2022年初中数学三角函数难题 .pdf

学习必备欢迎下载1 已知等边 ABC内接于 O， 点 D是O上任意一点，则 sinADB的值为 （）A1 BC D2在 RtABC中，C=90 ，BD是ABC的角平分线，将 BCD沿着直线 BD折叠，点 C落在点 C1处，如果 AB=5，AC=4 ，那么 sinADC1的值是3观察下列等式sin30 =cos60=sin45 =cos45 =sin60 =cos30 =根据上述规律，计算sin2a+sin2（90 a）=4有四个命题：若 45 a90 ，则 sinacosa；已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；已知 x1，x2是关于 x 的方程 2x2+px+p+1=0 的两根，则 x1+x2+x1x2的值是负数；某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过 2 小时它由 1 个分裂为16 个其中正确命题的序号是（注：把所有正确命题的序号都填上） 5如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过 y 轴上点 C 反射后经过点 B（1，0） ，则光线从点 A 到点 B经过的路径长为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载6在 RtABC中， C=90 ，BC：AC=3 ：4，则 cosA=7如果 是锐角，且 sin2十 cos235 =1，那么 =度8因为 cos30=，cos210=，所以 cos210=cos（180 +30 ）=cos30=；因为 cos45 =， cos225 =， 所以 cos225 =cos （180 +45 ） =cos45 =；猜想：一般地，当a 为锐角时，有cos（180 +a）=cosa，由此可知 cos240 的值等于9在 ABC中，已知 sinA= ，cosB=，则 C=10在 ABC中， （tanC1）2+|2cosB | =0，则 A=11 若 、 均为锐角，则以下有 4个命题： 若 sin sin ， 则 ； 若 +=90，则 sin =cos；存在一个角 ，使 sin =1.02；tan=其中正确命题的序号是 （多填或错填得 0 分，少填的酌情给分）12附加题：如图，在RtABC中，BC 、AC、AB 三边的长分别为a、b、c，则sinA= ，cosA= ，tanA=我们不难发现： sin260 +cos260 =1， 试探求 sinA、cosA、tanA 之间存在的一般关系，并说明理由13对于钝角 ，定义它的三角函数值如下：sin =sin（180 ） ，cos= cos（180 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载（1）求 sin120 ，cos120 ，sin150 的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B 是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程 4x2mx1=0的两个不相等的实数根， 求 m 的值及 A 和B的大小14如图，在梯形ABCD 中，ADBC，AD=3，DC=5 ，AB=4，B=45 动点M 从 B点出发沿线段 BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动；动点 N 同时从 C点出发沿线段 CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为 t 秒（1）求 BC的长；（2）当 MNAB时，求 t 的值；（3）试探究： t 为何值时， MNC为等腰三角形15如图，从热气球 C上测得两建筑物 A、B底部的俯角分别为30 和 60 度如果这时气球的高度CD 为 90 米且点 A、D、B 在同一直线上，求建筑物A、B间的距离16钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B 船在 A 船的正东方向，且两船保持 20 海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A 的东北方向， B的北偏东15 方向有一我国渔政执法船C，求此时船 C与船 B的距离是多少（结果保留根号精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载1 已知等边 ABC内接于 O， 点 D是O上任意一点，则 sinADB的值为 （）A1 BC D【解答】 解： ABC是等边三角形， ACB=60 ADB与ACB是同弧所对的圆周角，ADB=60 sinADB=sin60 =故选 C2 （2013?崇明县一模）在RtABC中， C=90 ，BD 是ABC的角平分线，将BCD沿着直线 BD折叠，点 C落在点 C1处，如果 AB=5，AC=4 ，那么 sinADC1的值是【解答】 解： C=90 ，BD是ABC的角平分线，将 BCD沿着直线 BD折叠，C1点恰好在斜边 AB上，DC1A=90 ，ADC1=ABC ，AB=5 ，AC=4 ，sinADC1=故答案为：3 （2012?