2022年从平面向量到空间向量 .pdf

1 从平面向量到空间向量 2 空间向量的运算（学案二）学习目的1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题自主整理1.空间两个向量a 和 b 的数量积是一个数,等于，记作 a b, 即 a b= . 2.空间向量的数量积的运算律_. (1)交换律 : ; (2) 分配律 :; (3) (R). 3.(1) |a|=_; (2)ab_; (3)cosa,b=(a0,b 0)_. 4.对于任意一个非零向量a,我们把叫作向量a 的单位向量 ,记作 .与 a 同方向 . 例题讲解【例1】如图 ,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a,点 E,F,G 分别是AB,AD,DC的中点 .求下列向量的数量积: (1)ABAC;(2)ADBD;(3)BDGF;(4)BCEF. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页变式训练1.已知在空间四边形OABC 中 ,OB=OC,AB=AC, 求证 :OA BC. 【例 2】 如图所示 ,在空间四边形OABC 中 ,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,OAC=45 , OAB=60 ,求 OA 与 BC 夹角的余弦值 . 变式训练2.如图 ,已知 ABC 是正三角形 ,PA平面 ABC, 且 PA=AB=a, 求 PB 和 AC 所成的角的大小. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页【例3】如图 ,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点 M,N分别是边AB,CD 的中点 . (1)求证 :MN 为 AB 和 CD 的公垂线 ;(2)求 MN 的长 ; (3)求异面直线AN 与 MC 所成角的余弦值. 变式训练3.如图 ,平行六面体ABCD A1B1C1D1中,以顶点A 为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60 . (1)求 AC1的长 ;(2)求 AC1与面 ABCD 所成的角 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页练习作业1.已知 |a|=2,|b|=3,a,b=60 ,则|2a-3b|等于 ( ) A.97B.97 C.61D.61 2.下列各命题中,不正确的命题的个数为( ) aa=|a| m(a)b=(m )ab ,(m, R) a (b+c)=(b+c) a a2b=b2a A.4 B.3 C.2 D.1 3.已知非零向量a,b 不平行 ,并且其模相等 ,则 a+b 与 a-b 之间的关系是( ) A.垂直B.共线C.不垂直D.以上都可以4.已知 PA平面 ABC, ABC=120,PA=AB=BC=6, 则 PC 等于 ( ) A.62B.6 C.12 D.144 5.已知向量a,b,c 两两之间的夹角都为60 ,其模都为 1,则|a-b+2c|等于 ( ) A.5B.5 C.6D.6 6.已知 i,j,k 是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k, 则 ab 等于 ( ) A.-2 B.-1 C. 1 D.2 7.已知在平行六面体ABCD A B C D中 ,AB=4,AD=3,AA =5, BAD=90, BAA = DAA =60, 则 AC 等于 ( ) A.85 B.85C.52D.50 8.在四面体SABC 中,各棱长均为a,E,F 分别是 SC 和 AB 的中点 , 则异面直线EF 与 SA 所成的角等于( )A.90 B.60 C.45 D.30 9.已知 a,b 是夹角为60 的两单位向量 ,而 ca,cb,且|c|=3,x=2a-b+c,y=3b-a-c,则 cosx,y=_. 10.已知 |OA|=5,|OB|=2, OA,OB=60 ,OC=2OA+OB,OD=OA-2OB,则以OC,OD为邻边的OCED 的对角线OE 的长为 _. 11.已知线段AB 的长度为62,AB与直线 l 的正方向的夹角为120 ,则AB在 l 上的射影精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页的长度为 _. 12.已知 |a|=32,|b|=4,m=a+b,n=a+ b,a,b=135 ,mn,则 =_. 13.设 ab,a,c=3,b,c=6,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则向量 a+b+c 的模是 _. 14.在直二面角的棱上有两点A,B,AC和 BD 各在这个二面角的一个面内,并且都垂直于棱AB, 设 AB=8 cm,AC=6 cm,BD=24 cm,求 CD 的长 . 15.如图所示 ,在正方体ABCD A1B1C1D1中 ,O 为 AC 与 BD 的交点 ,G 为 CC1的中点 ,求证:A1O平面 GBD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页6.