333 简单的线性规划问题(2).ppt

333 简单的线性规划问简单的线性规划问题题(2)一、问题情景一、问题情景 某校办工厂有方木料某校办工厂有方木料90m90m3 3, ,五合板五合板600m2，正准备为外校新生加工，正准备为外校新生加工新桌椅和书橱出售新桌椅和书橱出售. .已知生产每张书桌需要方木料已知生产每张书桌需要方木料0.1m0.1m3 3，五合板，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料，生产每个书橱需要方木料0.2m0.2m3 3，五合板，五合板1m2，出售一张书桌可获利，出售一张书桌可获利润润80元，出售一张书橱可获利润元，出售一张书橱可获利润120元元. . （1 1）假设你是工厂的生产科长，请你按要求设计出工厂的生产方案。）假设你是工厂的生产科长，请你按要求设计出工厂的生产方案。 方案一：若只生产书桌，用完五合板，可生产书桌方案一：若只生产书桌，用完五合板，可生产书桌300张，可获得利润张，可获得利润80300=24000元，但方木料没有用完元，但方木料没有用完. . 方案二：若只生产书橱，用完方木料，可生产方案二：若只生产书橱，用完方木料，可生产450张书橱，可获得利润张书橱，可获得利润120450=54000元，但五合板没有用完元，但五合板没有用完. . （2 2）设生产书桌）设生产书桌x张，书橱张，书橱y张，利润张，利润z元，写出元，写出x、y应满足的条件以及应满足的条件以及Z与与x、y之间的函数关系式之间的函数关系式. . 约束条件为约束条件为 ： NyNx600y2x900.2y0.1x目标函数为：目标函数为：yxz12080 (3)(3)如果你是厂长，为使工厂原料充分利用，问怎么安排能如果你是厂长，为使工厂原料充分利用，问怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？ 方案三、生产书桌方案三、生产书桌100100张，书橱张，书橱400400张，有最大利润为张，有最大利润为5600056000元元 在上面两种情况下，原料都没有充分利用，造成了资源浪费，那么在上面两种情况下，原料都没有充分利用，造成了资源浪费，那么该怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？该怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？二、线性规划在实际中的应用二、线性规划在实际中的应用 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用， 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务物力、资金等资源来完成该项任务. .下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：例题例题 例例1 1某工厂用某工厂用A A、B B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用产品使用4 4个个A A配件耗时配件耗时1h1h，每生产一件乙产品使用，每生产一件乙产品使用4 4个个B B配件耗时配件耗时2h2h，该厂每天最多可从配件厂获得，该厂每天最多可从配件厂获得1616个个A A配件和配件和1212个个B B配件，按每配件，按每天工作天工作8h8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品可获利润甲产品可获利润2 2万元，生产一件乙产品可获利润万元，生产一件乙产品可获利润3 3万元，则如何万元，则如何安排日生产，可使工厂所获利润最大？安排日生产，可使工厂所获利润最大？分析：将已知数据列成表格分析：将已知数据列成表格产品产品AB耗时耗时甲甲41h乙乙42h16128h0y0,x124y164x82yxyxz32 解设甲、乙两种产品的产量分别为解设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，工厂利润件，工厂利润z z万元万元约束条件为：约束条件为： 目标函数是：目标函数是：作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域把目标函数把目标函数z2x3y 变形为变形为332zxyyxOx+2y-8=0y=3x=4它表示斜率为它表示斜率为 随随z变化的一组平行直线系变化的一组平行直线系32 是直线在是直线在y轴上的截距，轴上的截距，当截距最大时，当截距最大时，z的值最大的值最大. .3z如图可见，当直线如图可见，当直线z2x3y 经过可行域上的点经过可行域上的点M M时，截距时，截距最大，即最大，即z最大最大MM点是两条直线的交点，解方程组点是两条直线的交点，解方程组0824yxx得得M点的坐标为：点的坐标为：24yx所以所以zmax2x3y14 由此可知，由此可知，每天生产甲产品每天生产甲产品4件、乙产品件、乙产品2件时，工厂可得最件时，工厂可得最大最大利润大最大利润14万元万元 例例2 2 投资生产投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地万元，需场地200m2，可获利润可获利润300万元；投资生产万元；投资生产B产品时，每生产一百米需要资金产品时，每生产一百米需要资金300万元，万元，需场地需场地100m2，可获利润，可获利润200万元万元. .