2022年初二英才数学平行四边形性质与判定讲义 .pdf

优秀学习资料欢迎下载平行四边形的性质与判定一、平行四边形的性质财主不服气，又想考阿凡提，说过点O 做一直线，交边 AD 于点，交BC 于点 .直线绕点旋转的过程中（点与、不重合），你能知道这里有多少对全等三7 GC F E HD F EO C B A D 一天，财主巴依遇到阿凡提，想考一考聪明的阿凡提，说给你两块地，一块是平行四边形形状的（如下图，AB=10 ，OA=3 ，BC=8 ） ，还有一块是边长是7 的正方形EFGH 土地，让你来选一下，哪一块面积更大？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载正在这时，财主的两个儿子也跑来找阿凡提评理，说父亲偏向，都说对方的地大！聪明的你能帮助解这时，阿凡提又提出，当BD于，分别交AB、CD 于、，若三角形 的 周 长 为m, 则 平 行 四 边 形ABCD 的周长是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载DAEOFCB3124定理 :已知如图，四边形ABCD 为平行四边形，试证明平行四边形的两组对边分别相等、平行四边形的对角线互相平分、平行四边形的对角相等。例 1已知：如图，ABCD 的对角线AC 、 BD相交于点O ， EF过点 O与 AB 、CD分别相交于点E、F求证： OE OF ，AE=CF ，BE=DF 【引申】若例1 中的条件都不变，将EF转动到图b 的位置，那么例1 的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c 和图 d），例 1 的结论是否成立，说明你的理由例 2 已知四边形ABCD 是平行四边形，AB 10cm，AD 8cm ，ACBC ，求 BC、CD 、AC 、OA的长以及ABCD的面积。例 3 如图 2-32 所示在ABCD中， AE BC，CFAD ，DN=BM 求证： EF与 MN互相平分5 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载例 4 如图 2-33 所示RtABC中，BAC=90 ，AD BC于 D， BG平分 ABC ， EFBC且交 AC于 F 求证：AE=CF 例 5 如图 2-34 所示ABCD中， DE AB于 E，BM=MC=DC求证： EMC=3 BEM 课堂练习1在平行四边形中，周长等于48，已知一边长12，求各边的长已知 AB=2BC ，求各边的长已知对角线AC 、 BD交于点 O ，AOD与AOB的周长的差是10，求各边的长。2如图，ABCD 中，AE BD ，EAD=60 ， AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则 OBC的周长是 _ _cm3ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm5，cm7的两条线段，则ABCD 的周长是 _ _cm5判断对错（ 1）在ABCD 中， AC交 BD于 O，则 AO=OB=OC=OD（）（ 2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等。（）（ 3）平行四边形的两组对边分别平行且相等。（）（ 4）平行四边形是轴对称图形。（）6在 ABCD中， AC 6、BD 4，则 AB的范围是 _ _ 7在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD三条边的长度分别为（x+3），（ x-4 ）和 16，则这个四边形的周长是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载B DACA C D B O 8公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB15cm ，AD 12cm，AC BC ，求小路BC ， CD ，OC的长，并算出绿地的面积二、平行四边形的判定定理（一）1、平行四边形的定义？有哪些性质？怎么判断一个四边形是不是平行四边形（用定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。）还有什么判断方法呢？2、反过来，对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？对边相等或对角线互相平分的四边形是平行四边形、利用三角形的全等，以平行四边形的定义为依据进一步证明，可得平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形符号表示：AB=CD， AD=BC四边形 ABCD 是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形符号表示：OA=OC，OB=OD四边形 ABCD 是平行四边形让学生自己证明：两组对角分别相等的四边形是平行四边形例 1 已知：如图ABCD 的对角线AC、BD 交于点 O，E、F 是 AC 上的两点，并且AE=CF求证：四边形BFDE 是平行四边形若将 E、F 移动到 OA、 OC 的延长线上，其余条件不变，结论还成立吗？例2：已知：如图，ABC，BD平分 ABC，DEBC，EFBC。求证： BE=CF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载、巩固练习1如图，在四边形ABCD 中， AC、BD 相交于点O，（1）若 AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=_ _cm， CD=_ _cm 时， 四 边形ABCD 为平行四边形；（2） 若 AC=10cm， BD=8cm， 那么当 AO=_ _cm，DO=_ _cm时，四边形 ABCD 为平行四边形在ABCD 中，DCBA:的值可能是（）A1234 B2233 C2323 D2332 已知：如图，ABCD 中，点 E、F 分别在 CD、AB 上， DF BE， EF 交 BD 于点 O。求证： EO=OF三、平行四边形判定理（二）、取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD 加固，得到的四边形ABCD 是平行四边形吗？、由探究可得判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。