《变化率与导数》优质课比赛课件.ppt

微积分主要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；物体在任意时刻的速度与加速度等；二、求曲线的切线；二、求曲线的切线；三、求已知函数的最大值与最小值；三、求已知函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等四、求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具效的工具.教材分析教材分析 函数是高中数学的主干内容，导数作为选修函数是高中数学的主干内容，导数作为选修内容引入新课程，为研究函数提供了有力的工具，内容引入新课程，为研究函数提供了有力的工具，对函数的单调性、极值、最值等问题都得到了有对函数的单调性、极值、最值等问题都得到了有效而彻底的解决效而彻底的解决.用导数方法研究函数问题是数学用导数方法研究函数问题是数学学习的必然也是高考命题的方向学习的必然也是高考命题的方向.而而本节课是学习本节课是学习导数的第一课时导数的第一课时，俗话说，万事开头难，这个头，俗话说，万事开头难，这个头开好了，能为今后的深入学习和探究打下良好的开好了，能为今后的深入学习和探究打下良好的知识基础和心理基础知识基础和心理基础. 1. 教学目标教学目标（1）知识与技能目标：）知识与技能目标：理解导数的概念理解导数的概念.掌握用定掌握用定义求导数的方法义求导数的方法.（2）过程与方法目标）过程与方法目标：通过导数概念的形成过程，让通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力化的思维能力（3）情感、态度与价值观目标：）情感、态度与价值观目标：通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度爱，养成实事求是的科学态度培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观唯物主义观点，形成正确的数学观 目标分析目标分析开始新课开始新课问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 在吹气球的过程中在吹气球的过程中, 可发现可发现,随着气球内空气容量随着气球内空气容量的增加的增加, 气球的半径增加得越来越慢气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度从数学的角度, 如如何描述这种现象呢何描述这种现象呢? 结论：随着气球体积逐渐变大结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小它的平均膨胀率逐渐变小. (1) (0)0.62(dm/L),1 0rr当v由01时，气球的平均变化率： (2) (1)120.16(dm/L)2 1rrv当 由时，气球的品均变化率：3343VV( ) (V) .34rrr由气球体积（一）平均变化率（一）平均变化率2121()()r Vr VVV思考： 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题问题2 高台跳水高台跳水 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h (单单位位:m)与起跳后的时间与起跳后的时间 t (单位单位:s) 存在函数关系存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运描述其运动状态动状态, 那么那么:v在在0 t 0.5这段时间里这段时间里,在在1 t 2这段时间里这段时间里,);m/s(05. 405 . 0)0()5 . 0(hhv);m/s(2 . 812) 1 ()2(hhv2( )4.96.510h ttt 问题问题2.2.平均速度平均速度. .思考：求思考：求t1到到t2时的平均速度时的平均速度 2121( )( )S tS tvtt平均变化率平均变化率令令x = x2 x1 , f = f (x2) f (x1) ,则则211121()()( )() f xf xf xxf xfxxxx 2121( )( )f xf xxx思考：平均变化率：表示的几何意义？ 211221()( )f xf xf xf xxx平均变化率：式子称为到的平均变化率几何画板演示：选修2-2导数与变化率.gsp平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态需要用瞬时速度描述运动状态.65049t计算运动员在这段时间的平均速度，思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里静止吗？ （2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究讨论：探究讨论：（二）、 导数的概念在高台跳水运动中，平均速度不能反映在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态度描述运动状态.我们把物体在某一时刻我们把物体在某一时刻的速度称为的速度称为瞬时速度瞬时速度.又如何求瞬时速度呢瞬时速度呢? 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105 . 69 . 4)(2ttth求：从求：从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度(2)(2)13.14.9hhthvttt t 0时时, 在在2, 2 +t 这段这段时间内时间内1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001, 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105 . 69 . 4)(2ttth149.13v0951.13v1049.13v10049.13v099951.13v100049.13v1000049.13v13.051v 13.09951v13.0999951v 当当t趋近于趋近于0时时, 即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边, 还是从大于还是从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时时, 平均速度都趋近与一个确定的值平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.1 .13 )2()2(lim0ththt 从物理的角度看从物理的角度看, 时间间隔时间间隔 |t |无限变小时无限变小时, 平均速度平均速度 就无限趋近于就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度时的瞬时速度. 因此因此, 运动员在运动员在 t = 2 时的时的瞬时速度是瞬时速度是 13.1.v表示表示“当当t =2, t趋近于趋近于0时时, 平均速度平均速度 趋近于确定值趋近于确定值 13.1”.v从从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度1 3 .14 .9hvtt 探探 究究:1.运动员在某一时刻运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示的瞬时速度怎样表示?2.函数函数f (x)在在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示处的瞬时变化率怎样表示?5 . 68 . 9)5 . 68 . 99 . 4(lim)5 . 68 . 9()(9 . 4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xfxxfxxfxx lim )()(lim 0000称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作)(0 xf 或或 , 即即0|xxy0000( )() ()lim. xf xxf xfxx 一概念的两个名称.瞬时变化率与导数是同. 3的具体取值无关.与 xxf)(. 20.其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(. 1xxxf定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xfxxfxxfxx lim )()(lim 0000称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作)(0 xf 或或 , 即即0|xxy0000( )() ()lim. xf xxf xfxx 由导数的定义可知由导数的定义可知, 求函数求函数 y = f (x)的导数的一般方法的导数的一般方法: 求函数的改变量求函数的改变量2. 求平均变化率求平均变化率3. 求值求值);()(00 xfxxff.lim)(00 xfxfx;)()(00 xxfxxfxf 题题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热. 如果第如果第 x h时时, 原油的温度原油的温度(单单位位: )为为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第计算第2h和第和第6h, 原原油温度的瞬时变化率油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义并说明它们的意义.C解解: 在第在第2h和第和第6h时时, 原油温度的瞬时变化率就是原油温度的瞬时变化率就是)2(f ).6(f 和和xfxf)2()2(根据导数的定义根据导数的定义,37)(42xxxxx所以所以,. 3)3(limlim)2(00 xxffxx同理可得同理可得. 5)6( f 在第在第2h和第和第6h时时, 原油温度的瞬时变化率分别为原油温度的瞬时变化率分别为3和和5. 它说它说明在第明在第2h附近附近, 原油温度大约以原油温度大约以3 / h的速率下降的速率下降; 在第在第6h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以5 / h的速率上升的速率上升.CC 题题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热. 如果第如果第 x h时时, 原油的温度原油的温度(单单位位: )为为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第计算第2h和第和第6h, 原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义并说明它们的意义.C 练习练习: : 计算第计算第3h和第和第5h时原油的瞬时变化率时原油的瞬时变化率, 并说明它并说明它们的意义们的意义.2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量f=y =f(x2) f(x1);(2)计算计算平均变化率平均变化率.fx 求函数的改变量求函数的改变量2. 求平均变化率求平均变化率3. 求值求值);()(00 xfxxff.lim)(00 xfxfx;)()(00 xxfxxfxf3.由导数的定义可知由导数的定义可知, 求函数求函数 y = f (x)的导数的一般方法的导数的一般方法:课堂小结课堂小结1.平均变化率平均变化率1212)()(xxxfxf1212)()(xxxfxffx结束结束