ?的面积 ?=12?sin?求解出 b，再用余弦定理可得本题考查了正弦定理，余弦定理的运用和计算能力21. (1) 由弦定理化简已知可得sin?sin?= 3sin?cos? ， 结合 sin? 0， 可求 tan?= 3，结合范围 0 ? ? ，可求 A 的值(2) 解法一：由余弦定理整理可得：?2-2? - 3 = 0.即可解得c 的值，利用三角形面积公式即可计算得解解法二：由正弦定理可求sin?的值， 利用大边对大角可求B 为锐角， 利用同角三角函数基本关系式可求cos? ，利用两角和的正弦函数公式可求sin? ，进而利用三角形面积公式即可计算得解本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角，同角三角函数基本关系式， 两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想， 属于基础题22. (1) 通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C 的余弦值，得到C 的值(2) 由已知利用正弦定理可得?= 2sin?，?= 2sin(2?3- ?) ， 利用三角函数恒等变换的应用化简可求 ?+ ? + ? = 2 3sin(?+?6) + 3，根据 ?+?6的范围，利用正弦函数的图象和性质得到结果本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法，以及三角函数恒等变换的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题23. (1) 化简函数 ?(?) 的解析式为 sin(2?-?6) -1，可得函数的最小值为-2 ，最小正周期为2?2(2) ?中，由?(?) = sin(2?-?6) -1 = 0，求得 ?=?3.再由向量 ? ? ? = (1，sin?)与? =(2，sin?)共线可得 sin?-2sin?= 0，再由 ?=2?3- ? 可得 sin(2?3- ?)= 2sin? ，化简求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页第 18 页，共 19 页得?=?6，故?=?2.再由正弦定理求得a、b 的值本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理、两个向量共线的性质，属于中档题24. (1) 由正弦定理求得外接圆半径?. 再由 ?= cos?，?= cos? ，可得cos?sin?=cos?sin?，化简得 sin2?= sin2?再由 ? ? ? ，可得 2?+ 2?= ? ，由此可得C 的值(2) 由于 ? + ?+ ? = cos?+ cos?+ sin?= 2sin(? +?4) + 1.再由 ? ?4，利用正弦函数的定义域和值域求得sin(?+?4) + 1 2 + 1的范围，即可求得?+ ? + ? 的取值范围本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题25. (1) 结合三角形的内角和定理及诱导公式可得sin(?+ ?)= sin? ，再对已知 (2?-?)cos? = ?cos?，利用正弦定理化简可求B(2) 结合三角形的面积公式?=12?sin?，可求 ac，由已知 ?，? ，再利用余弦定理?2=?2+ ?2- 2?cos?可求 ?+ ?本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中