衡阳）观察下列等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载sin30 =cos60=sin45 =cos45 =sin60 =cos30 =根据上述规律，计算sin2a+sin2（90 a）=1【解答】 解：由题意得， sin230 +sin2（90 30 ）=1；sin245 +sin2（90 45 ）=1；sin260 +sin2（90 60 ）=1；故可得 sin2a+sin2（90 a）=1故答案为： 14 （2010?防城港）有四个命题：若 45 a90 ，则 sinacosa；已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；已知 x1，x2是关于 x 的方程 2x2+px+p+1=0 的两根，则 x1+x2+x1x2的值是负数；某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过 2 小时它由 1 个分裂为16 个其中正确命题的序号是（注：把所有正确命题的序号都填上） 【解答】解：因为 sin45 =cos45 =，再结合锐角三角函数的变化规律，故此选项正确；不一定能够判定两个三角形全等，故此选项错误；根据根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=x1+x2+x1x2=，是正数故此选项错误；根据题意，得 2 小时它由 1 个分裂 24个，即 16 个，故此选项正确故正确的有5 （2011?莆田）如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过 y 轴上点 C反射后精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载经过点 B（1，0） ，则光线从点 A 到点 B经过的路径长为5【解答】 解：如图所示，延长 AC交 x 轴于 B 则点 B、B 关于 y 轴对称， CB=CB 作 ADx 轴于 D 点则 AD=3，DB =3 +1=4AB =AC+CB =AC+CB=5 即光线从点 A 到点 B经过的路径长为 56 （2007?眉山）在 RtABC中， C=90 ，BC ：AC=3 ：4，则 cosA=【解答】 解： RtABC中， C=90 ，BC ：AC=3 ：4，设 BC=3x ，则 AC=4x ，AB=5x，cosA=7 （2002?西城区）如果 是锐角，且 sin2十 cos235 =1，那么 =35度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载【解答】 解： sin2十 cos235 =1，=358 （2010?湛江）因为 cos30=，cos210=，所以 cos210=cos （180 +30 ）=cos30=；因为 cos45 =， cos225 =， 所以 cos225 =cos （180 +45 ） =cos45 =；猜想：一般地，当a 为锐角时，有cos（180 +a）=cosa，由此可知 cos240 的值等于【解答】 解：当 a 为锐角时，有 cos（180 +a）=cosa，cos240 =cos（180 +60 ）=cos60=9 （2013?邵阳模拟）在 ABC中，已知 sinA= ，cosB=，则 C=105 【解答】 解： sinA= ，cosB=，A=30 ，B=45 ，C=180 30 45 =105 故答案为： 105 10（2012?海南模拟）在ABC中，（tanC1）2+|2cosB | =0， 则A=105 【解答】 解：（ tanC1）2+|2cosB | =0，tanC1=0，2cosB=0 ，即 tanC=1，cosB=，又B、C在同一个三角形中，B=30 ，C=45 ，A=180 30 45 =105 故答案是 105 11 （2011?九江模拟）若 、均为锐角，则以下有 4 个命题：若 sin sin ，则 ；若 +=90，则 sin =cos；存在一个角 ，使 sin =1.02；tan=其中正确命题的序号是 （多填或错填得 0 分，少填的酌情给分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载【解答】 解： sin sin ，则 ；故此选项正确；若 +=90，则 sin =cos（90 ）=cos ，故此选项正确；存在一个角 ，sin =，sin 1，sin =1.02，故此选项错误；tan=根据对应边之间关系得出，故此选项正确故答案为：12 （2008?庆阳）附加题：如图，在RtABC中，BC 、AC 、AB三边的长分别为a、b、c，则 sinA= ，cosA= ，tanA=我们不难发现： sin260 +cos260 =1，试探求 sinA、cosA、tanA 之间存在的一般关系，并说明理由【解答】 解：存在的一般关系有：（1）sin2A+cos2A=1；（2）tanA=证明： （1）sinA= ，cosA= ，a2+b2=c2，sin2A+cos2A=1（2）sinA= ，cosA= ，tanA= =，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载=13 （2013?