线性代数完美总结版.docx

精品名师归纳总结线性代数及其应用一、行列式1、余子式 , 代数余子式2、几个定理 定理 2、2,2 、 3,2 、4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结按行绽开 :Aai1 Ai 1ai 2 Ai 2Lain Ain , i1,2, L , n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结按列绽开 : Aa1 j A1 ja2 j A2 jLanj Anj ,j1,2,L , n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 2、 4ai1 Aj1ai 2 Aj 2Lain Ajn0, ij ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1i A1 j3、行列式的性质a2 i A2 jLani Anj0, ij 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1| A | | A T |、2如行列式的某一列 行 可以拆成两列 行 之与 , 就行列式可以拆成两个行列式之与 , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,L ,jj ,L ,n1,L ,j ,L ,n1,L ,j ,L ,n 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 如行列式有两列 行 成比例 , 就行列式等于零、(3) 初等变换性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ari k或ci kBA1 B ;k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ari +l r j或cj +l ciBAB ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ijrrA或cicjBAB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、行列式运算 : 三角化法 性质 ;降阶法 性质 +绽开定理 ;范德蒙德、三对角行列式的结论、AOACAOOBOBDB5、分块矩阵的行列式A B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAmCAOA 1mn A B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BnOBOBD二、矩阵1、矩阵及其运算 加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算(1) 乘法的 结合律可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 方阵的幂的求解二项式定理 - 例3.7矩阵列 行- 例3.8 、例 3.38可对角化例5.9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 转置的性质 : AT TA ABTATBT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kAT ABTkA TBT AT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| A | | AT |;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 方阵的行列式 :| kA |k n |A |;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| AB | | A | B |.(5) 分块运算 转置、乘法 - 例 3、13、3、14 2、初等变换及初等矩阵(1) 左行右列 矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ari kBEm i k AB;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结初等行变换 Ari +l r jBEmij l AB;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ArirjB Emi, j AB;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Aci kC AEn i kC;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结初等列变换 Acj +l ciCAEn ij l C;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Acic jCAE ni, j C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 初等矩阵都就是可逆的, 且初等矩阵的逆仍就是初等矩阵, 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1E i kE i 1 ;1E ijl E ij l ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、可逆矩阵1kE i, jE i , j .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| A 1| A| 1 A 1 1A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 定义、性质 AT 1 A 1 T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 kA 1k 1 A 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AB 1B 1A 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A AAA| A | E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 相伴矩阵| A | | A |n 1r A与r A的关系 书111页38题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 判定: A 可逆| A |0相伴矩阵法 : A 1AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结行(4) 逆矩阵的求法ABE 及运算律命题 3.7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结初等变换法 :A, EE , A 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) 分块矩阵的逆1AOA 1OOAOB 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,OBOB 1BO.A 1O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(6) 矩阵方程的求解: AXC , 其中 A 可逆、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法 1XA法 2 A, C1C 、初等行变换 En, X XA 1C 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、矩阵的秩与矩阵的相抵1矩阵的秩与性质 101 页,105-107页 0r Amin m,n ; 子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 r kA r AT r A ,k0;r A ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AO rr AOBr B ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 r AB r Ar B ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 r Ar Bnr AB r A 或 r B ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 ABO ,就 r A +r Bn ,其中 APm n , BPn s 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 设 ARm n ,就 r AA T r AT A = r A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 求矩阵的秩 理论依据 : 矩阵的初等变换不转变矩阵的秩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A初等变换R 行阶梯形矩阵 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 r Ar RR 的非零行的个数、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 矩阵的相抵 等价 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABr Ar B 可逆P, Q, 使得PAQB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 r PAQ r PA r AQ r A ,其中P,Q 