例 1 已知：如图，在ABCD 中， E、 F 分别是 AD、BC 的中点，求证：BE=DF例2 已知：如图，ABCD中， E、F分别是 AC上两点，且 BEAC于 E，DF AC于 F求证：四边形BEDF是平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载课堂练习1判断题：(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形（）(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形（）(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形（）(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（）(5)对角线相等的四边形是平行四边形（）(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形（）2在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）（A） ABCD，AD=BC （B） A=B， C=D （C） AB=CD，AD=BC（D）AB=AD，CB=CD3在四边形ABCD 中， (1)ABCD；(2)ADBC；(3)ADBC；(4)AOOC；(5)DO BO；(6)ABCD选择两个条件，能判定四边形 ABCD 是平行四边形的共有_对（共有9对）四、小结结论：1、平行四边形的三条性质平行四边形对边平行且相等。平行四边形对角相等，邻角互补。平行四边形对角线互相平分。2、平行四边形是中心对称图形。3、掌握平行四边形的五个判定方法边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形课后学习检测一、填空题 ：1平行四边形长边是短边的2 倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形各角的度数分别为_2从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线，如果这两条高线夹角为135 ，则这个平行四边形的各内角的度数为_3在 ABCD中， BC2AB，若 E 为 BC 的中点，则AED_4在 ABCD中，如果一边长为8cm，一条对角线为6cm，则另一条对角线x 的取值范围是_5 ABCD中，对角线AC、BD 交于 O，且 ABAC2cm，若 ABC60 ，则 OAB 的周长为 _cm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载6如图 1，在 ABCD中， M 是 BC 的中点，且AM9，BD12，AD10，则 ABCD的面积是 _图 1 图 2 图 3 7 ABCD中，对角线AC、BD 交于点 O，若 BOC120 AD7，BD10，则 ABCD的面积为 _8如图 2，在 ABCD中， AB6，AD9， BAD 的平分线交BC 于点 E，交 DC 的延长线于点F，BGAE，垂足为 G，AF5，24BG，则 CEF 的周长为 _9如图3， BD为 ABCD的对角线，M 、 N 分别在AD 、 AB上，且MN BD ，则SD M C_ SBNC(填“ ” 、“ ” 或“ ”)二、解答题10已知：如图，EFC 中， A 是 EF 边上一点， ABEC，ADFC，若 EAD FABABa，ADb(1)求证： EFC 是等腰三角形；(2)求 ECFC11已知：如图，ABC 中， ABC90 ，BDAC 于 D，AE 平分 BAC，EFDC，交 BC 于 F求证： BEFC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载12已知： 如图， 在ABCD中，E 为 AD 的中点， CE、BA 的延长线交于点F若 BC2CD，求证： F BCF13如图，已知：在 ABCD中， A60 ，E、F 分别是 AB、CD 的中点，且AB2AD求证： BFBD33拓展、探究、思考14如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(2， 1)，且 P( 1， 2)是双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴， QB 垂直于 y 轴，垂足分别是A、B(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；(2)当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q，使得 OBQ 与 OAP 面积相等 ?如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)如图，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值图图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载老师讲义一、平行四边形的性质财主不服气，又想考阿凡提，说过点O 做一直线，交边 AD 于点，交BC 于点 .直线绕点旋转的过程中（点与、不重合），你能知道这里有多少对全等三7 GC F E HD F EO C B A D 一天，财主巴依遇到阿凡提，想考一考聪明的阿凡提，说给你两块地，一块是平行四边形形状的（如下图，AB=10 ，OA=3 ，BC=8 ） ，还有一块是边长是7 的正方形EFGH 土地，让你来选一下，哪一块面积更大？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载正在这时，财主的两个儿子也跑来找阿凡提评理，说父亲偏向，都说对方的地大！聪明的你能帮助解这时，阿凡提又提出，当BD于，分别交AB、CD 于、，若三角形 的 周 长 为m, 则 平 行 四 边 形ABCD 的周长是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载DAEOFCB3124定理 :已知如图，四边形ABCD 为平行四边形，试证明平行四边形的两组对边分别相等、平行四边形的对角线互相平分、平行四边形的对角相等。