2022年西工大计算方法试题参考 .pdf

2002-2003 第一学期一计算及推导（ 5*8）1已知*3.141,xx，试确定*x近似x的有效数字位数。2有效数*1233.105,0.001,0.100 xxx，试确定*123xxx的相对误差限。3已知3( )0.50.12f xxx，试计算差商0,1,2,3f4给出拟合三点(0,1),(1,0)AB和(1,1)C的直线方程。5推导中矩形求积公式31( )()()( )()224baabf x dxba ffba6试证明插值型求积公式0( )()nbiiaif x dxA f x的代数精确度至少是n 次。7已知非线性方程( )xf x在区间,a b内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代公式。8用三角分解法求解线性方程组123121022331302xxx二给出下列函数值表ix0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ()if x0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 要用二次插值多项式计算(0.63891)f的近似值，试选择合适的插值节点进行计算，并说明所选用节点依据。 （保留 5 位有效数字）（12 分）三 已知方程ln0 xx在(0,1)内有一实根（1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似0(0,1)x迭代法都收敛，并证明其收敛性。（2）00.5x试用构造的迭代公式计算的近似值nx，要求3110nnxx。四 设有方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页112233131232axbaxbaxb当参数 a 满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。（12分）五用欧拉预估校正法求解初值问题2 (00.2)(0)1xyyxyy取 h=0.1，小数点后保留5 位。 （8 分）六证明求解初值问题00( , ) ()yf x yy xy的如下单步法12121(,)11(,)22nnnnnnyyKKhfxyKhfxh yK是二阶方法。（10分）七试证明复化梯形求积公式101( )()2()() 2nbinaihbaf x dxf xf xf xhn对任意多的积分节点数n+1,该公式都是数值稳定的。 （6 分）2003-2004 第一学期一填空（ 3*5）1近似数*0.231x关于真值0.229x有_-位有效数字。2*nx的相对误差为*x的相对误差的 _倍。3设( )f x可微，求( )xf x根的牛顿迭代公式 _。4插值型求积公式0( )()nbiiaif x dxA f x的代数精确度至少是 _次。5拟合三点(1,0),(1,3)AB和(2,2)C的常函数是 _。二已知( )f x有如下的数据精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页ix1 2 3 ()if x2 4 12 ()ifx3 试写出满足插值条件()()iiP xf x以及(2)(2)Pf的插值多项式( )P x，并写出误差的表达形式。三 （1）用复化辛浦森公式计算10 xe dx为了使所得的近似值有6 位有效数字，问需要被积函数在多少个点上的函数值？（2）取 7 个等距节点（包括端点）用复化辛浦森公式计算721lgxxdx，小数点后至少保留 4 位。四曲线3yx与1yx在点（0.7 ，0.3 ）附近有一个交点( ,)x y，试用牛顿迭代公式计算x的近似值nx，要求3110nnxx五 用雅可比方法解方程组123122511112213xxx是否对任意的初始向量(0)x都收敛，为什么？取(0)(0,0,0)Tx，求出解向量的近似向量，要求满足(1)()613max10kkiiixx。六用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题2+1 (0)0yyy的解函数在0.6x处的近似值，要求写出计算格式。（步长0.3h, 小数点后保留5 位有效数字）七设有求解初值问题00( , ) ()yf x yy xy的如下格式11(,)nnnnnyaybychf xy如假设11(),()nnnnyy xyy x问常数, ,a b c为多少时使得该格式为二阶格式？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页2005-2006 第二学期一填空（ 3*5）1. 设 近 似 数*121.2250,0.5168xx都 是 四 舍 五 入 得 到 的 ， 则 相 对 误 差*12()re x x_。2. 矛盾方程组112.83.2xx的最小二乘解为 _。3. 近似数*0.01999x关于真值*0.02000 x有_位有效数字 . 4. 取31.732，迭代过程10.1 3nnyy是否稳定？