现某单位可使用资金现某单位可使用资金1400万元，场地万元，场地900m2，问：应作怎样的组合投资，可获利最大？，问：应作怎样的组合投资，可获利最大？资金（百万元）资金（百万元）场地（百平方米）场地（百平方米）利润（百万元）利润（百万元）A A产品（百吨）产品（百吨）223B B产品（百米）产品（百米）312限制限制149分析将已知数据列成表格分析将已知数据列成表格 解设生产解设生产A产品产品x百吨，生产百吨，生产B产品产品y百米，利润为百米，利润为S百万元，则百万元，则约束条件为约束条件为目标函数为目标函数为00921432yxyxyxyxS23 作出可行域作出可行域把目标函数把目标函数S3x2y 变形为变形为223Sxy23Ay2x+y=9xO2x+3y=14它表示斜率为它表示斜率为随随S变化的一组平行直线系变化的一组平行直线系 是直线在是直线在y轴上的截距，轴上的截距，当截距最大时，当截距最大时，S的值最大的值最大2S如图可见，当直线如图可见，当直线S3x2y 经过可行域上的点经过可行域上的点A A时，截距时，截距最大，即最大，即S最大最大A点是两条直线的交点，解方程组点是两条直线的交点，解方程组921432yxyx得得A点的坐标为：点的坐标为：25413yx所以所以Smin3x2y14.75 由此可知，由此可知，, ,生产生产A产品产品3 325t，生产，生产B产品产品250m时，获利最大，时，获利最大，且最大利润为且最大利润为1475万元万元例例3 3营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水的碳水化合物，化合物，0.06kg的蛋白质，的蛋白质，0.06kg的脂肪，的脂肪，1kg食物食物A含有含有0.105kg碳水化碳水化合物，合物，0.07kg蛋白质，蛋白质，0.14kg脂肪，花费脂肪，花费28元；而元；而1食物食物B含有含有0.105kg碳碳水化合物，水化合物，0.14kg蛋白质，蛋白质，0.07kg脂肪，花费脂肪，花费21元。为了满足营养专家元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物和食物B多少多少kg？食物食物kg碳水化合物碳水化合物kg蛋白质蛋白质kg脂肪脂肪kg花费（元）花费（元）A0.1050.070.1428B0.1050.140.0721成人日常需要0.0750.060.06分析：将已知数据列成表格分析：将已知数据列成表格解设每天食用解设每天食用xkg食物食物A，ykg食物食物B，总成本为，总成本为z，则线性约束条，则线性约束条件为：件为：00671461475770006.007.014.006.014.007.0075.010.0105.0yxyxyxyxyxyxyxyx目标函数为：目标函数为：z28x21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域把目标函数把目标函数z28x21y 变形为变形为xyo5/75/76/73/73/76/72834zxy它表示斜率为它表示斜率为随随z变化的一组平行直线系变化的一组平行直线系34 是直线在是直线在y轴上的截轴上的截 距，当截距最小时，距，当截距最小时，z的值的值最小最小28zM如图可见，当直线如图可见，当直线z28x21y 经过可行域上的点经过可行域上的点M时，截距最时，截距最小，即小，即z最小最小43yx M点是两条直线的交点，解方程组点是两条直线的交点，解方程组6714577yxyx得得M点的坐标为：点的坐标为：7471yx所以所以zmin28x21y16 由此可知，每天食用食物由此可知，每天食用食物A143g，食物，食物B约约571g，能够满足日常，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元元三、练习题三、练习题 1. 1. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元元、2000元，甲、乙产品都需要在元，甲、乙产品都需要在A A、B B两种设备上加工，在每台两种设备上加工，在每台A、B上加工上加工1件甲所需工时分别为件甲所需工时分别为1h、2h，加工一件乙所需工时分别为，加工一件乙所需工时分别为2h、1h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为两种设备每月有效使用台数分别为400h/ /台和台和500h/ /台。如何安排生产可台。如何安排生产可使收入最大？使收入最大？ 