2022年初中因式分解的常用方法—特色专题详解 .pdf

1 / 30初中因式分解的常用方法特色专题详解一、提公因式法 . 如多项式),(cbamcmbmam其中 m叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法 . 运用公式法，即用)(,)(2),)(223322222babababababababababa写出结果三、分组分解法 . （一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式：bnbmanam例 2、分解因式：bxbyayax5102精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 30 页2 / 30对应练习：分解因式1、bcacaba2 2、1yxxy（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：ayaxyx22例 4、分解因式：2222cbaba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 30 页3 / 30对应练习：分解因式3、yyxx3922 4、yzzyx2222综合练习：（ 1）3223yxyyxx（2）baaxbxbxax22（3）181696222aayxyx（4）abbaba4912622（5）92234aaa（6）ybxbyaxa222244精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 30 页4 / 30（7）222yyzxzxyx（8）122222abbbaa（9）)1)(1()2(mmyy（10）)2()(abbcaca（11）abcbaccabcba2)()()(222（12）abccba3333四、十字相乘法 . （一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解。特点：（ 1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例 5、分解因式：652xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 30 页5 / 30例 6、分解因式：672xx对应练习 5、分解因式 (1)24142xx (2)36152aa (3)542xx对应练习 6、分解因式 (1)22xx (2)1522yy (3)24102xx（二）二次项系数不为1 的二次三项式cbxax2条件：（ 1）21aaa1a1c（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解结果：cbxax2=)(2211cxacxa例 7、分解因式：101132xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 30 页6 / 30对应练习 7、分解因式：（ 1）6752xx（2）2732xx（3）317102xx（4）101162yy（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式：221288baba对应练习 8、分解因式 (1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、22672yxyx例 10、2322xyyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 30 页7 / 30对应练习 9、分解因式：（ 1）224715yxyx（2）8622axxa综合练习 10、（1）17836xx（2）22151112yxyx（3）10)(3)(2yxyx（4）344)(2baba（5）222265xyxyx（6）2634422nmnmnm（7）3424422yxyxyx（8）2222)(10)(23)(5bababa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 30 页8 / 30（9）10364422yyxxyx（10）2222)(2)(11)(12yxyxyx思考：分解因式：abcxcbaabcx)(2222五、主元法 . 例 11、分解因式：2910322yxyxyx对应练习 11、分解因式 (1)56422yxyx (2)67222yxyxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 30 页9 / 30 (3)613622yxyxyx (4)36355622bababa六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对FEyDxCyBxyAx22型多项式的分解因式。条件：（ 1）21aaA，21ccC，21ffF（2）Bcaca1221，Efcfc1221，Dfafa1221即：1a1c1f2a2c2fBcaca1221，Efcfc1221，Dfafa1221则FEyDxCyBxyAx22)(222111fcxafycxa例 12、分解因式（ 1）2910322yxyxyx（2）613622yxyxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 30 页10 / 30对应练习 12、分解因式（ 1）67222yxyxyx（2）22227376zyzxzyxyx七、换元法。例 13、分解因式（ 1）2005)12005(200522xx（2）2)6)(3)(2)(1(xxxxx对应练习 13、分解因式（ 1）)(4)(22222yxxyyxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 30 页11 / 30（2）90)384)(23(22xxxx（3）222222)3(4)5()1(aaa例 14、分解因式（ 1）262234xxxx观察：此多项式的特点是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。对应练习 14、（1）673676234xxxx（2）)(2122234xxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 30 页12 / 30八、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（ 1）4323xx对应练习 15、分解因式（ 1）893xx（2）4224)1()1()1(xxx（3）1724xx（4）22412aaxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 30 页13 / 30（5）444)(yxyx（6）444222222222cbacbcaba九、待定系数法。例 16、分解因式613622yxyxyx例 17、（ 1）当m为何值时，多项式6522ymxyx能分解因式，并分解此多项式。（2）如果823bxaxx有两个因式为1x和2x，求ba的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 30 页14 / 30对应练习 17、（1）分解因式2910322yxyxyx（2）分解因式6752322yxyxyx（3）已知：pyxyxyx1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。（4）k为何值时，253222yxkyxyx能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 30 页15 / 30初中阶段因式分解的常用方法（例题再详解）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法 . 如多项式),(cbamcmbmam其中 m叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法 . 运用公式法，即用)(,)(2),)(223322222babababababababababa写出结果三、分组分解法 . （一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式：bnbmanam分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式 =)()(bnbmanam =)()(nmbnma每组之间还有公因式！ =)(banm思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例 2、分解因式：bxbyayax5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 30 页16 / 30解：原式 =)5()102(bxbyayax原式 =)510()2(byaybxax =)5()5(2yxbyxa =)2(5)2(baybax =)2)(5(bayx =)5)(2(yxba练习：分解因式1、bcacaba2 2 、1yxxy（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：ayaxyx22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 =)()(22ayaxyx =)()(yxayxyx =)(ayxyx例 4、分解因式：2222cbaba解：原式 =222)2(cbaba =22)(cba =)(cbacba注意这两个例题的区别！练习：分解因式3、yyxx3922 4 、yzzyx2222综合练习：（ 1）3223yxyyxx（2）baaxbxbxax22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 30 页17 / 30（3）181696222aayxyx（4）abbaba4912622（5）92234aaa（6）ybxbyaxa222244（7）222yyzxzxyx（8）122222abbbaa（9）)1)(1()2(mmyy（10）)2()(abbcaca（11）abcbaccabcba2)()()(222（12）abccba3333四、十字相乘法 . （一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解。特点：（ 1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例 5、分解因式：652xx分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=2 3=(-2) (-3)=1 6=(-1) (-6) ，从中可以发现只有23 的分解适合，即2+3=5 。 1 2 解：652xx=32)32(2xx 1 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 30 页18 / 30 =)3)(2(xx 12+1 3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式：672xx解：原式 =)6)(1()6()1(2xx 1 -1 =)6)(1(xx 1 -6 （-1）+ （-6）= -7 练习 5、分解因式 (1)24142xx (2)36152aa (3)542xx练习 6、分解因式 (1)22xx (2)1522yy (3)24102xx（二）二次项系数不为1 的二次三项式cbxax2条件：（ 1）21aaa1a1c（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解结果：cbxax2=)(2211cxacxa例 7、分解因式：101132xx分析： 1 -2 3 -5 （-6）+ （-5）= -11 解：101132xx=)53)(2(xx练习 7、分解因式：（ 1）6752xx（2）2732xx（3）317102xx（4）101162yy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 30 页19 / 30（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式：221288baba分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：221288baba=)16(8)16(82bbabba =)16)(8(baba练习 8、分解因式 (1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、22672yxyx例 10、2322xyyx 1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式 =)32)(2(yxyx解：原式 =)2)(1(xyxy练习 9、分解因式：（ 1）224715yxyx（2）8622axxa综合练习 10、（1）17836xx（2）22151112yxyx（3）10)(3)(2yxyx（4）344)(2baba（5）222265xyxyx（6）2634422nmnmnm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 30 页20 / 30（7）3424422yxyxyx（8）2222)(10)(23)(5bababa（9）10364422yyxxyx（10）2222)(2)(11)(12yxyxyx思考：分解因式：abcxcbaabcx)(2222五、主元法 . 例 11、分解因式：2910322yxyxyx 5 -2 解法一：以x为主元 2 -1 解：原式 =)2910() 13(22yyyxx (-5)+(-4)= -9 =)12)(25()13(2yyyxx 1 -(5y-2) =)12()25(yxyx 1 (2y-1) =)12)(25(yxyx -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1) 解法二：以y为主元 1 -1 解：原式 =)2()93(1022xxxyy 1 2 =)2()93(1022xxyxy -1+2=1 =)2)(1()93(102xxyxy 2 (x-1) =)2(5)1(2xyxy 5 -(x+2) =)25)(12(xyxy 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9) 练习 11、分解因式 (1)56422yxyx (2)67222yxyxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 30 页21 / 30(3)613622yxyxyx (4)36355622bababa六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对FEyDxCyBxyAx22型多项式的分解因式。条件：（ 1）21aaA，21ccC，21ffF（2）Bcaca1221，Efcfc1221，Dfafa1221即：1a1c1f2a2c2fBcaca1221，Efcfc1221，Dfafa1221则FEyDxCyBxyAx22)(222111fcxafycxa例 12、分解因式（ 1）2910322yxyxyx（2）613622yxyxyx解：（ 1）2910322yxyxyx应用双十字相乘法：xy52xy21xyxyxy352，yyy945，xxx2原式=)12)(25(yxyx（2）613622yxyxyx应用双十字相乘法：xy23xy32xyxyxy23，yyy1394，xxx32精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 30 页22 / 30原式=)23)(32(yxyx练习 12、分解因式（ 1）67222yxyxyx（2）22227376zyzxzyxyx七、换元法。