1992年全国初级中学数学竞赛试题及其规范标准答案(修正版).doc
!-1992年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题本题共有8个题，每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内1. 满足 |ab|ab1的非负整数（a，b）的个数是（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42. 若x0是一元二次方程ax2bxc0（a0）的根，则判别式b24ac与平方式M(2ax0b)2的关系是（ ）(A) M (B) M (C) M (D) 不确定3. 若x213x10，则x4x-4的个位数字是（ ）(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 74. 在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1且小于，则这个多边形的边数必为（ ）(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4OABCDxy5. 如图，正比例函数yx和yax（a0）的图像与反比例函数y（k0）的图像分别相交于A点和C点，若RtAOB和COD的面积分别为S1和S2，则S1与S2的关系是（ ）(A) S1S2 (B) S1S2 (C) S1S2 (D)不确定 6. 在一个由88个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1，把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S2，则的整数部分是（ ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 37. 如图,在等腰梯形ABCD中，AB/CD，AB2CD，A60，又E是底边AB上一点，且FEFBAC，FAAB，则AE:EB等于（ ）ABCDEF(A) 1:2 (B) 1:3 (C) 2:5 (D) 3:108. 设x1，x2，x3， x9均为正整数，且x1x2x3x9, x1x2x3x9220则当x1x2x3x4x5的值最大时，x9x1的最小值是（ ）(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11二、填空题1. 若一等腰三角形的底边上的高等于18cm，腰上的中线等15cm，则这个等腰三角形的面积等于_2. 若x0，则的最大值是_.3. 在ABC中，C90，A和B的平分线相交于P点，又PEAB于E点，若BC2，AC3，则AE EB .4. 若a，b都是正实数，且，则 .第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x26xa0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围.二、如图，在ABC中，ABAC，D底边BC上一点，E是线段AD上一点，且BED2CEDA求证：BD2CDABCDE三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651B：105263C：612305D：316250已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同，D恰有三个数字的位置与M和N相同试求：M和N1992全国初中数学联合竞赛试卷答案第一试 一选择题1.(C)由(1,0)(0,1).又由(1,1).共有3对.2.(B)设是方程的根,则.所以 .3.(D)由知.所以,.,从而的个位数字为927.4.(C)若满足条件的多边形的边数大于或等于6,则至少有一边所对的圆心角不大于60.由余弦定理知该边长必不大于1;同理,若存在满足条件的四边形,则它至少有一边长不小于.5.(B)设A点的坐标为(),C点的坐标为(),则.6.(B)据正方形的对称性,只需考虑它的部分即可.记圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和为，圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和为，则，. .故的整数部分是1.7.(B)设,则,易证,.ABF FBE ，BE于是AE ，所以AEEB138.（B）（1）先证x1x2x3x4x5110，则x525从而x626，x727，x828，x929，于是x1x2x3x9220与假设矛盾.（2）若取x120，x221，x322，x423，x524，则x1x2x3x4x5110.所以x1x2x3x4x5当取得最大值时，x1最大的值是20（3）若取x626，x727，x828，x929，则110. 所以x1x2x3x4x5当取得最大值时，x9最小的值是29因此x9x1的最小值是29209 FG是等腰三角形BFD顶角平分线，因而也是底边BD上的中线即BGGD所以 BD2BG2DC三、对于编码M，考虑编码A中恰有两个数位上的数字与M中相应数位上的数字相同设这两位是x1，x2数位由于B、C中该两数位上的数字均与A在这两数位上的数字不同，因此B，C中这两数位上的数字必与M中这两数位上的数字不同，于是B中与 M中数字相同的数位必异于x1，x2不妨设为x3，x4；同理C中与 M中数字相同的数位只能是异于x1，x2，x3，x4的x5，x6两位关于 N也有类似的结论这就是说，在每个数位上，A，B，C分别在该数位上的数字中，必有一个与M在该数位上的数字相同；同样地，也必有一个与N在该数位上的数字相同由此知，D中的6，0两数字必不是M，N在相应数位上的数字于是D的3，1，2，5中只有一个数字与M在相应数位上的数字不同；与相比较也有类似的结果 (A)若3不对，则有610253，013256； (B)若1不对，则有360251，301256； (C)若2不对，则有312056，310652；(D)若5不对，则有310265，315206 经检验知：该信封上编码M，N或者同为610253，或者同为310265或者一个是610253，另一个是310265
