2022年经济数学基础作业2 .pdf
1 / 9 经济数学基础作业2 （积分学部分第1 章不定积分第2 章定积分）知识要点：1理解原函数与不定积分概念。原函数的概念：若函数)(xF的导数等于)(xf，即)()(xfxF，则称函数)(xF是)(xf的原函数。注意：（ 1）原函数不是唯一的。若)(xF是)(xf的原函数，则cxF)(都是)(xf的原函数（其中c是任意常数）。（ 2）原函数的表示形式。若)(xF和)(xG都是)(xf的原函数，则cxFxG)()(（c是常数）不定积分的概念：原 函 数 的 全 体cxF)(（ 其 中c是 任 意 常 数 ） 称 为)(xf的 不 定 积 分 ， 记 为xxfd)(=cxF)(。（3）知道不定积分与导数（微分）之间的关系不定积分与导数（微分）之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它本身；先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即)d)(xxf=)(xf,cxfxxf)(d)(2了解定积分的概念，定积分的几何意义，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果奇偶函数在对称区间上的定积分有以下结果：若fx( )是奇函数，则有fxxaa( )d0若f x( )是偶函数，则有fxxf xxf xxaaaa( )( )( )ddd22003知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分。4. 熟练掌握积分的计算不定积分和定积分的关系：牛顿莱布尼兹公式：( )d( )( )( )bbaaf xxF xF bF a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页2 / 9 常用的积分方法有：（1）运用积分基本公式直接进行积分；（2）第一换元积分法（凑微分法）；（3）分部积分法，不定分部积分公式：dxxvxuxvxudxxvxu)()()()()()(或vduuvudv主要掌握被积函数是以下类型的不定积分：幂函数与指数函数相乘；dxexxn，令xnexvxxu)(,)(幂函数与对数函数相乘；)1( ,ln xdxx，令xxvxxu)(,ln)(，幂函数与正（余）弦函数相乘；xdxxnsin或,cos xdxxn令,)(nxxu作业 2 解答一填空题 1 若cxxxfx22d)(，则 f（ x）= 解： 1 .因为若,)(d)(cxFxxf则( )( )F xcf x因此22ln2)22()(xxcxxf2xd)sinx(解：由不定积分和导数的关系：cxfxxf)(d)(则cxxsind)sinx(。 3,)(d )(cxFxxf则xefexxd)(解：因为,)(d )(cxFxxf则)()(d)(xxxxedefxefe=ceFx)(。4edxxdxd12)1ln(解：因为定积分edxx12)1ln(是常数，常数的导数为零，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页3 / 9 因此0)1ln(12edxxdxd5若,11)(02xdttxp则)(xP解：因为)()()(aFxFdttfxa，则)()(xfxF，,1111)(0022xxdttdttxp则211)(xxP。二单项选择题1下列函数中，（）是2sin xx的原函数。A.2cos21xB.2cos2xC. 2cos2xD. 2cos21x解：原函数的概念：若)()(xfxF，则称函数)(xF是)(xf的原函数。A 是错误的。因为xxx2sin21cos2122=2sin xx正确的选项是D. 2下列等式成立是（）A.)(cossinxdxdxB.)1(lnxdxdxC. )2(2ln12xxddxD. xddxx1解： A 是错误的。因为xdxdxxxdsin)(cos)(cos； B 是错误的。因为dxxdxxxd21)1()1(； C 是正确的。因为dxdxdxdxxxx22ln22ln1)2(2ln1)2(2ln1； D 是错误的。因为dxxdxxxd21)(正确的选项是C。3下列不定积分中，常用分步积分法计算的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页4 / 9 A.dxx)12cos(B.dxxx21C. xdxx2sinD. dxxx21解：常用分部积分法计算的积分有：dxexxn，)1( ,ln xdxx，xdxxnsin或xdxxncos。该题正确的选项是C 4下列定积分计算正确的是（）A.2211dxxB.15161dxC. 0sin22dxxD. 0sin xdx解： A 是错误的。因为4)2(2221111xdxx B 是错误的。因为17) 1(16161161xdx C 是错误的。因为函数xsin是偶函数，因此dxxdxx2022sin2sin=220cos2sin22020 xdxxD 是正确的。因为函数xsin是奇函数，因此0sinxdx。5下列无穷积分中收敛的是（）A.dxx11B.121dxxC. dxex0D. 0sin xdx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页5 / 9 5解： A 是错误的。因为) 1ln(lnlimlnlim1lim1111bxdxxdxxbbbbb是发散的。 B 是正确的。因为121dxx1)11(lim)1(lim1lim112bxdxxbbbbbC 是错误的。因为0dxex) 1(limlim0bbbxbedxe是发散的。D 是错误的。因为0sin xdx=)1cos(limsinlim0bxdxbbb是发散的。正确的选项是B。三解答题1 计算下列不定积分（1）xexxd3解： （ 1）xexxd3=xed)3(x=cecee13ln)3()3ln()3(xx（2）xxxd)1(2解：dxxxxxxx2221d)1 (=dxxxx)2(232121=cxxx25235234221（3）xxxd242caadxababaxxNaMaNMannnlnlogloglog,)() 1( ,11cxdxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页6 / 9 解：xxxd242=x2)dx(=cxx2212（4）xd2x-11解：xd2x-11=)2-d(12x-1121x =cx21ln21（5）xxdx22解：)x2(d)x2(21d222122xxx=cx232)2(3221 =cx232)2(31（ 6）xxxdsin解：xxxdsin=xdxsin2=cxcos2（7）xxd2xsin解：2cos2d2xsinxdxxx=xxxd2xcos22cos2)21(21ln1xddxcxdxx)2(21) 1( ,1)()()()()(,)()(21111xdxdxcxdxxcxFxdxfdxxxfcuFduuf则设xddxxcxxdx21cossin2cos22sin,sinxddxxxuxdxxvdxuuvdxvunn令精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页7 / 9 =cxxx2sin42cos2（ 8 ）xl1)dn(x解：xl1)dn(x=x)1(1)dn(xl=dxxxxx11)1ln()1( =cxxx)1ln()1(2计算下列定积分（1）dxx211解：dxxdxxdxx211121111 =dxxdxx2111) 1()1 (=212112)2()2(xxxx =25) 121(224)211(211（2）2121dxxex解：2121dxxex=xdex1211eeex21211（3）dxxxe31ln11解：dxxxe31ln11=3121)ln1()ln1(exdxxuxdxxvdxuuvdxvuln)1( ,ln令1, 11,11)()()(xxxxxdxxfdxxfdxxfbccabaxddxxcedxexx112)ln1(1111xddxxcxdxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页8 / 9 =31ln12ex=1ln12ln123e=2 （4）202cos xdxx解：202cos xdxx=202sin21xxd=20202sin212sin21xdxxx =20)2cos(2121sin221x =210cos41cos41（5）exdxx1ln解：（ 5）exdxx1ln)2(ln12exxd=dxxxxxee121212ln2 =exee12241ln24141222ee =41412e（6）40)1(dxxexxdxdxxuxdxxvdxuuvdxvunn2sin212cos,cos令2ln),1( ,ln2xdxdxxuxdxxvdxuuvdxvu令精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页9 / 9 解：40)1(dxxex=40401dxxedxx=4040 xxdex =)(44040dxexexx=)4(4404xee =44455)1(44eeexxnxndedxexudxexvdxuuvdxvu令,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