例 13、分解因式（ 1）2005)12005(200522xx（2）2)6)(3)(2)(1(xxxxx解：（ 1）设 2005=a，则原式 =axaax)1(22 =)(1(axax =)2005)(12005(xx（2）型如eabcd的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=222)65)(67(xxxxx设Axx652，则xAxx2672原式=2)2(xAxA=222xAxA =2)(xA=22)66(xx练习 13、分解因式（ 1）)(4)(22222yxxyyxyx（2）90)384)(23(22xxxx（3）222222)3(4)5()1(aaa例 14、分解因式（ 1）262234xxxx观察：此多项式的特点是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 30 页23 / 30方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式 =)1162(222xxxxx=6)1()1(2222xxxxx设txx1，则21222txx原式=6)2222ttx（=10222ttx =2522ttx=215222xxxxx =21522xxxxxx=1225222xxxx =)2)(12()1(2xxx（2）144234xxxx解：原式 =2221414xxxxx=1141222xxxxx设yxx1，则21222yxx原式=3422yyx=312yyx =)31)(11(2xxxxx=13122xxxx练习 14、（ 1）673676234xxxx（2）)(2122234xxxxx八、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（ 1）4323xx解法 1拆项。解法 2添项。原式 =33123xx原式=444323xxxx=)1)(1(3)1)(1(2xxxxx =)44()43(2xxxx =)331)(1(2xxxx =)1(4)4)(1(xxxx =)44)(1(2xxx =)44)(1(2xxx =2)2)(1(xx =2)2)(1(xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 30 页24 / 30（2）3369xxx解：原式 =)1()1()1(369xxx=) 1()1)(1() 1)(1(333363xxxxxx=)111)(1(3363xxxx=)32)(1)(1(362xxxxx练习 15、分解因式（ 1）893xx（2）4224) 1()1() 1(xxx（3）1724xx（4）22412aaxxx（5）444)(yxyx（6）444222222222cbacbcaba九、待定系数法。例 16、分解因式613622yxyxyx分析：原式的前3 项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx，则原多项式必定可分为)2)(3(nyxmyx解：设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx)2)(3(nyxmyx=mnymnxnmyxyx)23()(622613622yxyxyx=mnymnxnmyxyx)23()(622对比左右两边相同项的系数可得613231mnmnnm，解得32nm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 30 页25 / 30原式=)32)(23(yxyx例 17、（ 1）当m为何值时，多项式6522ymxyx能分解因式，并分解此多项式。（2）如果823bxaxx有两个因式为1x和2x，求ba的值。（1）分析：前两项可以分解为)(yxyx，故此多项式分解的形式必为)(byxayx解：设6522ymxyx=)(byxayx则6522ymxyx=abyabxbayx)()(22比较对应的系数可得：65ababmba，解得：132mba或132mba当1m时，原多项式可以分解；当1m时，原式 =)3)(2(yxyx；当1m时，原式 =)3)(2(yxyx（2）分析：823bxaxx是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如cx的一次二项式。解：设823bxaxx=)(2)(1(cxxx则823bxaxx=cxcxcx2)32()3(2382323ccbca，解得4147cba，ba=21 练习 17、（ 1）分解因式2910322yxyxyx（2）分解因式6752322yxyxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 30 页26 / 30（3）已知：pyxyxyx1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。（4）k为何值时，253222yxkyxyx能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 30 页27 / 30补充 ：一定要记住的公式大全：平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式： a22abb2(ab） 2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式) 的平方和的形式，另一项是这两个数( 或式 ) 的积的 2 倍。立方和公式： a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式： a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式： a33a2b3ab2b3=(ab)3 公式： a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca) *十字相乘法初步公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) *（可不记）十字相乘法通用公式：如果有k=ac，n=bd，且有 ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)因式分解方法（重要：因式分解法的结果一定是多个因式相乘）：方法一：分组分解法步骤类型一分组后能直接提取公因式 1.分组后能直接提取公因式 2.提完公因式之后，每组之间应该还可以提公因式（此时，应注意观察）。类型二分组后能直接运用上面的公式方法二：（当用方法一不行时，这时可考虑用十字相乘法）十字相乘法 . （一）二次项系数为1 的二次三项式类型一直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解。类型二 * 十字相乘法通用公式：如果有k=ac，n=bd，且有 ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)总结：不管用什么方法，最后的结果都是由多个因式相乘了，因此，当自己解完题后不是因式相乘了，那么应该反回去再检察题目，看看能不能用其他的方法来解决该题目。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 30 页28 / 30因式分解巩固练习（精选）练习一分组分解法类型一（用两种方法来解）1.bnbmanam 2.bxbyayax51023.ayaxyx22 4.1yxxy练习二分组分解法类型二5.ayaxyx22 6.2222cbaba7.yyxx3922 8. yzzyx2222精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 30 页29 / 30练习三十字相乘法 9.652xx 10.672xx 11.101132xx 12.22672yxyx综合练习1. 2.3.4.5.a2-b2-2b-1 6.(a-b)2-1-2c(a-b)+c2 7.a6-10a3+16 8.3223220155yxyxyx23229123yxyzxyx343232xyx2236)(12)(zzyxyx2233yxyxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 30 页30 / 30答案： 1.)(banm 2.)2)(5(bayx或)5)(2(yxba 3.)(baca4.)1(1yx）（5)(ayxyx6.)(cbacba 7.13)3(yxyx 8.(x+y+z)(x-y-z) 9.)3)(2(xx 10.)6)(1(xx 11.)53)(2(xx综合练习答案1.2. 3.4.(x+y-6z)2 5.(a-b-1)(a+b+1) 6.a-b-c+1)(a-b-c-1) 7.( a3-2)(a-2)(a2+2a+4) 8.)431 (522yxyyx)1423(32xyyx)14)(12)(12(223yyyx)1)(22yxyxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 30 页