例 1已知：如图，ABCD 的对角线AC 、 BD相交于点O ， EF过点 O与 AB 、CD分别相交于点E、F求证： OE OF ，AE=CF ，BE=DF 证明：在ABCD 中，AB CD ，1 2 3 4又 OA OC(平行四边形的对角线互相平分) ，AOE COF （ASA ）OE OF ， AE=CF （全等三角形对应边相等）ABCD ， AB=CD （平行四边形对边相等） ABAE=CD CF 即 BE=FD【引申】若例1 中的条件都不变，将EF转动到图b 的位置，那么例1 的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c 和图 d），例 1 的结论是否成立，说明你的理由解略。例 2 已知四边形ABCD 是平行四边形，AB 10cm，AD 8cm ，ACBC ，求 BC、CD 、AC 、OA的长以及ABCD的面积。分析： 由平行四边形的对边相等，可得BC 、CD的长，在 RtABC中，由勾股定理可得 AC的长再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积。（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了。）3. 平行四边形的面积计算。5 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载例 3 如图 2-32 所示在ABCD中， AE BC，CFAD ，DN=BM 求证： EF与 MN互相平分分析只要证明 ENFM 是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手证 因为 ABCD 是平行四边形，所以ADBC ，ABCD ， B=D又 AE BC ，CFAD ，所以 AECF 是矩形，从而AE=CF 所以RtABE RtCDF(HL ，或 AAS)， BE=DF 又由已知BM=DN ，所以BEM DFN(SAS)，ME=NF 又因为 AF=CE ，AM=CN ， MAF= NCE ，所以MAF NCE(SAS) ，所以 MF=NF 由，四边形ENFM 是平行四边形，从而对角线EF与 MN互相平分例 4 如图 2-33 所示RtABC中，BAC=90 ，AD BC于 D， BG平分 ABC ， EFBC且交 AC于 F 求证：AE=CF 分析 AE 与 CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系若作 GH BC于 H，由于 BG是 ABC的平分线，故AG=GH ，易知 ABG HBG 又连接EH ，可证 ABE HBE ，从而 AE=HE 这样，将AE “转移”到EH位置设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解证 作 GH BC于 H，连接 EH 因为 BG是 ABH的平分线， GA BA ，所以 GA=GH ，从而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载ABG HBG(AAS) ，所以 AB=HB 在 ABE及 HBE中，ABE= CBE ，BE=BE ，所以ABE HBE(SAS) ，所以 AE=EH ， BEA= BEH 下面证明四边形EHCF是平行四边形因为 AD GH ，所以AEG= BGH( 内错角相等 ) 又 AEG= GEH(因为 BEA= BEH ，等角的补角相等) ， AGB= BGH( 全等三角形对应角相等)，所以AGB= GEH 从而EH AC(内错角相等，两直线平行) 由已知 EFHC ，所以 EHCF 是平行四边形，所以FC=EH=AE 说明本题添加辅助线GH BC的想法是由BG为 ABC的平分线的信息萌生的( 角平分线上的点到角的两边距离相等 ) ，从而构造出全等三角形ABG与 HBG 继而发现 ABE HBE ，完成了AE的位置到HE位置的过渡这样，证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们探索新的问题是十分有益的例 5 如图 2-34 所示ABCD中， DE AB于 E，BM=MC=DC求证： EMC=3 BEM 分析由于 EMC 是 BEM的外角，因此EMC= B+BEM 从而，应该有B=2BEM ，这个论断在BEM 内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以解决利用平行四边形及M为 BC中点的条件，延长EM与 DC延长线交于F，这样 B= MCF及 BEM= F，因此，只要证明 MCF=2 F 即可不难发现， EDF为直角三角形( EDF=90 ) 及 M为斜边中点，我们的证明可从这里展开精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载证 延长 EM交 DC的延长线于F，连接 DM 由于 CM=BM ， F=BEM ， MCF= B，所以MCF MBE(AAS) ，所以 M是 EF的中点由于AB CD及 DE AB ，所以， DE FD，三角形 DEF是直角三角形，DM 为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知F=MDC ，又由已知 MC=CD ，所以MDC= CMD ，则 MCF= MDC+ CMD=2 F从而EMC= F+MCF=3 F=3BEM 课堂练习1在平行四边形中，周长等于48，已知一边长12，求各边的长已知 AB=2BC ，求各边的长已知对角线AC 、 BD交于点 O ，AOD与AOB的周长的差是10，求各边的长。2如图，ABCD 中，AE BD ，EAD=60 ， AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则 OBC的周长是 _ _cm3ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm5，cm7的两条线段，则ABCD 的周长是 _ _cm4判断对错（ 1）在ABCD 中， AC交 BD于 O，则 AO=OB=OC=OD（）（ 2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等。（）（ 3）平行四边形的两组对边分别平行且相等。（）（ 4）平行四边形是轴对称图形。（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载B DACA C D B O 5在 ABCD中， AC 6、BD 4，则 AB的范围是 _ _ 6在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD三条边的长度分别为（x+3），（ x-4 ）和 16，则这个四边形的周长是7公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB15cm ，AD 12cm，AC BC ，求小路BC ， CD ，OC的长，并算出绿地的面积二、平行四边形的判定定理（一）1、平行四边形的定义？