如图所示 ,正方形 ABCD 与正方形ABEF 边长均为1,且平面 ABCD 平面 ABEF,点 M 在AC 上移动 ,点 N 在 BF 上移动 .若 CM=BN=a(0a2). (1)求 MN 的长度 ; (2)当 a 为何值时 ,MN 的长最小 ; (3)当 MN 长最小时 ,求平面 MNA 与平面 MNB 所成的二面角的大小 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页课后总结1.数量积是数量,可以是正数 ,也可以是负数或零,它没有方向 ,可以比较大小.a 与 b 的数量积的几何意义是:向量 a 的模 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosa,b的乘积 . 2.利用两个向量的夹角为2,判断空间直线的垂直是向量在立体几何中的重要应用之一. 3.根据空间两个向量的数量积的定义:a b=|a|b|cosa,b,那么空间两个向量a,b 的夹角的余弦 cosa,b=|baba,这个公式可用来求空间两直线所成的角. 4.在空间两个向量的数量积中,特别地aa=|a|a|cos0=|a|2,所以向量a 的模 |a|=2a,这个公式可用来求空间中线段的长度.将其推广为 :|a b|= (22bbaaba)2; |a+b+c|=accbbacbacba222)(2222=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a b+2bc+2ca. 5.对于三个不为0 的向量 ,若 a b=a c,不能得出b=c, 即向量不能约分. 6.若 a b=k,不能得出a=bk或b=ak,即向量不能进行除法运算. 7.对于三个不为0 的向量 ,(a b)ca(bc),即向量的数量积不满足结合律. 8.如何利用向量知识求线段的长度? 将所求线段用向量表示,转化为求向量的模的问题.一般可以先选好基底,用基向量表示所求向量 ,然后利用 |a|2=(a)2来求解 .选择基底时 ,应注意三个基向量两两之间的夹角应该是确定的 ,已知的或可以求出的.具体求模时 ,可分为两种不同情况: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页(1)不建坐标系 ,直接进行向量运算;(2)建立坐标系 ,用距离公式求线段长度. 9.如何利用空间向量知识求异面直线所成的角? 面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量,计算两个方向向量的夹角得到,具体计算时可以用基向量表示,也可以用坐标运算进行.但在求异面直线所成的角时,应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别:如果两向量夹角为锐角或直角,则异面直线所成的角等于两向量的夹角;如果两向量的夹角为钝角,则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角 . 1 从平面向量到空间向量 2 空间向量的运算（学案二）学习目的1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题自主整理1. 空 间 两 个 向 量a和b 的 数 量 积 是 一 个 数 ,等 于baba,cos， 记 作a b,即ab=baba,cos. 2.空间向量的数量积的运算律. (1)交换律 :a b=b a; (2) 分配律 :a (b+c)= a b + a c; (3)(a b)= ( a) b(R). 3.(1) |a|=aa;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页(2)ab=a b=0; (3)cosa,b=baba(a 0,b 0).4.对于任意一个非零向量a,我们把叫作向量a 的单位向量 ,记作 .与 a 同方向 . 例题讲解【例1】如图 ,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a,点 E,F,G 分别是AB,AD,DC的中点 .求下列向量的数量积: (1)ABAC;(2)ADBD;(3)BDGF;(4)BCEF. 解析： 由于空间四边形ABCD 各棱长都等于a, 所以表面中各三角形均为正三角形. 所以有AB,AC,AD两两之间的夹角均为60 ,用数量积的定义求解即可 .答案： (1)在空间四边形ABCD 中|AB|=|AC|=a,且AB,AC =60 , 所以ABAC=a acos60 =21a2.(2)|AD|=a,|BD|=a,AD,BD=60 , 所以ADBD=a2cos60 =21a2.(3)|GF|=21a,|AC|=a,又GFAC,GF,AC=,所以GFAC=21a2cos =21a2.(4)因为 |EF|=21a,|BC|=a,EFBD, 所以EF,BC=BC,BD =60 .所以BCEF=21a2cos60 =41a2. 小结直接求两个向量的数量积时, 应选取好基底, 三个基向量的选取很重要, 一般要保证三个向量两两之间夹角已知或可求, 最好是特殊角, 然后利用定义求解. 变式训练1.已知在空间四边形OABC 中 ,OB=OC,AB=AC, 求证 :OA BC. 证明 :因为 OB=OC,AB=AC,OA=OA, 所以 OAC OAB. 所以 AOC= AOB. 