2022年线性代数考研复习,第一次课滴课件 .pdf

第二讲 矩阵与运算一、概念1.【矩阵定义 】 由mn个数ija(1,2,;1,2, )im jn排成的m行n列的数表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa称为nm矩阵 . 2. 特殊矩阵：对角阵12ndiag)12(,n. 数量矩阵( 纯量矩阵)aaaEa. 下三 角矩阵11212212nnnnaaaaaa. 上三 角矩阵11211222nnnnaaaaaa. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 31 页3. 矩阵的运算（1）加（减）法：()()m nn nn nijijm nijmnCABabc. 运算律：交换律、结合律成立. （ 2）数乘 ：().m nijm nAa. 运算律：设,为数 , 则)()(AA; AAA)(; BABA)(. （ 3）乘法 ：m ss nijm nCABcskkjiksjisjijiijbabababac12211,), 2 , 1;, 2, 1(njmi. 运算律：ACABCBA)(, BCACCBA)(；（矩阵乘法的左右分配律）()()()ABA BAB( 其中为数 ) ；（即数与矩阵相乘可以移动数的位置）)()(BCACAB； （结合律 ）m nnmm nm nAEE AA, 注意 ：矩阵的 乘法不满足（ 1）交换律 . （2）消去律 . (4) 矩阵的乘方 （对于方阵才谈幂）lklkAAA, ()klklAAk,l为正整数 . 规定0AE. 特别地nEE. ()()nnnnnEAAAE. （纯量矩阵为可交换矩阵）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 31 页注意 ：因为矩阵乘法不满足交换律，一般地kkkABA B，但当A与B可交换时，一定有kkkABA B. （5）转置矩阵TA的性质AATT)(; TTTBABA)(; ()()TTAA; ()TTTABB ATEE，()TEET. （6） 方阵的行列式性质：设A,B为n阶方阵 ,则AAT；nAA；ABA BBA. 12,nA AA均为n阶方阵，则1212nnAAAA AA. 1E. nnAA. （7）对称阵与反对称矩阵：对称矩阵：满足TAA的方阵，即ijjiaa,1,2,i jn. 如1230217237560264A为对称矩阵 . 说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.反对称矩阵 ：满足条件TAA的矩阵，即( ,1,2,)0( ,1,2,)ijjiijaai jn ijai jn ij. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 31 页如0230207237060260A为反对称矩阵 . 对于任意n阶方阵A，则1()2THAA为对称阵；1()2TSAA为反对称矩阵. （8）伴随矩阵： 设()ijn nAa，则行列式A的各个元素的代数余子式ijA所构成的矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA称为矩阵()ijn nAa的伴随矩阵，其中ijA为ija的代数余子式. 结论 ：设abAcd，则dbAca伴随矩阵的重要性质：AAA AA E. （10）结论 ： 设01( )mmxaa xa x，A为 n 阶方阵，则01( )mmAa Ea Aa A为A的m次多项式 . 若11(,)ndiag，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 31 页12()()()()n. 说明 : 对于矩阵A的两个多项式(),()g AfA，总有( )()()( )g Af Af Ag A . 若1APP，则1nnAPP，1()( )f APfP. 若12(,)ndiag，则12(,)kkkkndiag；12()()()()nffff212012(),(),()mnmdiag fffaaaa. （ 11）可逆矩阵：当0A时,A称为非奇异矩阵( 可逆矩阵 ), 当0A时,A称为奇异矩阵 ( 不可逆矩阵 ). 【定理 】A可逆0A，此时11AAA. 性质 ：若EAB或EBA1AB. 若A可逆1A可逆 , 且11()AA. 若A可逆 ,0A可逆 , 且111()AA. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 31 页若BA,为同阶方阵且均可逆AB可逆且111()ABBA. 结论11121121)(AAAAAAnn. 若A可逆TA可逆 ,11()()TTAA. 若A可逆11AA. kkAA)(1,(k为正整数 ,A可逆 ).1EE. 1nAA,()()TTAA,111()()AAAA（A可逆） . （12）矩阵的分块：以子块为元素的矩阵称为分块矩阵. 注意 ：分块时， 横线与纵线要贯穿始终.矩阵的分块不一定惟一. 当子块满足相关的运算条件时，可对分块矩阵作矩阵的相关运算. 注意分块矩阵的同行子块行数相同，同列子块列数相等. 注意：分块矩阵的转置1111TTsTTTrsrAAAAA. 注：哈达玛矩阵2,H HE，哈达玛矩阵一定可逆，且1HH. 分块对角矩阵： 方阵12sAAAA， 其中iAsi,2, 1都是方阵 .重要性质12sAAAA. 设A与B是同结构的分块对角矩阵, 则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 31 页ssssBABABABBBAAAAB22112121. 1122nnnnnssAAAAAAA若iA可逆 ,si,2 , 1,则A可逆 , 且111121sAAAA. 设12nA且0A，则111111nnA. 设,A B为n阶可逆方阵，则11111ACAA CBOBOB,11111AOAOCBB CAB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 31 页1112121222XXEOACXXOEOB11111ACAA CBOBOB. 二、提问1. （1993 年）设12312,均为四维列向量，且1231det(,)m，1223det(,)n求32112det(,). 