可逆、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ErOErO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 r ArPAQ或 APQ 、OOOO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、线性空间1、向量组的线性相关性的判定 命题 4、2、4、3、4、4、 4、5、定理 4、1、4、2、4、4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 证明方法 -定义-转化为齐次线性方程组的求解秩-矩阵、向量组的秩 定理4.1 , 定理4.4 , 命题4.5-4.6坐标化方法 -定理4.14基本结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 基本结论判定向量组线性相关 命题 4、2, 命题 4、32,定理 4、1 及推论 1, 定理 4、2充要 :1,2,L ,s 线性相关其中至少有一个向量可由其余向量线性表示、某一个部分向量组线性相关充分 :1,2,L ,s 线性相关向量的个数 s大于向量重量的个数1,2 ,L ,s被个数少于 s的向量组线性表示判定向量组线性无关 命题 4、33 ,命题 4、4 的推论 2、等价向量组1 可由 线性表示 , 就 r r 、2 与 等价 , 就 r r 、3、子空间的验证(1) 非空、加法与数量乘法的封闭;(2) 命题 4、1 生成子空间 - 例 4、 9, 例 4、354、向量组的秩及极大无关组 命题 4、6, 定理 4、4 及推论 2 、 线性 子空间的基与维数(1) 写成列向量作初等行变换, 确定向量组的秩与极大无关组、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 对于 WL 1,2,L ,s ,就 dim Wr 1,2,L ,s) , 即生成子空间的维数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与基就就是向量组1 ,2 ,L,s 的秩与极大无关组、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、坐标的概念、基变换公式与坐标变换公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结坐标 :x11x22Lxnn 在基 1,2 ,L,n 下的坐标x1, x2,LT, xn、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结基变换公式 : 1 ,2,L ,n 1,2,L ,n S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结坐标变换公式 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11,2,L ,n 1,1 ,2 ,L ,2 ,L ,n Sn XXSY或YSX可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 ,2 ,L ,nY可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、线性方程组 含参量、不含参量 1、解的情形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) AXr Ar Ar A%, r A%无解n, 唯独解n, 无穷多解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 A 就是方阵 ,就 AXA0,A0唯独解r Ar Ar A%,r A%,无穷多解无解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 齐次线性方程组 AX0 有非零解r An 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 A 就是方阵 ,就齐次线性方程组AX2、解的结构0 有非零解A0 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结齐次 AX0 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 解空间 NA 、 dimN Anr A基础解系所含向量的个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 基础解系不唯独 ,nr A 的线性无关的解均可作为AX0 的一个基础解系、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2结构式 : 通解=基础解系的任意线性组合非齐次 AX:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 非- 非=齐(2) 结构式 : 通解=特解导出组 AX五、线性变换1、线性变换的验证 定义 5、40 的通解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、线性变换在一个基下的矩阵 定义 5、7 、命题 5、81,2 ,L ,n1,2 ,L,n A1,2,L,n XYAX可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,2 ,L ,n Y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、线性变换在不同基下的矩阵之间的关系 相像 定理 5、91,2,L,n 1,2 ,L,n A1,2 ,L,n 1,2 ,L,n BBS 1AS1,2,L,n 1,2,L,n S六、内积空间 Rn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、内积的概念、长度、正交 正交向量组必线性无关 2、施密特正交化3、正交矩阵(1) 定义、性质 ;(2) n 阶实矩阵 A 就是正交矩阵的充要条件就是A 的列 行 向量组就是准正交基、 命题 6、2七、矩阵的相像对角形1、特点值与特点向量的定义、性质R n 的一个标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tr A12Ln;A12 Ln ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2A 与3AT 具有相同的特点值 特点向量未必相同;已知 A 可逆 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵AkAAmf AA 1A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特点值kmf 11 | A |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特点向量XXXXXX1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结W AWf f A ;W AW 1 A 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4属于不同特点值的特点向量线性无关定理 5、3、定理 5、4 及推论 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、相像矩阵的定义、性质 秩、行列式、迹、特点值相等, 但特点向量未必相同 相像的判定 : 如 A 与 B 可对角化 实对称矩阵 , 且 A 与 B 具有相同的特点值, 就 A 与B 相像、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 A 与 B 相像 , 就矩阵多项式3、矩阵的相像对角化f A 与f B 也相像、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 可对角化A 有 n 个线性无关的特点向量数域 P 内有 n 个特点值 , 每一个特点值的几何重数等于代数重数 充分条件 A 有 n 个互不相同的特点值A 可对角化4、实对称矩阵(1) 特点值 : n 阶实对称矩阵有 n 个实特点值、(2) 特点向量 : 实对称矩阵的属于不同特点值的特点向量正交、(3) 实对称矩阵必正交相像于实对角矩阵 几何重数等于代数重数 、(4) 如 A 与 B 均为实对称矩阵, 就 A 与 B 正交相像 相像 A 与 B 具有相同的特点值、 正交相像既相像 , 又合同 八、二次型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、二次型的矩阵及秩 f1 1A 对称 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、矩阵的合同 : 合同必相抵 ;正交相像既相像 , 又合同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结实对称矩阵A, B 合同A, B 的正惯性指数与秩相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、化二次型为标准形 不唯独 - 正交替换法、配方法 满秩线性替换 4、惯性定理 : 实二次型的规范形唯独 正、负惯性指数 , 符号差 5、正定二次型(1) 判定: 定义 ;A 的特点值都大于零 A 的正惯性指数等于 n ;A 与 E 合同 与正定矩阵 A 合同的实对称矩阵 B 正定 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结存在可逆矩阵S , 使得AST S ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 的全部次序主子式都大于零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 必要条件 : iaii0, i1,2,L, n ; ii | A |0可编辑资料 - - - 欢迎下载