0304考研第六章定积分的应用下.ppt

20120304考研第六章考研第六章定积分的应用下定积分的应用下2第六章第六章 定积分的应用定积分的应用.d)( baxxfU，,xxxd ；xxfUd)(d 3y+dyyoyx( )xy dc( )yf x abxdxx oyx 2 ( ) dbxaVf xx 2( )dbyaVxf xx ( )dbaAf xx dbay x 2 1d ,basyx 22( ) 1( )d .bxaAf xfxx 2 ( ) dyy dycV 2( )ddxcVyyy ( )ddcAyy ddcx y 433cos,si8.nxatyat 例例 设设曲曲线线求求(1)曲曲线线所所围围成成的的图图形形的的面面积积；解解:0(1)d4aAy x 所所求求的的面面积积334( sin)d( cos)atat 03224( sin)(3 cos)( sin )datattt 2422012sincosdatt t 2462012sinsindattt 23!5!124! 26! 2a 23.8a02 5(2)x曲曲线线所所围围成成的的图图形形绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所得得立立体体的的体体积积；解解:20(22d)axVyx 所所求求的的体体积积323022( sin) d( cos)atat 372206sincos datt t 379206sinsindattt 26!8!12()7!9!a 332.105a33cos,si8.nxatyat 例例 设设曲曲线线求求6(3)求求曲曲线线的的全全长长；解解:201(3d)4aSyx 曲曲线线全全长长2332024( cos) ( sin) datatt 2222204( 3 cossin )(3 sincos ) dattattt 22222012sincos(sincos)dattttt 2012sin cos datt t 2012sin d(sin )att 1.6a33cos,si8.nxatyat 例例 设设曲曲线线求求ds7(4)x求求曲曲线线绕绕 轴轴旋旋转转所所得得旋旋转转曲曲面面的的面面积积. .解解:20(2 ( ) 14(d)2xaf xfxxA 旋旋转转曲曲面面的的面面积积332322022() ( cos) (sinsin) datatatt 23022(3 sin cosin)d)satttat 2042sidn12costat t 2520112sin5at212.5ads33cos,si8.nxatyat 例例 设设曲曲线线求求dsy8 221 01dsyx 222 01cosdax x 1,s2,s 22220dsxyt sin (02 )yaxx (02 )t 21sinyatcosxt 22220sin1cosdtatt 22201cosdax x 12ss9例例10 10 试用定积分求圆试用定积分求圆22(2)1xy 绕绕 x 轴轴oxy121 上上半圆为半圆为221yx 下下22(21)x22(21)x 102V dx 24 求体积求体积 :解解方法方法1 利用对称性利用对称性旋转而成的环体体积旋转而成的环体体积 V 及表面积及表面积 S . 221100ddVyxyx 下上10上上半圆为半圆为221yx 下下 121 oxyy方法方法2 用柱壳法用柱壳法2 ddxcVyxy 2xdV 2y 2xdy314V 21(2) dyyy24 例例10 10 试用定积分求圆试用定积分求圆22(2)1xy 绕绕 x 轴轴旋转而成的环体体积旋转而成的环体体积 V 及表面积及表面积 S .11求侧面积求侧面积 :102 22 (21)x 21dyx上上S oxy121 221yx 21xyx 102 22 (21)x 21dyx下下28 2dbaSy s 上上半圆为半圆为221yx 下下解解: 例例10 10 试用定积分求圆试用定积分求圆22(2)1xy 绕绕 x 轴轴旋转而成的环体体积旋转而成的环体体积 V 及表面积及表面积 S .12 由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中如果物体在作直线运动的过程中所受的力是变化的，如果物体在作直线运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，就不能直接使用此公式，S时，时，与物体的运动方向一致，与物体的运动方向一致，有一个不变的力有一个不变的力F作用在这个物体上，作用在这个物体上，变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功且这个力的方向且这个力的方向那么，在物体移动了距离那么，在物体移动了距离力对物体所作的功为：力对物体所作的功为：W=FS.而采用而采用“微元法微元法”的思想的思想.