因为)(OBOCOABCOA=OBOAOCOA=|OCOAcosAOC-|OBOAcosAOB=0. 所以 OABC. 【例 2】 如图所示 ,在空间四边形OABC 中 ,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,OAC=45 , OAB=60 ,求 OA 与 BC 夹角的余弦值 . 解析： 求异面直线所成的角,可以用常规方法,也可以用向量夹角公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页求解 ,cosOA,BC=|BCOABCOA,应先求出OABC. 答案： 因为BC=AC-AB,所以OABC=OAAC-OAAB=|OA| |AC| cosOA,AC-|OA| |AB| cosOA,AB=8 4 cos135 -8 6 cos120 =24-162.所以 cosOA,BC=|BCOABCOA=52235821624.所以 OA 与 BC 夹角的余弦值为5223. 小结用向量夹角公式解决异面直线所成角的问题时,应注意角的范围,向量夹角范围是0 ,180 ,异面直线所成的角的范围是(0 ,90 ,当用夹角公式求出的角为钝角时,它的补角才等于异面直线所成的角. 变式训练2.如图 ,已知 ABC 是正三角形 ,PA平面 ABC, 且 PA=AB=a, 求 PB 和 AC 所成的角的大小. 解 :PA平面 ABC, ABC 为正三角形 , PA=AB=a, 所以 PAAC,BAC=60,PB=2a,AC=a. 所以ACABACPAACABPAACPB)(=21a2. 所以 cos ACPB, =4222|2aaaACPBACPB.所以 PB 与 AC 所成的角为arccos42. 【例3】如图 ,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点 M,N分别是边AB,CD 的中点 .(1)求证 :MN 为 AB 和 CD 的公垂线 ;(2)求 MN 的长 ; (3)求异面直线AN 与 MC 所成角的余弦值. 解析： 如图 ,设AB=p,AC=q,AD=r.由题意 ,可知 |p|=|q|=|r|=a, 且 p,q,r 三向量两两夹角均为60 . 答案： (1)证明：ABADACANMN21)(21=21(q+r-p), 所以MNAB=21(q+r-p)p=21(q p+r p-p2)=21(a2 cos60 +a2 cos60 -a2)=0. 所以 MN AB, 同理可证MN CD.所以 MN 为 AB 与 CD 的公垂线 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页(2)解： 由(1)可知MN=21(q+r-p), 所以 |MN|2=(MN)2=41(q+r-p)2=41q2+r2+p2+2(q r-q p-r p)=41a2+a2+a2+2(22a-22a-22a) =41 2a2=22a. 所以 |MN|=22a. 所以 MN 的长度为22a. (3)解： 设向量AN MN与MC的夹角为,因为AN=21(AC+AD) =21(q+r), MC=AC-AM=q-21p, 所以ANMC=21(q+r)(q-21p) =21(q2-21q p+r q-21r p) =21(a2-21a2 cos60 +a2cos60 -21a2 cos60 ) =21(a2-424222aaa)=22a. 又因为 |AN|=|MC|=23a, 所以ANMC=|AN| |MC| cos=23a23a cos =22a.所以 cos =32. 所以向量 AN 与 MC 的夹角余弦值为32.从而异面直线AN,MC 所成角的余弦值为32. 小结空间向量求模的运算要注意公式的准确应用.向量的模就是表示向量的有向线段的长度,因此求线段长度的问题可用向量求解.立体几何中有关判断线线垂直,异面直线所成角的大小问题 ,通常可以转化为求向量的数量积和求向量的夹角而得到. 变式训练3.如图 ,平行六面体ABCD A1B1C1D1中,以顶点A 为端点的三条棱长都为 1,且两两夹角为60 .(1)求 AC1的长 ;(2)求 AC1与面 ABCD 所成的角 . 解 :(向量法 )记 a=AB,b=AD,c=1AA于是 |a|=|b|=|c|=1,a,b =b,c=c,a=60 .(1)11CCBCABAC=a+b+c, 所以2121|ACAC=a2+b2+c2+2a c+2a b+2b c=1+1+1+2cos60 +2cos60 +2cos60 =6. 所以1AC=6. (2)连结 AC,BD, 由四边形ABCD 是菱形 ,知 BDAC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页又BD=b-a, 1CCBD=(b-a) c=b c-a c=0. 所以 BD CC1.所以 BD平面 ACC1. 所以平面 ABCD 平面 ACC1.故 AC 是 AC1在平面 ABCD 内的射影 , C1AC 即为 AC1与面 ABCD 所成的角 .因为1AC=a+b+c,AC=a+b, cosC1AC=cos1AC,AC=|11ACACACAC=|)()(bacbabacba=322364. 故 AC1与平面 ABCD 所成的角为arccos322.练习作业1.