2022年函数的单调性与最值知识点习题 .pdf
学习必备精品知识点1.3.1 函数的单调性与最大（小）值1、函数单调性的定义设函数 y=f(x) 的定义域为 I ：如果对于属于定义域I 内某个区间 D上的任意两个自变量的值21,xx，（1） 当时，都有， 那么就说函数 f(x) 在区间 D上是增函数：（2） 当时，都有， 那么就说函数 f(x) 在区间 D上是减函数。注意：21,xx具有三个特征：属于同一区间任意性有大小: 通常规定21xx练 习 ： 若 定 义 在R 上 的 函 数f(x)对 任 意 两 个 不 相 等 的 实 数21,xx， 总 有0-2121xfxfxx，则必有（）A函数 f(x) 是先增后减 B. 函数 f(x) 是先减后增C. 函数 f(x) 在 R上是增函数 D. 函数 f(x) 在 R上是减函数2、函数的单调性区间如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做 y=f(x)的单调区间。3、基本初等函数的单调性（1）一次函数（2）反比例函数（3）二次函数练习： （1）函数342xxxf的单调递增区间是（2）函数bxky12在实数集 R上是增函数，则（）A21k B. 21k C. 21k D. 21k练习：下列四个函数中，在,0上是增函数的是（）Axxf3 B.xxxf32 C. 11xxf D. 1xxf4、利用定义证明函数的单调性的步骤（1）取值：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备精品知识点（2）作差：（3）变形：（4）判断差的符号：（5）下结论5、常用的单调性的结论6、函数的最大 ( 小)值的方法1. 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大( 小)值2. 利用图象求函数的最大 ( 小) 值：作出函数的图像，尤其是分段函数或解析式含有绝对值的函数，从图像直接观察可得最值3. 利用函数单调性的判断函数的最大( 小) 值如果函数 y=f(x) 在区间 a ， b 上单调递增，则函数 y=f(x) 在 x=a处有最小值 f(a),在 x=b 处有最大值 f(b) ；如果函数 y=f(x) 在区间 a ， b 上单调递减，在区间 b ， c 上单调递增则函数y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b) 。练习： （1）已知0322xx，则函数12xxxf的最小值为，最大值为。考点 1：函数单调性的证明例1、判断函数1-12xxf在，1上是的单调性，并用单调性定义证明。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备精品知识点练习： （1）证明函数xxxf3在 R上是增函数（2）求证函数aaxaxxf，在 00上是减函数，在,a上是增函数考点 2：求函数的单调区间利用图像求函数的单调区间例 2：画出函数322xxy的图像，并指出函数的单调区间。变式： （1）作出函数969622xxxxxf的图像，并指出其单调区间。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备精品知识点（2）求函数542xxy的单调区间直接求函数的单调区间：利用已知函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等的单调性，直接写出所求函数的单调区间，或者将所给函数通过适当地变形，转化为可以利用已知函数的单调性进行判断的形式。例 3：求函数02axaxxf的单调区间变式：求函数xxxf1的单调区间利用定义求函数的单调区间例 4：求函数0babxaxxf的单调区间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备精品知识点求复合函数的单调区间例 5：求函数12xxf在定义域上的单调性变式： （1）求函数32212xxy的单调区间（2）已知函数222,28xfxgxxxf，试求函数xg的单调区间。考点 3：利用函数的单调性求函数的最值例 6：已知函数322xxy，求当,2 ,02,2, 51xx0,23 x时的值域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备精品知识点例 7：求函数20122，在为常数aaxxy上的最值。变式： （1）已知函数222axxxf，5,5x，求实数 a的取值范围，使xfy在区间5, 5上是单调函数 . （2）求函数xxxf11的最大值（3）已知, 1,22xxaxxxf. 当21a时，判断并证明xf的单调性当1-a，求函数xf的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备精品知识点考点 4：利用函数的单调性比较大小例 8： 已知 函 数cbxxxf2对 任 意实 数 t都 有tftf22，试 比 较4,2,1fff的大小练 习 ： 已 知 函 数bxxxf2-对 任 意 实 数t都 有tftf33， 试 比 较4-,5,3fff的大小的大小为。考点 5：利用函数的单调性解不等式与求参数的取值范围例 9：已知函数xf在,上是减函数，不等式53222aafaaf恒成立，则实数 a 的取值范围是。变式：已知函数xf是定义在，0上的单调增函数，不等式3112fxf的 x 的取值范围是（）A3231，B. 3231，C. 3221，D. 3221，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