有哪些性质？怎么判断一个四边形是不是平行四边形（用定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。）还有什么判断方法呢？2、反过来，对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？对边相等或对角线互相平分的四边形是平行四边形、利用三角形的全等，以平行四边形的定义为依据进一步证明，可得平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形符号表示：AB=CD， AD=BC四边形 ABCD 是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形符号表示：OA=OC，OB=OD四边形 ABCD 是平行四边形让学生自己证明：两组对角分别相等的四边形是平行四边形例 1 已知：如图ABCD 的对角线AC、BD 交于点 O，E、F 是 AC 上的两点，并且AE=CF求证：四边形BFDE 是平行四边形若将 E、F 移动到 OA、 OC 的延长线上，其余条件不变，结论还成立吗？例2：已知：如图，ABC，BD平分 ABC，DEBC，EFBC。求证： BE=CF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载、巩固练习1如图，在四边形ABCD 中， AC、BD 相交于点O，（1）若 AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=_ _cm， CD=_ _cm 时， 四 边形ABCD 为平行四边形；（2） 若 AC=10cm， BD=8cm， 那么当 AO=_ _cm，DO=_ _cm时，四边形 ABCD 为平行四边形在ABCD 中，DCBA:的值可能是（）A1234 B2233 C2323 D2332 已知：如图，ABCD 中，点 E、F 分别在 CD、AB 上， DF BE， EF 交 BD于点 O。求证： EO=OF三、平行四边形判定理（二）、取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD 加固，得到的四边形ABCD 是平行四边形吗？、由探究可得判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。例 1 已知：如图，在ABCD 中， E、 F 分别是 AD、BC 的中点，求证：BE=DF证明：四边形 ABCD是平行四边形，AD CB，AD=CDE、F分别是 AD、 BC的中点，DE BF，且 DE=21AD，BF=21BCDE=BF四边形 BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）BE=DF 例2 已知：如图，ABCD中， E、F分别是 AC上两点，且 BEAC于 E，DF AC于 F求证：四边形BEDF是平行四边形证明：四边形 ABCD是平行四边形，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载AB=CD，且 ABCDBAE=DCF BE AC于E，DF AC于F，BE DF，且 BEA=DFC =90ABE CDF（AAS）BE=DF 四边形 BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）、随堂练习1判断题：(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形（）(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形（）(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形（）(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（）(5)对角线相等的四边形是平行四边形（）(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形（）2在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）（A） ABCD，AD=BC （B） A=B， C=D （C） AB=CD，AD=BC（D）AB=AD，CB=CD3在四边形ABCD 中， (1)ABCD；(2)ADBC；(3)ADBC；(4)AOOC；(5)DO BO；(6)ABCD选择两个条件，能判定四边形 ABCD 是平行四边形的共有_对（共有9对）四、小结结论：1、平行四边形的三条性质平行四边形对边平行且相等。平行四边形对角相等，邻角互补。平行四边形对角线互相平分。2、平行四边形是中心对称图形。3、掌握平行四边形的五个判定方法边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形例 4 如图 2-35 所示矩形ABCD中， CE BD于 E，AF平分 BAD交 EC延长线于F求证： CA=CF 分析只要证明 CAF是等腰三角形，即CAF= CFA即可 由于 CAF=45 -CAD ，所以， 在添加辅助线时，应设法产生一个与CAD相等的角a，使得 CFA=45 -a为此，延长DC交 AF于 H，并设 AF与 BC交于 G，我们不难证明 FCH= CAD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载证 延长 DC交 AF于 H，显然 FCH= DCE 又在 RtBCD中，由于CE BD ，故 DCE= DBC 因为矩形对角线相等，所以DCB CDA ，从而 DBC= CAD ，因此，FCH= CAD 又 AG平分 BAD=90 ，所以 ABG是等腰直角三角形，从而易证HCG 也是等腰直角三角形，所以CHG=45 由于 CHG 是 CHF的外角，所以 CHG= CFH+ FCH=45 ，所以CFH=45 -FCH 由，CFH=45 -CAD= CAF ，于是在三角形CAF中，有CA=CF 例 5 设正方形ABCD 的边 CD的中点为E ，F 是 CE的中点 (图 2-36) 求证：分析作BAF的平分线，将角分为1 与 2 相等的两部分，设法证明DAE= 1 或 2证 如图作 BAF的平分线AH交 DC的延长线于H，则 1=2=3，所以FA=FH 设正方形边长为a，在 RtADF中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载从而所以 Rt ABG RtHCG(AAS) ，从而RtABG RtADE(SAS)，例 6 如图 2-37 所示正方形ABCD 中，在 AD的延长线上取点E ，F，使 DE=AD ，DF=BD ，连接 BF分别交 CD ，CE于 H，G求证： GHD 是等腰三角形分析准确地画图可启示我们证明GDH= GHD 证 因为 DEBC ，所以四边形BCED为平行四边形，所以1= 4又 BD=FD ，所以所以 BC=GC=CD 因此， DCG 为等腰三角形，且顶角DCG=45 ，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载又所以HDG= GHD ，从而 GH=GD ，即 GHD 是等腰三角形课后学习检测一、填空题 ：1平行四边形长边是短边的2 倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形各角的度数分别为_2从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线，如果这两条高线夹角为135 ，则这个平行四边形的各内角的度数为_3在 ABCD中， BC2AB，若 E 为 BC 的中点，则AED_4在 ABCD中，如果一边长为8cm，一条对角线为6cm，则另一条对角线x 的取值范围是_5 ABCD中，对角线AC、BD 交于 O，且 ABAC2cm，若 ABC60 ，则 OAB 的周长为 _cm6如图 1，在 ABCD中， M 是 BC 的中点，且AM9，BD12，AD10，则 ABCD的面积是 _图 1 图 2 图 3 7 ABCD中，对角线AC、BD 交于点 O，若 BOC120 AD7，BD10，则 ABCD的面积为 _8如图 2，在 ABCD中， AB6，AD9， BAD 的平分线交BC 于点 E，交 DC 的延长线于点F，BGAE，垂足为 G，AF5，24BG，则 CEF 的周长为 _9如图3， BD为 ABCD的对角线，M 、 N 分别在AD 、 AB上，且MN BD ，则SD M C_ SBNC(填“ ” 、“ ” 或“ ”)二、解答题10已知：如图，EFC 中， A 是 EF 边上一点， ABEC，ADFC，若 EAD FABABa，ADb(1)求证： EFC 是等腰三角形；(2)求 ECFC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载11已知：如图，ABC 中， ABC90 ，BDAC 于 D，AE 平分 BAC，EFDC，交 BC 于 F求证： BEFC12已知： 如图， 在ABCD中，E 为 AD 的中点， CE、BA 的延长线交于点F若 BC2CD，求证： F BCF13如图，已知：在 ABCD中， A60 ，E、F 分别是 AB、CD 的中点，且AB2AD求证： BFBD33精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载拓展、探究、思考14如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(2， 1)，且 P( 1， 2)是双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴， QB 垂直于 y 轴，垂足分别是A、B(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；(2)当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q，使得 OBQ 与 OAP 面积相等 ?如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)如图，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值图图课后学习检测参考答案160 ，120 ，60 ，120 245 ，135 ，45 ， 135 390 410cmx22cm5672提示：作 DE AM 交 BC 延长线于 E，作 DFBE 于 F，可得 BDE是直角三角形，7315提示：作CEBD 于 E，设 OEx，则 BE2CE2BC2，得 (x5)227)3(x 解 出23x S2SBCDBD CE.315879提示：连结BM，DN10(1)提示：先证E F；(2)ECFC2a2b.33536DF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载11提示：过E 点作 EMBC，交 DC 于 M，证 AEB AEM12提示：先证DCAF13提示：连接DE，先证 ADE 是等边三角形，进而证明ADB90 ， ABD 30 14(1)设正比例函数解析式为ykx，将点 M(2， 1)坐标代入得21k，所以正比例函数解析式为xy21，同样可得，反比例函数解析式为xy2；( 2 ) 当 点Q在 直 线M O上 运 动 时 ， 设 点Q的 坐 标 为)21,(mmQ， 于 是SO B Q21OB BQ2121m m41m2而 SOAP21(1)(2) 1，所以有，1412m，解得 m 2 所以点 Q 的坐标为Q1(2，1)和 Q2(2， 1)；(3)因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OPCQ，OQPC，而点 P(1， 2)是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值因为点 Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标 Q(n，n2)，由勾股定理可得OQ2n224n(nn2)24，所以当 (nn2)20 即 nn20 时， OQ2有最小值4，又因为 OQ 为正值，所以OQ 与 OQ2同时取得最小值，所以 OQ 有最小值 2 由勾股定理得OP5， 所以平行四边形OPCQ 周长的最小值是2(OPOQ) 2(5 2) 254精选学习资料 - 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