二、定积分在物理上的应用二、定积分在物理上的应用131、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力设物体在连续变力 F(x) 作用下沿作用下沿 x 轴从轴从 x a 移动到移动到,xb 力的方向与运动方向平行力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功求变力所做的功 .xabxxxd , ,d a bx xx 在在上上任任取取子子区区间间，在其上所作的功元在其上所作的功元素为素为d( )dWF xx 因此变力因此变力F(x) 在区间在区间 , a b上所作的功为上所作的功为( )d .baWF xx 14例例1 1将一个质量为将一个质量为m的物体从地面铅直送到高度为的物体从地面铅直送到高度为h的高空处，问克服地球引力要作多少功？的高空处，问克服地球引力要作多少功？解解取取r 轴铅直向上，地球中心为坐标原点轴铅直向上，地球中心为坐标原点.当物体位于坐标为当物体位于坐标为r的点处，所受的引力为的点处，所受的引力为,)(2rfmMrF 其中：其中：f为万有引力系数为万有引力系数,M为地球的质量为地球的质量.设地球的半径为设地球的半径为R，由于，由于,)(mgRF ,2mgRfmM ,2mgRfmM 则有则有,)(22rmgRrF 取取r为积分变量为积分变量,ror ,hRR 则积分区间为则积分区间为RhR 15,)(22rmgRrF 取取r为积分变量为积分变量,则积分区间为则积分区间为,hRR 在在,hRR 上任意取一个小区间上任意取一个小区间r, r+dr,则该区间则该区间上物体克服地球引力需作的功近似于，上物体克服地球引力需作的功近似于，,dd)(d22rrmgRrrFw 即为功元素即为功元素.于是所作的功为于是所作的功为 WhRRrmgR 21 )11(2hRRmgR rrmgRhRRd 22.mgRhRh rorRhR drr 16例例2 2在底面积为在底面积为s的圆柱形容器中盛有一定量的气体的圆柱形容器中盛有一定量的气体.在等温条件下在等温条件下,由于气体的膨胀，由于气体的膨胀，把容器中一个面积把容器中一个面积为为s的活塞从点的活塞从点a处推到点处推到点b处，处，计算在移动过程中，计算在移动过程中，气体压力所作的功气体压力所作的功.解解obxas取如图所示的坐标系取如图所示的坐标系活塞的位置可以用活塞的位置可以用坐标坐标x来表示来表示.kpV .Vkp 或或,xSV .xSkp 则作用在活塞上的力为则作用在活塞上的力为 SpF SxSk.xkxs其中：其中：p为压强为压强,V为气体体积为气体体积17.xkSxSkSpF 则作用在活塞上的力为则作用在活塞上的力为在气体膨胀过程中，在气体膨胀过程中，则作用在活塞上的力也是变的则作用在活塞上的力也是变的.obxaxxxd s取取x为积分变量，为积分变量，则积分区间为则积分区间为a,b,在在a,b上任取一上任取一小区间小区间,d,xxx 则该区间上变力作的功近似于则该区间上变力作的功近似于,ddxxkW 于是于是所求的功为所求的功为 xxkWbad baxk lnln.bka体积体积V是变的是变的,位置位置x也是变的，也是变的，18例例3 3一圆柱形的贮水桶高为一圆柱形的贮水桶高为5m,底圆半径为底圆半径为3m，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需要作桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需要作多少功？多少功？5m3m解解取如图所示的坐标系取如图所示的坐标系取深度取深度x为积分变量，为积分变量，它的变化区间为它的变化区间为0,5,xxd x在在0,5上任取一小区间上任取一小区间,d,xxx 则该区间上对应的一薄层水的高度则该区间上对应的一薄层水的高度为为dx(m),体积为体积为),m(d9d3xV 取水的密度取水的密度,1t/m3 重力加速度重力加速度,m/s8 . 92 gxo19),m(d9d3xV ,1t/m3 ,m/s8 . 92 g则该小区间上对应的薄层水的重量为则该小区间上对应的薄层水的重量为 Vgd 于是，把这薄层水吸出桶外需作的功近似地为于是，把这薄层水吸出桶外需作的功近似地为),kJ( d2 .88dxxW 即为功元素即为功元素于是所作的功为于是所作的功为 xxWd2 .885 0 5 0 222 .88 x 2252 .88(kN) d2 .88d98 . 91xx 3642 (kJ).5m3mxxd xxo20例例4 4用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 二二 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？01x解解设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为 101d)(xxfw,2k hxx+dx设二次击入的总深度为设二次击入的总深度为 厘米厘米h.d)( 0 2 hxxfw二次锤击所作的总功为二次锤击所作的总功为 10dxkx功元素功元素,ddxkxW 21依题意知依题意知,每次锤击所作的功相等每次锤击所作的功相等122ww 2222kkh ,2 h解得：解得：21(cm). 