5. 求积公式31( )2 (2)f x dxf有几次的代数精确度？二 取初值01.6x，用牛顿迭代法求3.1的近似值，要求先论证收敛性。当5110nnxx时停止迭代。三用最小二乘法确定21yabxx中的常数 a 和 b，使该曲线拟合于下面的四个点（ 1，1.01 ） （2，7.04） （3，17.67 ） （4，31.74）（计算结果保留到小数点后4 位）四用乘幂法求矩阵 A的按模最大的特征值1的第 k 次近似值( )1k及相应的特征向量1x，要求取初值0(1,1,1)Tu且( )(1)31110kk这里 A=512101613五考察用高斯赛德尔迭代法解方程组1231231239268888xxxxxxxxx收敛性，并取(0)(1,0,0)Tx，求近似解(1)kx，使得(1)( )310kkiixx（i=1 ，2，3）六已知单调连续函数( )yf x的如下数据1.120.001.802.20()1.100.500.901.70iixf x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页用插值法求方程( )0f x在区间（ 0.00，1.80）内根的近似值。（小数点后至少保留 4 位）七设有积分104dxIx取 5 个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4 位）用复化的 simpson 公式求该积分的近似值，并且由截断误差公式估计误差大小。八给定初值问题0 (0)0 xyyy11.4x写出 Euler 预估校正格式取步长为 0.2 ，计算在 1.4 处的函数的近似值。九设矩阵 A对称正定，考虑迭代格式(1)()(1)( )2kkkkxxxxAb0,0,1,2,3.k对任意的初始向量(0)(1),kxx是否收敛到Axb的解，为什么？2006-2007 第一学期一. 填空1） 近似数253.1*x关于真值249.1x有_位有效数字；2） 设有插值公式)()(111knkkxfAdxxf，则nkkA1=_； （只算系数）3） 设近似数0235.0*1x，5160.2*2x都是有效数，则相对误差)(*2*1xxer_；4） 求方程xxcos的根的牛顿迭代格式为 _；5） 矛盾方程组1211212121xxxxxx与121222212121xxxxxx得最小二乘解是否相同 _。二. 用迭代法（方法不限）求方程1xxe在区间（ 0，1）内根的近似值，要求先论证收敛性，误差小于210时迭代结束。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页三. 用最小二乘法xbeaxy2中的常数a和b，使该函数曲线拟合与下面四个点（1，-0.72 ）(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32) （结果保留到小数点后第四位）四用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组7173530103421101002014321xxxx五设要给出xxfcos的如下函数表用二次插值多项式求)(xf得近似值，问步长不超过多少时，误差小于310。六. 设有微分方程初值问题2)0(2 .00,42yxxyy 1 ）写出欧拉预估校正法的计算格式； 2) 取步长 h=0.1，用欧拉预估校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留4 位小数） 。七. 设有积分101xdxI取 11 个等距节点（包括端点 0 和 1） ，列出被积函数在这些节点上的函数值（小数点侯保留 4 位） ；用复化 Simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小（小数点侯保留 4 位） 。八. 对方程组314122111221321xxx1. 用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛？为什么？ 2. 取初始向量T)0 ,0, 0(x，用雅可比迭代法求近似解)1(kx，使)3 ,2, 1(103)()1(ixxkikiixhx00 xhx0)(ixf)(0hxf)(0 xf)(0hxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页九. 设 f(x) 在区间 a ，b 上有二阶连续导数，且f(a)=f(b)=0，试证明)()(81)(maxmax2xfabxfbxabxa参考答案：1: (1)3 (2) 2 (3) 0.0023 （4）,.2, 1 ,0,sin1cossinsin1cos1kxxxxxxxxxkkkkkkkkk (5) 否2. 方程的等价形式为xex，迭代格式为kxkex1。