解32112det(,)32113212det(,)det(,)nm.2. 对于方阵A、B，下列等式22222()2,()()ABAABBABABAB成立吗 ?若不成立 , 请给出成立的条件. 3.()?TABC1()?ABC4.（2011 年）设A是 3 阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第三行和第二行得单位矩阵E，记12100100110 ,001001010PP，则A（）1112122121(); ();(); ()A P PB PPC P PD P P提示：由22111EAP APP P答案 D 5. 已知343 5TStuvABCDC C，则4 ,3 ,5sutv.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 31 页6. 若 abc0 且 a.b.cR,则1000000cba( ) （A）000000111abc(B) 111000000cba(C) 111000000abc(D)000000111acb7. 设,A B C E为同阶方阵，E为单位矩阵且ABCE，则下列结论不正确的是（）（A）BCAE;(B)ACBE； （C）CABE;(D)BACE. 8. 若A是（） ，则A必有TAA（A）对角矩阵； （B ）三角矩阵； （C）可逆矩阵； （D）纯量矩阵 . 9. 设,A B为n阶对称矩阵且B可逆，则下列矩阵中是对称矩阵的是（）（A）11ABBA ; （B）11ABBA; （C）1BAB; （ D）2()AB.10. 设11,A B AB AB均可逆， 则111()AB等于（）（A）11AB;（ B）AB;（C）1()B ABA; （D）1()AB.11. （ 2010.3.4 ）设,A B为 3 阶方阵，且3,2AB，12AB，则1?AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 31 页提示 ：1111()()A AB BEAB BAB11111()ABA AB BA AB B113A AB B. 11.(2005 年) 已知12,是二维列向量，1212(2,)A，12(,)B，6A，求?B解12121211262,3,ccA1213123,32cccBB. 28. 设,A B都是三阶方阵，且2A，3B，则112()()TAB. 答案 ：原式118()8TB AB A12. 12. 若4 413A, 则134AA= . （答案：53）13. 设,A B均为n阶可逆矩阵，0是n阶零矩阵，则1020TAB . (A)4nAB;(B)( 2)nAB;(C)4nA B;(D)( 2)nA B. 答案： (A). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 31 页14.（06.3.4）设矩阵2112A，E为 2 阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B. 答案：1112111112()22221 11 12BAEB. 15. 设为三维列向量，T为的转置，若111111111T，则T答案 ：设123,Ta aa，则211121322123212232331323,Taaa aa aaa aaa aaa aaa aa aa2221233Taaa. 16.（08 14）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵 . 若30A，则（）AEA不可逆，EA不可逆 . BEA不可逆，EA可逆 . CEA可逆，EA可逆 . DEA可逆，EA不可逆 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 31 页分析 ：32()()EEAEA EAA，32()()EEAEA EAA故,EA EA均可逆 . 解答：选C17. 矩阵00ACB的伴随矩阵为C=（）（A）00A AB B; （B）00B BA A; （C）00A BB A; （D）00B AA B.18.（09.3.4）设A、B均为二阶方阵，2,3AB，则分块矩阵00AB的伴随矩阵为（）（A）0320BA（B）0230BA（C）0320AB（D）0230AB提示 ：200( 1) 2 36000AABB可逆 .111000060000AAABBBBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 31 页110026300BBBAAA19.(07.3.4)设矩阵0000100001000010A, 则3A的秩为 _. 【答案】 1 . 依矩阵乘法知00000000000010003A,故3()1R A20.若2AA（幂等矩阵） 且A不是单位矩阵， 则A必为奇异矩阵 . 分析：22(1)001AAAAAAAAAEA为奇异阵 . 推导方法正确吗？证：假设A为非奇异阵，则2121AAAAAAAE此与题设A不是单位矩阵矛盾，假设不成立. 故A必为奇异矩阵 .重要结论：非单位矩阵的幂等矩阵一定不可逆. 21.（05.3.4）设矩阵A=3 3()ija满足*TAA，其中*A是A的伴随矩阵，TA为A的转置矩阵 . 若111213,aaa为三个相等的正数，则11a为 ( ) (A) 33. (B) 3. (C) 31. (D) 3. 答案 A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 31 页【详解 】 由TAA*知3 ,2, 1,jiAaijij，其中ijA为ija的代数余子式，又有*AAA E知032AAAEAAAT或1A而03211131312121111aAaAaAaA，于是1A，从而1133a. 22. 设矩阵3 43 55 4,ABC, 下列矩阵运算的式子中，有意义的是（ C ） .TA BC； B.TABC； C.ABC； D.TBCA. 23. 下列命题一定成立的是（）（A） 若A BA C, 则BC；（B） 若0AB， 则00Aor B；（C）若0A, 则0A； （D）若0A，则0A.24.设,A B均为n阶方阵，下列结论一定成立的是（）（A）222()ABA B; （B）()TTTABA B; （C）ABAB;（D）ABBA. 答案：（D）. 25.