已知 |a|=2,|b|=3,a,b=60 ,则|2a-3b|等于 ( ) A.97B.97 C.61D.61 解析 :|2a-3b|2=4a2+9b2-12a b=4 4+9 9-12 |a|b|cos60 =97-12 2 321=61. 所以 |2a-3b|=61.答案 :C 2.下列各命题中,不正确的命题的个数为( ) aa=|a| m(a)b=(m)ab(m,R)a (b+c)=(b+c) a a2b=b2a A.4 B.3 C.2 D.1 解析 :正确 ,不正确 .答案 :D 3.已知非零向量a,b 不平行 ,并且其模相等 ,则 a+b 与 a-b 之间的关系是( ) A.垂直B.共线C.不垂直D.以上都可以解析 :因为 (a+b) (a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0.所以 (a+b) (a-b).答案 :A 4.已知 PA平面 ABC, ABC=120,PA=AB=BC=6, 则 PC 等于 ( ) A.62B.6 C.12 D.144 解析 :因为BCABPAPC, 答案 :C 所以BCABBCABPAPC22222=36+36+36+2 36cos60 =144.所以 |PC|=12. 5.已知向量a,b,c 两两之间的夹角都为60 ,其模都为1,则|a-b+2c|等于 ( ) A.5B.5 C.6 D.6 解析 :(a-b+2c)2=a2+b2+4c2-2a b+4a c-4b c=1+1+4-2cos60=5.所以 |a-b+2c|=5.答案 :A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页6.已知 i,j,k 是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k, 则 a b 等于 ( ) A.-2 B.-1 C. 1 D.2 解析 :a b=(2i-j+k) (i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2.答案 :A 7.已知在平行六面体ABCD A B C D中 ,AB=4,AD=3,AA =5, BAD=90, BAA = DAA =60, 则 AC 等于 ( ) A.85 B.85C.52D.50 解析 :2222|)(ADABAAADABAC)(2|2AAADAAABADABAA=50+2(10+7.5)=85. 答案 :B 8.在四面体SABC 中,各棱长均为a,E,F 分别是 SC 和 AB 的中点 ,则异面直线 EF 与 SA 所成的角等于 ( )A.90 B.60 C.45 D.30 解析 :选SA、SB、SC为基向量表示其他向量. SBSASCSFESEF212121,所以|2121212SASBSASASCSAEF=21a2,2)212121(|SBSASCEF=21aSCSBSA22)(2. 所以 cosEAEF,=2222212aaa.所以EAEF,=4=45 .答案 :C9.已知 a,b 是夹角为 60 的两单位向量,而 ca,cb,且|c|=3,x=2a-b+c,y=3b-a-c, 则 cos x,y=_.解析 :因为 |x|=6)2(2cba,|y|=2)3(cab=10, x y=(2a-b+c) (3b-a-c)=29,所以 cos x,y=2015310629.答案 :2015310.已知 |OA|=5,|OB|=2, OA,OB=60 ,OC=2OA+OB,OD=OA-2OB,则以OC,OD为邻边的OCED 的对角线OE 的长为 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页解析 :因为ODOCOE,所以222)22()(OBOAOBOAODOCOE=OBOAOBOAOBOA69)3(222=9 25+4-6 5 2 cos60 =199. 所以 OE=199.答案 :199 11.已知线段AB 的长度为62,AB与直线 l 的正方向的夹角为120 ,则AB在 l 上的射影的长度为 _。解析 :AB在 l 上的射影的长度为|AB|cos120 |=6221=32.答案 :3212.已知 |a|=32,|b|=4,m=a+b,n=a+ b,a,b=135 ,m n,则 = _. 解析 :由 mn,得(a+b) (a+ b)=0,a2+ a b+a b+ b2=0, 18+32 4 cos135 +32 4 cos135 +16 =0,4 +6=0, =23.答案 :2313.设 ab,a,c =3,b,c =6,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则向量 a+b+c 的模是 _. 解析 :因为 |a+b+c|2=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a b+a c+b c) =1+4+9+2(0+1 321+2 323)=17+63,所以 |a+b+c|=3617.答案 :361714.在直二面角的棱上有两点A,B,AC和 BD 各在这个二面角的一个面内,并且都垂直于棱AB, 设 AB=8 cm,AC=6 cm,BD=24 cm,求 CD 的长 . 解析 :作出符合题意的空间直观图,不难发现 ABCD 为一空间四边形,由空间向量的加法运算法则 ,有BDABCACD,于是 CD 之长可求 . 答案 :如图 ,依题意有AC,AB,BD 两两垂直 ,所以ABCA=0,BDCA=0,BDAB=0. 