大庆）对于钝角 ，定义它的三角函数值如下：sin =sin（180 ） ，cos= cos（180 ）（1）求 sin120 ，cos120 ，sin150 的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B 是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程 4x2mx1=0的两个不相等的实数根， 求 m 的值及 A 和B的大小【解答】 解： （1）由题意得，sin120 =sin（180 120 ）=sin60 =，cos120=cos（180 120 ）=cos60=，sin150 =sin（180 150 ）=sin30 =；（2）三角形的三个内角的比是1：1：4，三个内角分别为30 ，30 ，120 ，当 A=30 ，B=120 时，方程的两根为，将代入方程得： 4（）2m1=0，解得： m=0，经检验是方程 4x21=0的根，m=0符合题意；当 A=120 ，B=30 时，两根为，不符合题意；当 A=30 ，B=30 时，两根为，将代入方程得： 4（）2m1=0，解得： m=0，经检验不是方程 4x21=0的根综上所述： m=0，A=30 ，B=120 14 （2010?密云县）如图，在梯形ABCD中，ADBC ，AD=3，DC=5 ，AB=4，B=45 动点 M 从 B点出发沿线段 BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载动；动点 N 同时从 C点出发沿线段 CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D 运动设运动的时间为t 秒（1）求 BC的长；（2）当 MNAB时，求 t 的值；（3）试探究： t 为何值时， MNC为等腰三角形【解答】 解： （1）如图，过 A、D分别作 AKBC于 K，DHBC于 H，则四边形 ADHK是矩形KH=AD=3 在 RtABK中，AK=AB?sin45 =4 ?=4，BK=AB?cos45 =4=4在 RtCDH中，由勾股定理得， HC=3BC=BK +KH +HC=4 +3+3=10（2）如图，过 D 作 DGAB交 BC于 G点，则四边形 ADGB是平行四边形MNAB，MNDGBG=AD=3 GC=10 3=7由题意知，当 M、N 运动到 t 秒时， CN=t，CM=102tDG MN，NMC=DGC 又 C=C，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载MNCGDC ，即解得，（3）分三种情况讨论：当 NC=MC时，如图，即 t=102t，当 MN=NC时，如图，过 N 作 NEMC 于 E解法一：由等腰三角形三线合一性质得：EC= MC= （102t）=5t在 RtCEN中，cosC=，又在 RtDHC中，cosC=，解得 t=解法二：C= C，DHC= NEC=90 ，NEC DHC ，即t=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载当 MN=MC 时，如图，过 M 作 MFCN于 F点FC= NC= t解法一： （方法同中解法一），解得解法二：C= C，MFC= DHC=90 ，MFC DHC ，即，综上所述，当 t=、t=或 t=时， MNC为等腰三角形15 （2015?甘南州）如图，从热气球C上测得两建筑物 A、B 底部的俯角分别为30 和 60 度如果这时气球的高度CD为 90 米且点 A、D、B 在同一直线上，求建筑物 A、B 间的距离【解答】 解：由已知，得 ECA=30 ，FCB=60 ，CD=90 ，EF AB，CD AB于点 DA=ECA=30 ，B=FCB=60 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载在 RtACD中， CDA=90 ，tanA=，AD=90=90在 RtBCD中， CDB=90 ，tanB=，DB=30AB=AD +BD=90+30=120答：建筑物 A、B 间的距离为 120米16 （2013?遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B 船在 A 船的正东方向， 且两船保持 20 海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A 的东北方向，B的北偏东 15 方向有一我国渔政执法船C， 求此时船 C与船 B的距离是多少 （结果保留根号）【解答】 解：过点 B作 BDAC于 D由题意可知， BAC=45 ，ABC=90 +15 =105 ，ACB=180 BAC ABC=30 ，在 RtABD中，BD=AB?sin BAD=20 =10（海里） ，在 RtBCD中，BC=20（海里） 答：此时船 C与船 B的距离是 20海里精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页