设A均为n阶方阵，下列结论一定成立的是（）（A）200AA; （B）20AAAor AE; （C）TAA是对称矩阵 ; （D）TAA是对称矩阵 . 答案：（D）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 31 页三、应用举例例 1 解矩阵方程（1）4810044742378xyuv解 原方程可化为1004484237874xyuv234121230124xyyuvv23132303xyyuvv利用矩阵相等定义得21203333xyuvyv故1121xyuv. （2）解矩阵方程213201741123X. 解因为213210,107411，所以11210132742311X精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 31 页4101121172231335. 例 2（1999 年） 设1010202101An为正整数，求12nnAA. 解221011010202 0202101101AA220AA故1222(2 )0nnnAAAAA. 例 3.(1994).已知1 11 2 3,12 3TTTA， 求nA. 提示 ：3T，232()33TTTTAAAA1111112311 1233213212 3333312nnnnAA. 解 因为24482,2,4224,44848816TT，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 31 页例 4100100kAA设,求. 解0010010010012A222210200. 00100100201222223AAA32323003033由此归纳出200021121kkkkkAkkkkkkk用数学归纳法证明当2k时，显然成立 . 假设nk时成立，则1nk时，001001000211211nnnnnnnnnnnnAAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 31 页,00102111111nnnnnnnnnn所以对于任意的k都有12112000kkkkkkkk kkAk另解：100100100100000AE，且2010001001000000000，3010000001000 (3)000000k利用二项式展开定理1122211()nnnnnnnnnnabaC abC abCabb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 31 页100100100100000kkkAE21220100101001001000000kkkkECCk010001000k1122010001001000000000kkkkkECC121120200kkkkkkk kkkk例 5 设方阵 A=275039001, 求（1）1*102AA， （2）1A解1166AAAAAA可逆且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 31 页（1）1112101210AAAA1314223AA.（2）111116AA AA10061310622571663A例 6 已知方阵107052001A, 计算（ 1）1*32AE， （2）1*123AE；（ 3）(3(2)*)*BAE. 解 (1)1072032290003AEAE2AE可逆，1111323232AEAEAE1313232AEAE2AE107032003精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 31 页.(2) A30720722210001EAE2AE可逆 ，1*111122(2 )33AEAEAE132(2)AEAE1(2 )7AE30710727001. （3）(3(2)*)*BAE1*(32(2) )AEAE31 *3 (2) AE313113 (2)3 (2)AEAE13331(3 )2(3 ) (2)AEAE81(2)AE10781032003. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 31 页例 7 设181223 0 0012 0 0,000 1 000 0 2AAAAA2， 求A解22127 121 0,470 4AA212271200470000100004AA2A121,2AA888812()2256AAAA111223201,122 01AA111122300120000010010002AAA. 例 8 设1111102,2,1113PAPP, 求32()23AAAA. 解【P312111111121021026022111202rrc展开1P存在 , 】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 31 页1 11100( ,)102010111001P E3112013110102010020101rrr r31321100312210201011010022rr r1212111300163611110033311010022rrr132111110033311010022111001636rrrrP可逆，且122213036121P11( )( )AP PAPP，又(1,2, 3)diag32( )23(1)0, (2)10,( 3)0()(0,10,0)diag精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 31 页1505( )()000505APP.例 9（1998. ）设BA,满足*28A BABAE且110020001A，求B. 解 利用*A AAAA E将*28A BABAE两端左乘A得2284BAABAABAAABA，由于110020001A，所以120AA存在 . 方程两端右乘1A得()4AE BE, 而210010 ,40002AEAE，所以AE可逆，且220()040002AE122011()()0404002AEAEAE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 31 页所以12204()040002BAEE. 例 10 （同济5617P）设(1 , 2,1)Adiag，28A BABAE, 求B. 