收敛性证明；当)1 ,0(x时，1100eeex1)( 0eexx所以依据全局性收敛定理，可知迭代格式收敛取迭代初值为5.00 x，迭代结果如下nnx1nnxx0 0.5 1 0.60653 0.01065 2 0.54524 -0.06129 3 0.57970 0.03446 4 0.56006 -0.01964 5 0.57117 0.01111 6 0.56486 -0.00631 3. nx1 1.5 2.0 2.5 2nx1 2.25 4.0 6.25 nxe2.71828 4.48169 7.38906 12.18249 矛盾方程组为32.061.002.072.018249.1225.638906. 70.448169. 425.271828. 21ba对应的正则方程组为538196.6765.34859.2304989.1184989.118125.61ba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页解得0009.1,0019.2ba所以拟和曲线方程为xexy0009.10019.224. 由矩阵 Doolittle分解的紧凑记录形式有71735301034211010020146352010122110100201回代求解得2244x , 2)16(2143xx11103432xxx，1102054321xxxx方程组的解向量为T) 2, 2, 1, 1(x. 5. 令311)3(10)()(! 3)(max11kkkxxxxxxxxxfkk可求得h0.2498 （或h0.2289）6. 2724.1,256.1,62.1, 6. 12)0(21)0(1yyyy7. 0.6932 5103333. 1)(fR8. （1）Jacobi 迭代法的迭代矩阵为022101220JB谱半径10JB. 此时 Jacobi 迭代法对任意初始向量都收敛. （2）102,102,768,314)4()3()2()1(xxxx9. 以bxax10,为插值节点，做Lagrange插值：)()(! 21)()(! 21)()(1bxaxfbxaxfxLxf其中,)(bax。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页故)()(81)()(21)()(! 21)(maxmaxmaxmaxmax2xfabbxaxxfbxaxfxfbxabxabxabxabxa计算方法 2006-2007 第二学期1 填空1）. 近似数0142.0*x关于真值0139.0 x有_为有效数字。2）适当选择求积节点和系数，则求积公式)()(111knkkxfAdxxf的代数精确度最高可以达到 _次. 3）设近似数0235.0*1x，5160.2*2x都是四舍五入得到的，则相对误差)(*2*1xxer的相对误差限 _ 4) 近似值5*xy的相对误差为)(*xer的_ 倍。5） 拟合三点 A(0,1), B(1,3)，C(2,2) 的平行于y轴的直线方程为 _. 2. 用迭代法求方程0222xxexex在（-1 ，0）内的重根的近似值1nx。要求1）说明所用的方法为什么收敛；2）误差小于410时迭代结束。3用最小二乘法确定xbaxyln2中的a和b，使得该函数曲线拟合于下面四个点 (1.0,1.01), (1.5,2.45), (2.0,4.35), (2.5,6.71) (计算结果保留到小数点后 4 位) 4 设函数有二阶连续导数，在一些点上的值如下写出中心差分表示的二阶三点微分公式，并由此计算) 1.1( f。5 已知五阶连续可导函数)(xfy的如下数据ix0 1 )(ixf0 1 ix1.0 1.1 1.2 )(ixf0.01 0.11 0.24 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页)( ixf0 1 )( ixf0 试求满足插值条件的四次多项式).(xp6 设有如下的常微分方程初值问题1)1(4.11 ,yxyxdxdy写出每步用欧拉法预估，用梯形法进行一次校正的计算格式。取步长 0.2 用上述格式求解。7 设有积分dxeIx6. 0021）取 7 个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些点出的值（保留到小数点后 4 位）2）用复化 simpson 公式求该积分的近似值。8 用 LU分解法求解线性代数方程组731395222211212032114321xxxx9 当常数 c 取合适的值时，两条抛物线cxxy2与xy2就在某点相切，试取出试点3. 00 x，用牛顿迭代法求切点横坐标。误差小于410时迭代结束。2007-2008 第一学期1 填空（ 15分）1）设 近似数*19.2270 x，*20.8009x都是四舍五入得到的，则相对误差*12()re x x _ 2）拟合三点 A(3,1), B(1,3)，C(2,2) 的平行于y轴的直线方程为 _. 3) 近似数*0.0351x关于真值0.0349x有 _ 位有效数字 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页4） 插值型求积公式1111( )()nkkkf x dxA f x至少有 _次代数精确度 . 