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6极限存在准则极限存在准则一、一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系为确定起见为确定起见 , 仅讨论仅讨论的情形的情形.0 xx 定理定理1. Axfxx)(lim0 :nx,0 xxn有定义有定义,),(0nxxnAxfnn)(lim有有)(nxfxnx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定义有定义, )(0nxxn且且设设,)(lim0Axfxx即即,0,0当当,00时xx有有.)( Axf:nx)(,0nnxfxx 有定义有定义 , 且且, )(0nxxn对上述对上述 ,Nn 时时, 有有,00 xxn于是当于是当Nn 时时.)( Axfn故故Axfnn)(lim可用反证法证明可用反证法证明. (略略).)(limAxfnn有有证：证：当当 xyA,N“ ”“ ”0 x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定义有定义, )(0nxxn且且.)(limAxfnn有有说明说明: 此定理常用于判断函数极限不存在此定理常用于判断函数极限不存在 .法法1 找一个数列找一个数列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在不存在 .)(limnnxf使法法2 找两个趋于找两个趋于0 x的不同数列的不同数列nx及及,nx使使)(limnnxf)(limnnxf)(x)(nx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1. 证明证明xx1sinlim0不存在不存在 .证证: 取两个趋于取两个趋于 0 的数列的数列nxn21及及221nxn有有nnx1sinlimnnx1sinlim由由定理定理 1 知知xx1sinlim0不存在不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则)0( Xx)(x)(x)(x( 利用利用定理定理1及数列的及数列的夹逼准则夹逼准则可证可证 )机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理2.,),(0时当xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0且且1sincosxxx圆扇形圆扇形AOB的面积的面积二、二、 两个重要极限两个重要极限 1sinlim. 10 xxx证证: 当当即即 1sin21x2211 x1tan21 x亦即亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，（见时，（见50页）页）)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有显然有AOB 的面积的面积AOD的面积的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有故有注 目录 上页 下页 返回 结束 当20 x时xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注例例2. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3. 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 则则,sintx 因此因此原式原式tttsinlim0 1lim0tttsin1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 nnnRcossinlim2Rn例例4. 求求.cos1lim20 xxx解解: 原式原式 =2220sin2limxxx212121例例5. 已知圆内接正已知圆内接正 n 边形面积为边形面积为证明证明: .lim2RAnn证证: nnAlimnnnnRnAcossin22R说明说明: 计算中注意计算中注意利用利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.exxx)1(lim1证证: 当当 xx, 0时时, 设设, 1nxn则则xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 当当x, ) 1( tx则则,t从而有从而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故故exxx)1 (lim1说明说明: 此极限也可写为此极限也可写为ezzz1)1 (lim0时时, 令令机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则设设,)(lim, 0)(lim xgxf)()(lim)()(1limxfxgxgexf )()(lim)()(1limxfxgxgexf exxx)1 (lim1exxx1)1(lim1 例如例如公式公式)()(limln)(lim)(1limln)(lim)(1ln)(lim)()()()(1)(1limxfxgexgxfxgxfxgxgeeeexfxfxfxf )()(limxfxge 例例6. 求求.)1 (lim1xxx解解: 令令,xt则则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：若利用若利用,)1 (lim)()(1)(exxx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则 原式原式111)1 (limexxxlimx例例7. 求求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sin机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 x2sin1的不同数列的不同数列内容小结内容小结1. 函数极限与数列极限关系的应用函数极限与数列极限关系的应用(1) 利用数列极限判别函数极限不存在利用数列极限判别函数极限不存在 (2) 数列极限存在的夹逼准则数列极限存在的夹逼准则法法1 找一个数列找一个数列:nx,0 xxn)(0nxxn且且使使)(limnnxf法法2 找两个趋于找两个趋于0 xnx及及 ,nx使使)(limnnxf)(limnnxf不存在不存在 .函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 两个重要极限两个重要极限1sinlim)1(0e)11(lim)2(或或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式代表相同的表达式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习填空题填空题 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e 作业作业 P55 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5)第七节第七节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 计算连续复利问题：计算连续复利问题：)1()1(1 rttt周周期期21半年半年525600187601365112141分分小时小时天天月月季季21年年2。252。441412。613042。714572。718132。71816ettt )1(lim157182818284. 2 e若设本金为若设本金为p0,计息期的利率为计息期的利率为r，n是计息期数，则第是计息期数，则第n个计息期后个计息期后的本利和为的本利和为:nrp)1(0 所以原所以原n个计息期后的本利和为个计息期后的本利和为:knkkrpA)1(0 如果结算的次数如果结算的次数k 趋于无穷大，这就是连续复利，趋于无穷大，这就是连续复利，其本利和为其本利和为:rnknkepkrpA00)1(lim 本金本金