提示 ：(1, 2,1)Adiag2AA可逆且2AAA EE28AA BAABAA4BAABAA4BABE1()44()(2, 4,2)EA BEBEAdiang. 例 11（同济5618P）设(1,1,1,8)Adiag，113ABABAE,求B. 提示 ：(1, 2,1)Adiag2AA可逆且2AAA EE1133ABABAEABBA3A ABA BA A()3A EA BA E(2)6EA BE116(2)6(1,1,1,6)(6,6,6, 1)BEAdiangdiang. 例 12（5620P）设APP，其中111102111P，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 31 页100010005，求82()(56)AAEAA. 提示 ：1221311 11100102010( ,)1020 100 1311011 100101301 1rrrrrrP E332236311110033310201011013110010022006121111001636rrrrr1( ,)E P122213036121P,1APPAP P, ( 1,1,5)diang8910( )56(12,0,0)diang, 821( )(56)( )AAEAAPP11112222111110203034 11161110121111. 例 13 证明11111()()()ABA ABBB ABA. 证明11111()()()()ABA ABBEBA ABB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 31 页111()()BBA ABBB EBE1111()()ABA ABB; 同理可证1111()()ABB ABA. 例 14（1）对称矩阵A、B的乘积仍然为对称矩阵的充要条件为A与B是可交换矩阵； （2）反对称矩阵A、B的乘积仍然为反对称矩阵的充要条件0ABBA. 证明 （1）因为,TTAA BBAB为对称矩阵()TTTABABABB AABBAA与B为可交换矩阵 . （2）因为,TTAA BBAB为反对称矩阵()TTTABABABB AABBA0ABBA.例 15 证明：若 n 阶矩阵 A 满足3230AAE， 则有AE可逆，并求1AE. 解因为321230()()4AAEAEAAEE，所以AE可逆，且121()4AEAAE. 练习 ： （2001 年） 设方阵A满足24AAE，证明AE可逆，并求1AE. 【也可用凑的方法：多项式的分组分解法】例 16 设矩阵,A B都是反对称矩阵，试找出37ABBA也是反精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 31 页对称矩阵的充分必要条件，并证明之.证明 ：由于矩阵,A B都是反对称矩阵得,TTAA BB. 又(43)43TTTTTABBAB AA B4()()3()()43BAABBAAB, 所以43ABBA为反对称矩阵(43)(43)TABBAABBA43(43)0BAABABBAABBA. 练习： 设矩阵,A B都是反对称矩阵，试找出37ABBA是对称矩阵的充分必要条件，并证明之. 提示：37ABBA为对称矩阵(37)37TABBAABBA3737)BAABABBAABBA. 17. （ 1994）设A是n阶非零矩阵，且满足TAA，证明0A. 提示：将TAA代入TA AA EA AA E.假设0A，则00TA AA与题设矛盾，故0A. （此题，还有其他证法吗？）注意 ：A的列矩阵为12()(,)ijm nnAa，则1111212122221212(,)TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnA A由00, ( ,1,2, )TTijA Ai jn，特别地122221212(,)0jjTjjjjnjjjnjnjaaaaaaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 31 页(1,2, )jn.所以0ija( ,1,2, )i jn，故0A. 例 18（同济5624P）设n阶矩阵A的伴随矩阵为A，证明（1）若0A，则0A. （ 2）1nAA. 证 ： （1）若0A, 则0A，从而0A. 若0A，由AAA E且0A0AA，假设0A，则A可逆， 从而由10()00AAAAAA此与0A矛盾，所以0A不成立，即0A. （2）由（ 1）证明知若0A，则0A. 已知结论显然成立. 若0A，则由AAA E1nnAAAAA. 例 19 设 n2,n 阶非零矩阵A=ija的行列式A中的元素ija都是实数，且与其代数余子式ijA相等 . 证明A=1. 证明一方面ijaTijAAATAAA EAAA E20nnTA AAAAA或1A，另一方面由ija2111110nnijjjjjjAAa Aa；11(0)a由A为非零实矩阵A至少有一个非零元，不妨设精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 31 页综上由201nAAAA，.例 20（2002 年） 设n阶方阵A为非零矩阵，若TAA，则A为可逆矩阵 . 证A为非零矩阵，则A至少有一个非零元，不妨设非零元为11a，( ,1,2, )TijijAAAa i jn由行列式展开式的性质知1111121211nnAa Aa Aa A11111212111211112111(,)(,)nnnnAaAaaaaaaaAa1112122200naaaAA为可逆矩阵 . 例 21（1996）设TAE，E为n阶方阵，为n维非零列向量，证明：（1）21TAA； （2）1T时，n nA是不可逆矩阵.证为n维非零列向量0T的数 . 2()()2()TTTTTAEEE(1)TTA2(1)(1)00TTTTTTAAAA是非零列向量的数 ,非零矩阵1T. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 31 页（2）假设n nA是可逆矩阵，由2A=E=0TTAAAE此与T非零矩阵矛盾，故n nA是不可逆矩阵 . 反例210A=00AA，但AE. ?2()00AAA AEAor AE的结论不正确. 再如110011A BAB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 31 页