设每月生产甲产品设每月生产甲产品x件，生产乙产品件，生产乙产品y件，每月收入为件，每月收入为z，目标，目标函数为函数为Z3x2y，满足的条件是，满足的条件是0050024002yxyxyx Z 3x2y 变形为变形为它表示斜率为它表示斜率为 的直线系，的直线系，Z与这条直线的截距有关与这条直线的截距有关223zxy23XYO400200250500当直线经过点当直线经过点M时，截距最大，时，截距最大，Z最大最大M解方程组解方程组50024002yxyx可得可得M（200，100）Zmax 3x2y800故生产甲产品故生产甲产品200 0件，件，乙产品乙产品100件，收入最件，收入最大，为大，为80万元万元0050024002yxyxyx2.2.某人准备投资某人准备投资1200万元兴办一所完全中学万元兴办一所完全中学. .对教育市场进行调查后，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）他得到了下面的数据表格（以班级为单位） 分别用数学关系式和图形表示上述限制条件分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若根据有关部门的规若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费定，初中每人每年可收学费1600元，高中每人每年可收学费元，高中每人每年可收学费2700元元. .因因生源和环境等条件限制，办学规模以生源和环境等条件限制，办学规模以20至至30个班为宜（含个班为宜（含20个与个与30个）个）那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？学段学段班级学生数班级学生数配备教师数配备教师数硬件建设硬件建设（万元）（万元）教师年薪教师年薪（万元）（万元）初中初中45226班班2人人高中高中40354班班2人人把上面四个不等式合在一起，得到把上面四个不等式合在一起，得到0y0 x042yx30yx20yx2030402030o 另外，开设的班级不能为负，则另外，开设的班级不能为负，则x0，y0. .而由于资金限制，而由于资金限制，26x54y22x23y1200 解设开设初中班解设开设初中班x个，高中班个，高中班y个。因办学规模以个。因办学规模以2030个班为宜，个班为宜，所以，所以， 20 xy30yx2030402030o 由图可以看出，当直线由图可以看出，当直线Z7.2x10.8y经过可行域上的点经过可行域上的点M M时，截时，截距最大，即距最大，即Z Z最大最大. . 设收取的学费总额为设收取的学费总额为Z万元，则目标函数万元，则目标函数Z0.1645x0.2740y7.2x10.8y.Z7.2x10.8y变形为变形为它表示斜率为它表示斜率为 的直线系，的直线系，Z与这条直线的截距有关与这条直线的截距有关. .54532zxy32M 易求得易求得M（20，10），则，则Zmax 7.2x10.8y 252 故开设故开设20个初中班和个初中班和10个高中班，个高中班，收取的学费最多，为收取的学费最多，为252万元万元. .四四、要点归纳与方法小结要点归纳与方法小结 （一）线性规划的两类重要实际问题的解题思路：（一）线性规划的两类重要实际问题的解题思路： 1.应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数数 2.用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解数取得最值的解.(.(一般最优解在直线或直线的交点上，要注意斜率的比一般最优解在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较较） 3.要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解况求得最优解 （二）线性规划问题的求解步骤：（二）线性规划问题的求解步骤：（1 1）审审：审题（将题目中数据列表），将实际问题转化为数学问题；：审题（将题目中数据列表），将实际问题转化为数学问题；（2 2）设设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；（3 3）画画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；（4 4）移移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（5 5）求求：通过解方程组求出最优解；：通过解方程组求出最优解；（6 6）答答：回答实际问题：回答实际问题（三）对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，（三）对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解（四）本节课学习的数学思想：化归思想、数形结合思想（四）本节课学习的数学思想：化归思想、数形结合思想