2022年角平分线的性质教案 .pdf
学习必备欢迎下载第十一章角平分线的性质一 学习目标1.知识与技能：了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；掌握角平分线的性质和判定；综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。2.过程与方法：通过观察，归纳作图，总结出角平分线的性质，提高学生的动手操作能力和实践能力3.情感，态度和价值观：提高学生对数学学习的兴趣，体验数学作图的乐趣。二 重点、难点重点：角平分线的性质和判定。难点：角平分线的性质和判定的综合应用。三 教学工具圆规，直尺，三角板四 教学方法探究归纳法，实践法六 教学过程1. 知识梳理1） 角平分线的定义2）角平分线的尺规作法3） 角平分线的性质4）角平分线的判定2. 新授知识点一作角平分线例 1：如图，已知点C为直线AB上一点，过C作直线CM，使CMAB于C。思路分析：由于AB 是直线，要求作CMAB，实际上就是要作平角ACB的平分线。根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM 。解答过程 ：作法：1、以 C 为圆心，适当的长为半径画弧，与CA 、CB 分别交于点D、E；2、分别以D、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，使两弧交于点M；3、作直线CM 。所以，直线CM 即为所求。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载解题后的思考：此题要求“大于12DE 的长为半径”的理由是：半径如果小于12DE ，则两弧无法相交；而半径如果等于12DE ，则两弧交点位于C 点处，无法作出直线CM 。在数学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。小结：本题属于作图题。在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言，规范地按照步骤作出图形，并且作图的痕迹要保留，不能擦掉。知识点二角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线性质的符号语言：P在AOB的平分线上PDOA于D，PEOB于EPDPE例 2：如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是,E F 。连接EF，交AD于点G。说出AD与EF之间有什么关系？证明你的结论。思路分析：两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断。解答过程 ：EFAD，且EGFG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载证明：AD平分BACDEAB，DFAC，垂足分别是,E FDEDF在Rt DEA和Rt DFA中DEDFADADRt DEARt DFA（HL）ADEADF在DGE 和 DGF 中DEDFGDEGDFDGDGDGEDGF（SAS）EGFG，90DGEDGFEFAD，且EGFG。解题后的思考：通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。这样我们又多了一种证明线段相等的办法。在利用角平分线的性质时， “角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。例 3：如图，D是ABC的外角ACE的平分线上一点，DFAC于F，DEBC于E，且交BC的延长线于E。求证：CECF。思路分析：由已知条件，可以利用角平分线的性质得到DEDF。而要证明CECF，只要证明以它们为边的两个三角形全等即可。将两者结合起来分析就不难找到思路。解答过程 ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载CD 是ACE的平分线，DFAC于F，DEBC于E90DECDFC，DEDF在Rt DEC和Rt DFC中DCDCDEDFRt DECRt DFC（HL ）CECF解题后的思考：利用角平分线的性质可以证明线段相等，而线段相等可能又是证明其他结论所需要的条件。小结：运用角平分线的性质时应注意以下三个问题：（1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质；（3）使用该结论 的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直。知识点三角平分线的判定到角的两边距离相等的点在角的平分线上。角平分线判定的符号语言：PDOA于D，PEOB于E且PDPEP在AOB的平分线上（或写成OP是AOB的平分线）例 4：如图，BECF，DFAC于F，DEAB于E，BF和CE交于点D。求证：AD平分BAC。思路分析：要证AD平分BAC，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两个距离相等即可。而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。解答过程 ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载DFAC于F，DEAB于E90DEBDFC在BDE和CDF中DEBDFCBDECDFBECFBDECDF（AAS）DEDF又DFAC于F，DEAB于EAD平分BAC。解题后的思考：判定角的平分线时若题目中只给出一个条件DEDF或DFAC，DEAB，那么得出AD平分BAC这一结论是错误的。例 5： 如图，,F G 是OA上两点，,M N 是OB上两点，且FGMN，PFGPMNSS， 试问点P是否在AOB的平分线上？思路分析：一方面，要判断点P是否在AOB的平分线上，只要判断点P 到角的两边距离是否相等即可；另一方面，由已知条件中三角形面积和底边相等可以推导出高相等。这样已知和结论就联系起来了。解答过程 ：证明：过点P作PDOA于 D，PEOB于 E 12PFGSFG PD ，12PMNSMNPE ，而PFGPMNSS1122FGPDMNPE又FGMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载PDPE又PDOA于 D，PEOB于 E P在AOB的平分线上。解题后的思考：利用面积证明相关结论是一种常见方法。面积法有着其他方法所不具有的优势，比如它不要求考虑线段的位置关系。小结：角平分线的判定与角平分线的性质是互逆的。判定角的平分线要满足两个条件：“垂直”和“相等” 。若已知“垂直”则设法证明“相等”，若已知“相等”则设法证明“垂直”。知识点四角平分线的综合应用例 6：如图，在ABC中，90C，AD平分BAC，DEAB于E，F在AC上，BDDF。求证：CFEB。思路分析：由已知条件很容易得到DC DE；要证明CF EB，只要证明其所在三角形全等即可，再由此去找全等条件。解答过程 ：AD平分BAC，90C，DEABDCDE在Rt FCD与Rt BED中DCDEDFBDRt FCDRt BED（HL ）CFEB。解题后的思考：掌握角平分线的性质和判定固然重要，但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键。例 7：如图，已知在ABC中，BDDC，12。求证：AD平分BAC。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载思路分析：有两种方法证明AD平分BAC：一是直接利用定义证明BADCAD；二是利用角平分线的判定，证明点 D 到角的两边距离相等。仔细观察，前者需要证明三角形全等，但此题使用全等条件中的“边边角”，无法证明两个三角形全等。后者通过作垂线构造出三角形，其条件足以证明两个三角形全等。解答过程 ：过点 D 作DEAB于 E，DFAC于 F 故，90BEDCFD在BDE与CDF中12BEDCFDBDCDBDECDF（AAS）DEDF又DEAB于 E，DFAC于 F AD平分BAC。解题后的思考：当题目中有角平分线这一条件时，解题时常过角平分线上的点向角的两边作垂线；当有垂线这一条件时，常作辅助线得到角的平分线。小结：用角平分线证明线段相等或角相等时，常常与证明三角形全等配合使用，证明时要先观察需证明的线段或角（或通过等量代换得到的线段或角）在哪两个可能全等的三角形中。提分技巧本节课我们主要学习了角平分线的性质和判定，它们都可以通过三角形全等得出证明；这样，我们又得到了证明线段相等或角相等的一种方法。在解题中若能用它们直接得出线段或角相等时，就不需要再通过证明三角形全等来间接证明，这样可以减少这一条件麻烦。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载在利用角平分线的性质时，可由“角平分线”和“距离”这两个条件得出线段相等，这两个条件缺一不可；同理，在利用角平分线的判定这一条件时，可由“距离”和“线段相等”这两个条件得出角平分线，这两个条件也是缺一不可的。3巩固练习练习 1，2，3. 4. 作业七 板书设计知识点清单角平分线的性质所学知识点对应的习题八 教学反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
