2022年空间向量与空间角试题 .pdf
空间向量与空间角试题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页2 作者：日期：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页3 课时作业 (二十 ) 学业水平层次 一、选择题1若异面直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角为150 ，则l1与 l2所成的角为 () A30B150C30 或 150D以上均不对【解析】l1与 l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为0，2.应选 A. 【答案】A 2已知 A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线 CD 所成角的余弦值为 () A.5 2266B5 2266C.5 2222D5 2222【解析】AB(2，2，1)，CD(2，3，3)， cosAB，CDAB CD|AB|CD|53225 2266，直线 AB、CD 所成角的余弦值为5 2266. 【答案】A 3正方形 ABCD 所在平面外一点 P，PA平面 ABCD，若 PA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页4 AB，则平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为 () A30 B45 C60 D90【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设PAAB1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)于是AD(0,1,0)取 PD 中点为 E，则 E 0，12，12， AE 0，12，12，易知 AD是平面PAB 的法向量， AE是平面PCD 的法向量，cosAD，AE22，平面 PAB与平面 PCD 的夹角为 45 . 【答案】B 4(2014 陕西师大附中高二检测 )如图 3-2-29，在空间直角坐标系 Dxyz 中，四棱柱 ABCDA1B1C1D1为长方体， AA1AB2AD，点E、F 分别为 C1D1、 A1B 的中点，则二面角 B1-A1B-E 的余弦值为 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页5 图 3-2-29 A33B32C.33D.32【解析】设 AD1，则 A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为 E、F 分别为C1D1、A1B 的中点，所以 E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以A1E(1,1,0)，A1B(0,2， 2)， 设 m(x， y， z)是平面 A1BE 的法向量，则A1E m0，A1B m0，所以xy0，2y2z0，所以yx，yz，取 x1，则 yz1，所以平面A1BE的一个法向量为 m(1,1,1)， 又 DA平面 A1B1B， 所以DA(1,0,0)是平面 A1B1B 的一个法向量， 所以 cos m，DAm DA|m|DA|1333，又二面角 B1-A1B-E 为锐二面角，所以二面角 B1-A1B-E 的余弦值为33，故选 C. 【答案】C 二、填空题5棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M、N 分别为 A1B1、BB1的中点，则异面直线AM 与 CN 所成角的余弦值是 _【解析】依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页6 M 1，12，1 ，C(0,1,0)，N 1，1，12， AM 0，12，1 ，CN 1，0，12， cosAM，CN12525225，故异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为25. 【答案】256(2014 临沂高二检测 )在空间直角坐标系Oxyz中，已知 A(1，2,0)、B(2,1，6)，则向量 AB与平面 xOz 的法向量的夹角的正弦值为_【解析】设平面 xOz的法向量为 n(0，t,0)(t0)，AB(1,3，6)，所以 cosn，ABn AB|n| |AB|3t4|t|，因为 n，AB0， ，所以 sinn，AB13t4|t|274. 【答案】747已知点 E，F 分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 BB1，CC1上，且 B1E2EB，CF2FC1，则平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页7 角的正切值等于 _【解析】如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，平面 ABC 的法向量为n1(0,0,1)，平面AEF 的法向量为 n2(x，y，z)所以 A(1,0,0)，E 1，1，13，F 0，1，23，所以AE 0，1，13，EF 1，0，13，则n2 AE0，n2 EF0，即y13z0，x13z0.取 x1，则 y1，z3.故 n2(1，1,3)所以 cosn1，n2n1 n2|n1|n2|3 1111. 所以平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的平面角满足 cos 3 1111，sin 2211，所以 tan 23. 【答案】23三、解答题8. 如图 3-2-30 所示，在四面体 ABCD 中，O，E 分别是 BD，BC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页8 的中点， CACBCDBD2，ABAD2. 图 3-2-30 (1)求证： AO平面 BCD；(2)求异面直线 AB与 CD 所成角的余弦值【解】(1)证明：连结 OC，由题意知 BODO，ABAD， AOBD. 又 BODO，BCCD，COBD. 在 AOC 中，由已知可得AO1，CO3，又 AC2，AO2CO2AC2， AOC90 ，即 AOOC. BDOCO， AO平面 BCD. (2)以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，3，0)，A(0,0,1)，E12，32，0 ， BA(1,0,1)，CD(1，3，0)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页9 cosBA，CDBA CD|BA| |CD|24. 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为24. 9四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形， PD底面 ABCD，点 E 在棱 PB 上(1)求证：平面 AEC平面 PDB；(2)当 PD2AB 且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小【解】如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设 ABa，PDh，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，(1) AC(a，a,0)，DP(0,0，h)，DB(a，a,0)， AC DP0，AC DB0， ACDP，ACDB，又 DPDBD， AC平面 PDB，又 AC? 平面 AEC，平面 AEC平面 PDB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页10 (2) 当PD2AB 且 E 为PB 的中 点 时 ，P(0,0，2a)，E12a，12a，22a ，设 ACBDO，Oa2，a2，0 ，连结 OE，由(1)知 AC平面 PDB于 O， AEO 为 AE 与平面 PDB 所成的角， EA12a，12a，22a ，EO 0，0，22a ， cosAEOEA EO|EA| |EO|22， AEO45 ，即 AE与平面 PDB 所成的角的大小为45 . 能力提升层次 1已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E是侧棱 BB1的中点，则直线 AE 与平面 A1ED1所成角的大小为 () A60B90C45D以上都不对【解析】以点 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页11 由题意知， A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以 A1E(0,1，1)，D1E(1,1，1)，EA(0，1，1)设平面 A1ED1的一个法向量为 n(x，y，z)，则n A1E0，n D1E0?yz0，xyz0.令 z1，得 y1，x0，所以 n(0,1,1)，cosn，EAn EA|n|EA|2221. 所以 n，EA180 . 所以直线 AE 与平面 A1ED1所成的角为 90 . 【答案】B 2在空间中，已知平面过(3,0,0)和(0,4,0)及 z 轴上一点 (0,0，a)(a0)，如果平面 与平面 xOy 的夹角为 45 ，则 a_. 【解析】平面 xOy 的法向量为 n(0,0,1)，设平面 的法向量为 u(x，y，z)，则3x4y0，3xaz0，即 3x4yaz，取 z1，则 ua3，a4，1 . 而 cosn，u1a29a216122，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页12 又a0，a125. 【答案】1253. 三棱柱 ABC-A1B1C1，CACC12CB，则直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为 () 图 3-2-31 A.55B.53C.2 55D.35【解析】不妨设 CACC12CB2，则AB1(2,2,1)，C1B(0，2,1)，所以 cosAB1，C1BAB1 C1B|AB1|C1B|2 02 2 119555. 因为直线 BC1与直线 AB1夹角为锐角，所以所求角的余弦值为55. 【答案】A 4. 如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC 中，ABAC，ABAC2，A1A4，点 D 是 BC的中点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页13 图 3-2-32 (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；(2)求平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值【解】(1)以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4) ，C1(0,2,4)，所以A1B(2,0，4)，C1D(1，1，4). 因为 cosA1B，C1DA1B C1D|A1B|C1D|1820183 1010，所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为3 1010. (2)设平面 ADC1的法向量为 n1(x，y，z)，因为AD(1,1,0)，AC1(0,2,4)，所以 n1 AD0，n1 AC10，即 xy0 且 y2z0，取 z1，得 x2，y2，所以 n1(2，2,1)是平面 ADC1的一个法向量取平面AA1B 的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面 ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页14 由|cos |n1 n2|n1| |n2|29123，得 sin 53. 因此，平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值为53. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页