第二次击入的深度为第二次击入的深度为 hxxfw02d)(二次锤击所作的总功为二次锤击所作的总功为 hxkx0d22kh 101d)(xxfw,2k 功元素功元素,ddxkxW 22 2、水压力、水压力有物理学知道有物理学知道,在水深在水深h处的压强为处的压强为,pgh 这里这里如果有一面积如果有一面积为为A的平板，的平板，水平地放置在水深为水平地放置在水深为h处，处，一侧所受的水压力为一侧所受的水压力为.ApF 是水的密度，是水的密度， 是水的重力加速度是水的重力加速度.g如果平板垂直放置在水中，那么，由于不同水深如果平板垂直放置在水中，那么，由于不同水深处的压强处的压强p不相等，不相等，用上述公式计算用上述公式计算.那么，平板那么，平板平板一侧所受的水压力不能直接平板一侧所受的水压力不能直接23例例5 5某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长为各长为10m和和6m，高为，高为20m,较长的底边与水面相齐较长的底边与水面相齐.计算闸门的一侧所受的水压力计算闸门的一侧所受的水压力.10m6moyxA(0,5)B(20,3)20m建立如图所是的坐标系建立如图所是的坐标系则梯形一腰则梯形一腰AB的方程为的方程为)5 , 0(,10120035点点 k.105xy 取取x为积分变量，为积分变量，则积分区间为则积分区间为0，20，解解2410m20m6moyxAB(20,3)xx+dx在在0,20上任取一小区间上任取一小区间x ,x+dx,该小区间的窄条各点所受的水的该小区间的窄条各点所受的水的压强近似于压强近似于)N/m(10123xg 该窄条的长近似为该窄条的长近似为,510)105(22xxy 高度为高度为dx,因而这一窄条的一侧因而这一窄条的一侧所受的水压力近似为所受的水压力近似为取取x为积分变量，则积分区间为为积分变量，则积分区间为0，20，),kN( d)510(dxxgxF 则闸门上相应于则闸门上相应于).kN/m(2xg 25于是所求的压力为于是所求的压力为 xxgxFd )510(20 0 20 0 32155 xxg 316002000g所受的水压力近似为所受的水压力近似为),kN( d)510(dxxgxF 即为压力元素即为压力元素.14373 (kN).26解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图, 0Rx .d222xxR ,gxp 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为设桶的底半径为R,水的比重为水的比重为, 计算桶的一端面上计算桶的一端面上所受的压力所受的压力.例例6取取x为积分变量，为积分变量，任取一小区间任取一小区间x, x+dx小矩形片上各点处的压强小矩形片上各点处的压强近似相等近似相等小矩形片的面积为小矩形片的面积为xoxxx d 22d2d ,FgxRxx 小矩形片的压力元素为小矩形片的压力元素为y27 22 02dRFgx Rxx )(d2 0 22xxRgR RxRg 0 32232 32.3gR 小矩形片的压力元素为小矩形片的压力元素为22d2d ,FgxRxx 端面上所受的压力为端面上所受的压力为)(d22 0 22xRxRgR 283、引力、引力万有引力定律：万有引力定律： 两个质量分别为两个质量分别为12mm和和，相距为相距为r的质点间的引力为的质点间的引力为122fmmFr ( f为引力常数为引力常数).如果要计算一细杆对质点的引力，由于细杆上各点如果要计算一细杆对质点的引力，由于细杆上各点与质点的距离是变化的，与质点的距离是变化的，所以就不能直接用上面的所以就不能直接用上面的公式计算公式计算.29例例7 7设有一长为设有一长为l,质量为质量为M的均匀细杆，另有一质量的均匀细杆，另有一质量为为m的质点和杆在一条直线上，的质点和杆在一条直线上， 它到杆的近端的距离它到杆的近端的距离为为a, 计算细杆对质点的引力计算细杆对质点的引力.aloxm解解取如图所示的坐标系取如图所示的坐标系则积分区间为则积分区间为0,l,取取x为积分变量，为积分变量，在在0, l上任取一小区间上任取一小区间x ,x+dx,此段杆长为此段杆长为dx， .x+dxx30该一小短杆可近似的看作一个质点，该一小短杆可近似的看作一个质点，质量为质量为,dxlMalx+dxxoxm它与质点它与质点m间的间的距离为距离为x+a,则这一小段杆对质点的引力的近似值，引力元素为则这一小段杆对质点的引力的近似值，引力元素为.)(dd2axxlMfmF 于是所求的引力为于是所求的引力为在在0, l上任取一小区间上任取一小区间x ,x+dx,此段杆长为此段杆长为dx， 31 xaxlMfmFld)( 0 2xaxlfmMld)(1 0 2 laxlfmM 0 1)(alallfmM .()fmMa la .)(dd2axxlMfmF 于是所求的引力为于是所求的引力为32不变的情况下，其压强跟体积成反比。不变的情况下，其压强跟体积成反比。 波马定律：一定质量的理想气体，在温度波马定律：一定质量的理想气体，在温度例例2使用的原理使用的原理