5) Simpson( 辛浦生 ) 求积公式有 _次代数精确度 . 2.（10 分）已知曲线32.89yx与22.40.51yxx在点（1.6,6.9 ）附近相切，试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值1nx， 当5110nnxx误差小于410时停止迭代。3 （10 分）用最小二乘法确定xbaxyln2中的常数a和b，使得该函数曲线拟合于下面四个点 (1 ，2.01), (2，7.3), (3,16.9), (4,30.6) (计算结果保留到小数点后 4 位) 4.(10 分) 用乘幂法求矩阵2321034361A的按模最大的特征值1的第 k 次近似值( )1k及相应的特征向量( )1kx。 要求取初始向量0(1,2,1)Tu， 且()( 1 )110.1kk。5 （10 分）设有方程组1122331312(0)32axbaxbaaxb写出与 Jacobi 迭代法对应的 Gauss-Seidel 方法的迭代格式；Jacobi 方法的迭代矩阵为：当参数 a 满足什么条件时， Jacobi 方法对任意的初始向量都收敛。6 （10 分）已知四阶连续可导函数)(xfy的如下数据：ix1 2 )(ixf0 5 )( ixf1 10 试求满足插值条件()(),()()iiiip xf xp xfx的三次插值多项式( )p x，并写出截断误差( )( )( )R xf xp x的导数型表达式（不必证明） 。7 （15 分）设有积分231xIx e dx1）取 7 个等距节点（包括端点1 和 2） ，列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4 位） ；2）用复化 simpson 公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页8 （10 分）给定初值问题20,(1)1,11.4yyyxx写出欧拉（ Euler ）预估 - 校正的计算格式；取步长0.2h，求(1.4)y的近似值。9 （10 分）用迭代法的思想证明：lim2222k（等号左边有 k 个 2） 。参考答案：1: (1)6.78105, (2) x=2 (3) 2 （4）n-2 (5) 3 2. 切线斜率相等：51.08.432xx，051.08.432xx牛顿迭代格式：8.4651. 08 .4321nnnnnxxxxx取6 .10 x，得70000.1,70000. 1,70002. 1,70625.14321xxxx3. 矛盾方程组：8.304ln169 .163ln93. 72ln401.2bababaa正则方程组：04713.6691.67260921.384081.3484081.34354ba0042.1,9997.1ba4. 取初始向量T)121()0(V，用乘幂法公式进行计算，且取)(1)1(1)(1kkkVV，得0 .111，TVx)20226,27032,13516()4(5.(1) 迭代格式为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页)1(2)1(13)1(3)(3)1(12)1(2)(3)(21)1(12312131kkkkkkkkkxxbaxxxbaxxxbax(2)Jacobi迭代法的迭代矩阵为023201310aaaaaaJB(3) 224232131aaaaaaaJBI谱半径aJ2B. 由1JB得2a此时 Jacobi 迭代法对任意初始向量都收敛. 6. )2, 1()(,)2()1(! 4)()()()(,12)(22)4(3xxxfxpxfxRxxxp720.2174 0048.0)( fR8 （1）Euler 预-校法的计算格式为),(),(2),()0(111)0(1nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxfhyy（2）将xyyxfh2),(,2.0代入，则12)0(1212)0(1)(1.02.0nnnnnnnnnnxyxyyyxyyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页代入1,100yx得22.1)2.1 (2.1101yyy，49798. 1)4. 1(4681. 1202yyy9证明考虑迭代格式, 1 ,0,2, 010kxxxkk，则21x，222x，22222kx（k 个 2）设xx2)(，则当 x0,2 时， (x) (0),(2)=2,2 0,2；由xx221)(，则当 x0,2 时，1221)0()(x所以，由迭代格式kkxxx2, 010产生的序列收敛于方程xx2在0,2内的根设kkxlim，则有2，即22解之得1,2舍去不合题意的负根，有2limkkx，即222222limk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页