所以 |CD|2=CDCD=)(BDABCABDABCA=|222BDABCA=62+82+242=676.所以 CD=676=26.15.如图所示 ,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O 为 AC 与 BD 的交点 ,G 为CC1的中点 ,求证 :A1O平面 GBD. 解析 :只要证明OA1与面 GBD 内两个不共线向量垂直即可. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页证明： 设11BA=a,11DA=b,11AA=c,则 a b=0,b c=0,a c=0. 而OA1=)(2111ADABAAAOAA=c+21(a+b), ABADBD=b-a, 121)(21CCADABCGOCOG=21(a+b)-21c. 所以OA1BD=(c+21a+21b) (b-a)=c (b-a)+21(a+b) (b-a)=c b-c a+21(b2-a2) =21(|b|2-|a|2)=0.所以OA1BD.所以OA1BD. 同理可证OA1OG,所以 A1OOG.又因为 OG BD=O, 且 A1O面 GBD, 所以 A1O面 GBD. 16.如图所示 ,正方形 ABCD 与正方形 ABEF 边长均为 1,且平面 ABCD 平面 ABEF,点 M 在AC 上移动 ,点 N 在 BF 上移动 .若 CM=BN=a(0a2). (1)求 MN 的长度 ;(2)当 a 为何值时 ,MN 的长最小 ; (3)当 MN 长最小时 ,求平面 MNA 与平面 MNB 所成的二面角 的大小 . 解析 :根据向量的基本运算,利用AMFANFNM这一关系来求2| NM,这是求长度问题的常见方法. 答案 :(1)AC=2,BF=2,CM=BN=a.AM=(1-2a)AC,NF=(1-2a)BF. AMFANFNM=(1-2a)FABF+(1-2a)AC=(1-2a)FABABE)(+(1-2a)(BCAB) =(1-2a)BEBABE)(+(1-2a)(BCBA)=(1-2a)BC+(-2a)BE222)21(|BEaBCaNMNM=2221)21(22)21(aBEBCaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页=)20(21)22(2aa. (2)由(1),知当 a=22时,|MN|的最小值为22,即 M,N 分别为 AC,BF 的中点时 ,MN 长最小 ,最小值为22. (3)取 MN 中点 G,连结 AG,BG.因为 AM=AN,BM=BN, 所以 AG MN,BG MN. 所以 AGB 是二面角的平面角 . 所以46|BGAG.所以 cos =|2|222GAGBABGAGB=31464621)46()46(22.=所以二面角的大小为arccos(31).课后总结1.数量积是数量,可以是正数 ,也可以是负数或零,它没有方向 ,可以比较大小.a 与 b 的数量积的几何意义是:向量 a 的模 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosa,b的乘积 . 2.利用两个向量的夹角为2,判断空间直线的垂直是向量在立体几何中的重要应用之一. 3.根据空间两个向量的数量积的定义:a b=|a|b|cosa,b,那么空间两个向量a,b 的夹角的余弦|,cosbababa,这个公式可用来求空间两直线所成的角. 4.在空间两个向量的数量积中,特别地aa=|a|a|cos0=|a|2,所以向量a 的模 |a|=2a,这个公精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页式可用来求空间中线段的长度.将其推广为 :|a b|= (22bbaaba)2; |a+b+c|=accbbacbacba222)(2222=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a b+2bc+2ca. 5.对于三个不为0 的向量 ,若 a b=a c,不能得出b=c, 即向量不能约分. 6.若 a b=k,不能得出a=bk或b=ak,即向量不能进行除法运算. 7.对于三个不为0 的向量 ,(a b)ca(bc),即向量的数量积不满足结合律. 8.如何利用向量知识求线段的长度? 将所求线段用向量表示,转化为求向量的模的问题.一般可以先选好基底,用基向量表示所求向量 ,然后利用 |a|2=(a)2来求解 .选择基底时 ,应注意三个基向量两两之间的夹角应该是确定的 ,已知的或可以求出的.具体求模时 ,可分为两种不同情况: (1)不建坐标系 ,直接进行向量运算;(2)建立坐标系 ,用距离公式求线段长度. 9.如何利用空间向量知识求异面直线所成的角? 面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量,计算两个方向向量的夹角得到,具体计算时可以用基向量表示,也可以用坐标运算进行.但在求异面直线所成的角时,应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别:如果两向量夹角为锐角或直角,则异面直线所成的角等于两向量的夹角;如果两向量的夹角为钝角,则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页