2022年解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的 .pdf
名师总结优秀知识点解三角形知识点总结及典型例题一、知识点复习1、正弦定理及其变形2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）12sin,2sin,2sinaRA bRB cRC（）(边化角公式）2 sin,sin,sin222abcABCRRR（ ）(角化边公式）3:sin:sin:sina b cABC（ ）sinsinsin(4),sinsinsinaA aA bBbBcCcC2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知a，b和A，求B时的解的情况: 如果BAsinsin，则B有唯一解；如果1sinsinBA，则B有两解；如果1sin B，则B有唯一解；如果1sin B，则B无解 . 3、余弦定理及其推论2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角； （2）已知三边 . 5、常用的三角形面积公式（1）高底21ABCS；（2）BcaAbcCabSABCsin21sin21sin21（两边夹一角）. 6、三角形中常用结论（1）,(abc bca acb 即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）；（2）sinsin(ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）. （3）在 ABC中，CBA，所以CBAsin)sin(；CBAcos)cos(；CBAtan)tan(. 2sin2cos,2cos2sinCBACBA. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页名师总结优秀知识点二、典型例题题型 1 边角互化例 1 在ABC中，若7:5:3sin:sin:sinCBA，则角C的度数为【解析】由正弦定理可得7:5:3:cba，, 令cba、依次为753 、，则Ccos=2222abcab=22235723 5=12因为C0，所以C23 例 2 若a、b、c是ABC的三边，222222)()(cxacbxbxf，则函数)(xf的图象与x轴( ) A、有两个交点 B 、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点【解析】由余弦定理得2222cosbcabcA，所以222( )2cosf xb xbcA xc=2222(cos)cosbxcAccA，因为2cos A1, 所以222cosccA0，因此( )f x0 恒成立，所以其图像与x轴没有交点。题型 2 三角形解的个数例 3 在ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( ) A、7a，14b，30A；B、25b，30c，150C；C、4b，5c，30B；D、6a，3b，60B。题型 3 面积问题例 4 ABC的一个内角为0201，并且三边构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为【解析】设 ABC的三边分别：4,4xxx，C=120，由余弦定理得：0222120cos)4(2)4()4(xxxxx，解得：10 x，ABC三边分别为6、10、14，113sin6 1015 3222ABCSabC. 题型 4 判断三角形形状例 5 在ABC中，已知2222() sin()() sin()abABabAB, 判断该三角形的形状。【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。方法一：22sin()sin()sin()sin()aABABbABAB222cossin2cossinaABbBA由正弦定理，即知22sincossinsincossinAABBBAsinsin(sincossincos)0ABAABBsin2sin2AB由22 ,20BA，得22AB或22AB, 即ABC为等腰三角形或直角三角形. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页名师总结优秀知识点方法二： 同上可得222cossin2cossinaABbBA由正、余弦定理，即得：2222222222bcaacba bb abcac22222222()()abcabacb即22222()()0abcabab或222cab, 即ABC为等腰三角形或直角三角形. 【点拨】 判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用例 6 在ABC中，, ,a b c分别为角CBA,.的对边，且sinsinsin()ACpB pR且214acb（1）当5,14pb时，求,a c的值；（2）若角B为锐角，求p的取值范围。【解析】（1）由题设并由正弦定理，得51,44acac，解得，11,4ac或1,14ac（2）由余弦定理，2222cosbacacB=2222211()22coscos22acacacBp bbbB即231cos22pB，因为1cos0B，所以23(,2)2p，由题设知0p，所以226p.三、课堂练习：1、满足45A，6c，2a的ABC的个数为m，则ma为 . 2、已知35,5 ba，30A，解三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页名师总结优秀知识点3、在ABC中，已知4acm，xbcm，60A，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是 ( ) A、4xB、40 xC、3384xD、3384x4、在ABC中，若),(41222cbaS则角C . 5、设R是ABC外接圆的半径，且BbaCARsin)2()sin(sin222，试求ABC面积的最大值。6、在ABC中，D为边BC上一点，33BD，135sin B，53cosADC，求AD.7、在ABC中，已知, ,a b c分别为角CBA,的对边，若coscosaBbA，试确定ABC形状。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页名师总结优秀知识点8、在ABC中，, ,a b c分别为角CBA,的对边，已知cos2cos2cosACcaBb（1）求sinsinCA；（2）若1cos,2,4Bb求ABC的面积。四、课后作业1、在ABC中，若bcacbcba3)(，且CBAcossin2sin，则ABC是A、等边三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形2、ABC中若面积S=)(41222cba则角C3、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔AB，在塔顶A处测得山下水平面上一点C的俯角为，在塔底B处测得点C的俯角为，若铁塔的高为hm，则清源山的高度为m。A、)sin(cossinhB、)sin(sincoshC、)sin(sinsinhD、)sin(coscosh4、ABC的三个内角为ABC、 、，求当A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。5、在ABC中，, ,a b c分别为角ABC、 、的对边，且满足sincoscAaC（1）求角C的大小（2）求3 sincos()4AB的最大值，并求取得最大值时角BA,的大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
